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1、20092009 年省普通高等学校年省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号分值一二三四五总分150603040146注意事项：注意事项：答题前，考生务必将自己的、座位号、考生号涂写在答题答题前，考生务必将自己的、座位号、考生号涂写在答题卡上。本试卷的试卷答案在答题卡上，答试卷上无效。卡上。本试卷的试卷答案在答题卡上，答试卷上无效。一、选择题（每小题一、选择题（每小题 2 2 分，共计分，共计 6060 分）分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应
2、的题目的标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号应的题目的标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是（）x2A.y，y xB.y x2，y xxC.y x，y (x)2D.y x，y x2【答案】D.解：注意函数的定义围、解读式，应选 D.2.下列函数中为奇函数的是（）exexA.f(x)B.f(x)xtan x2C.f(x)ln(xx21)D.f(x)【答案】C.x1 x解:f(x)ln(xx21)，f(x)f(x)ln(xx21)ln(xx21)ln1 0f(x)f(x)，选 C.3极限limx1x1x1的值是()A.1B.1C.0D.不存在【答
3、案】D.解：limx1x1x11，limx1x1x1 1，应选 D.4.当x 0时，下列无穷小量中与x等价是（）A.2x2 xB.3xC.ln(1 x)D.sin2x【答案】C.解:由等价无穷小量公式，应选 C.5.设exf(x)1x，则x 0是f(x)的（）A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点D.无穷间断点【答案】B.解:limex1x0f(x)limx0 x1x 0是f(x)的可去间断点,应选 B.6.已知函数f(x)可导，且limf(1)f(1 x)x02x 1，则f(1)（A.2B.-1C.1D.-2【答案】D.解：limf(1)f(1 x)x02x12f(1)1 f(1)2，应
4、选 D.7.设f(x)具有四阶导数且f(x)x，则f(4)(x)（）13ABxC1 Dx242 x1【答案】D.解：f(3)3111(4)(x)x2，f(x)x2，应选 D.24y sin2t8.曲线在t 对应点处的法线方程（）4x costA.x 2B.y 1C.y x1D.y x12【答案】A.解：dy2cos 2t2 k切 0 x x0，应选 A.dxsint2xx9.已知def(x)e dx，且f(0)0，则f(x)（）Ae2xexB.e2xexC.e2xexD.e2xex【答案】B.xx解:由def(x)e dx得xxxx2xx，def(x)d(e)ef(x)e C f(x)eCe把
5、f(0)0代入得C 1,所以f(x)e2xex,应选 B.10.函数在某点处连续是其在该点处可导的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选 A.11.曲线y x424x26x的凸区间为（）A.(2,2)B.(,0)C.(0,)D.(,)【答案】A.解:y 4x348x 6，y 12x248 0 x(2,2)，应选 A.ex12.设y（）xA.仅有水平渐近线 B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线【答案】B.exex 0，lim，应选 B.解:limxxx0 x13.下列说确的是（）A.函数的极值点一定是
6、函数的驻点B.函数的驻点一定是函数的极值点C.二阶导数非零的驻点一定是极值点D.以上说法都不对【答案】D.解:根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选 D.14.设函数f(x)在a,b连续，且不是常数函数,若f(a)f(b)，则在(a,b)（）A.必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点，使f()0【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及f(a)f(b)的条件,在对应的开区间至少有一个最值,应选 A.15.若f(x)的一个原函数为ln x，则f(x)（）A.11B.2C.ln xD.xln xxx【答案】B.11解:f(x)ln x f(x)2
7、,应选 B.xx16.若f(x)dx x2C，则xf(1 x2)dx（）A.2(1 x2)2CB.2(1 x2)2C11C.(1 x2)2CD.(1 x2)2C22【答案】C.解:xf(1 x2)dx 112222=f(1 x)d(1 x)(1 x)C,应选 C.2217.下列不等式不成立的是（）A.C.21ln xdx(ln x)dxB.21220sin xdx 2xdx0220020ln(1 x)dx xdxD.exdx(1 x)dx02【答案】D.解:根据定积分的保序性定理，应有e dx(1 x)dx，应选 D.x002218.1ln xdx=（）eeA.1ln xdxln xdxB.1
8、ln xdxln xdxe1e11e1eC.1ln xdxln xdxD.1ln xdxln xdxe1e11e1e【答案】C.1ln x,x 1解:因|ln x|,考察积分的可加性有elnx,1 x ee1eln xdx 1ln xdxln xdx，应选 C.e11e19下列广义积分收敛的是（）A.11ln x1dxD.dxB.dxC.ex3ln xdxeex(ln x)2xxln xe【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:e1dx是p 2的积分,收敛的,应选 C.x(ln x)220.方程x2 y2 z 0在空间直角坐标系中表示的曲面是（）A.球面B.圆锥面 C.旋转抛物面 D.圆柱面
9、【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程x2 y2 z 0在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选 C.rrrr21.设a 1,1,2，b 2,0,1，则a与b的夹角为（）A0B【答案】D.r rrrrr解:ag b 0 a b(a,b),应选 D.2CD64222.直线x3y4z与平面4x2y2z 3的位置关系是()273A.平行但直线不在平面B.直线在平面C.垂直D.相交但不垂直【答案】A.rr rrr解:因s 2,7,3,n 4,2,2 sn 0 s n 直线在平面或平行但直线不在平面.又直线上点(3,4,0)不在平面.故直线与平面的位置关系是平行
10、但直线不在平面,应选 A.23.设f(x,y)在点(a,b)处有偏导数，则limh0f(ah,b)f(ah,b)（)hA.0B.2fx(a,b)C.fx(a,b)D.fy(a,b)【答案】B.解:原式 limh0f(ah,b)f(a,b)f(ah,b)f(a,b)limh0hh limh0f(ah,b)f(a,b)f(ah,b)f(a,b)lim 2 fx(a,b)h0hh应选 B.24函数z ACx y的全微dz（）x y2(xdx ydy)2(ydy xdx)B22(x y)(x y)2(ydx xdy)2(xdy ydx)D(x y)2(x y)2【答案】D解：z ax y(x y)d(
11、x y)(x y)d(x y)2(xdy ydx)dz，应选 Dx y(x y)2(x y)2a2y225dy0200af(x,y)dx化为极坐标形式为（）2cosAdf(rcos,rsin)rdrBd000f(rcos,rsin)rdrC2d0asin0f(rcos,rsin)rdrD2df(rcos,rsin)rdr00a【答案】D.解:积 分 区 域(x,y)|0 y a,0 x a2 y2(,r)|0,0 r a有2a0dya2y20f(x,y)dxdf(rcos,rsin)rdr,应选 D.200a26.设 L 是以 A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边
12、界，方向为ABCA,则(3x y)dx(x2y)dy LA.-8B.0C 8D.20【答案】A.解:由格林公式知,(3x y)dx(x2y)dy 2d 2S 8，LD应选 A.27.下列微分方程中，可分离变量的是（）ACdyyytanB(x2 y2)dx 2xydy 0dxxx22xdydxex ydy 0D2y exydx【答案】C.解:根据可分离变量微分的特点,2222xdxex ydy 0可化为yyeydy xexdx知,应选 C.28.若级数un收敛，则下列级数收敛的是（）n1unAB(un10)n1n11010CDn1un(un1n10)【答案】A.解:由级数收敛的性质知,un收敛,
13、其他三个一定发散,应选 A.10n129.函数f(x)ln(1 x)的幂级数展开为（）x2x3x2x3AxL,1 x 1BxL,1 x 12323x2x3x2x3CxL,1 x 1DxL,1 x 12323【答案】C.x2x3解:根据ln(1 x)xL,1 x 1可知,23x2x3ln(1 x)xL,1 x 1,应选 C.2330.级数an(x1)n在x 1处收敛，则此级数在x 2处（）n1A条件收敛B绝对收敛C发散D无法确定【答案】B.解:令x1t,级数an(x1)化为antn,问题转化为:t 2处收敛,确定t 1处是nn1n1否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选 B.二、填空题（每小
14、题二、填空题（每小题 2 2 分，共分，共 3030 分）分）31.已知f(x)解：f f(x)x，则f f(x)_.1 xf(x)x1(x 1,x).1 f(x)12x232.当x 0时，f(x)与1cosx等价，则limx0f(x)_.xsin xx2f(x)f(x):1cosx1cosx21.解：limlimlimx0 xsin xx:sinxx0 x0 x2x2211cosx:x22 x2a 33.若lim8，则a _.xxa2a 2a 1lim1xe2axx x2a lima e3a，解：因limxxx(a)exaxa aa1lim1xxxxxx2a2ax所以有e3a8 a ln2.
15、sin x,x 034.设函数f(x)x在(,)处处连续，则a _.a,x 0解：函数在(,)处处连续，当然在x 0处一定连续，又因为lim f(x)limx0sin x1;x0 xf(0)a，所以lim f(x)f(0)a 1.x035.曲线y 解：因y 3x在（2，2）点处的切线方程为_.1 x31 k y x3y4 0.2x2(1 x)336.函数f(x)x2 x2在区间0，2上使用拉格朗日中值定理结论中 _.解：f(x)2x1 21f(2)f(0)1.2037.函数f(x)xx的单调减少区间是 _.解：f(x)11 1111 0 x0,应填0,或0,或0,或0,.2 x44444201
16、38.已知f(0)2,f(2)3,f(2)4,则xf(x)dx _.解：20 xf(x)dx xdf(x)xf(x)0f(x)dx 2 f(2)f(2)f(0)7.00222rrrrr39.设向量b与a 1,2,3共线，且ab 56,则b _.rrr解：因向量b与a共线,b可设为k,2k,3k，rrrab 56 k 4k 9k 56 k 4,所以b 4,8,12.40.设z e解：z ex2y22z，则2_.xx2y222z2zx2y2 2xe2 2(12x2)ex y.xx41函数f(x,y)2x2 xy 2y2的驻点为_.f 4x y 0 x解：(x,y)(0,0).f x4y 0y42区
17、域D为x2 y2 9，则x2yd_.D解：利用对称性知其值为 0 或x yddr4cos2sindr 0.2D002343.交换积分次序后,dx01xxf(x,y)dy _.解：积分区域D (x,y)|0 x 1,x y x(x,y)|0 y 1,y2 x y,则有dx01xxf(x,y)dy dy2f(x,y)dx.0y1y144.y xex是y2y3y ex的特解，则该方程的通解为_.4解：y2y3y 0的通解为y C1e3xC2ex，根据方程解的结构,原方程的通解为1y C1e3xC2exxex.445.已知级数un的部分和Sn n3，则当n 2时，un _.n1解：当n 2时,un S
18、n Sn1 n3(n1)3 3n23n1.三、计算题（每小题三、计算题（每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分）1 146求limx.x0 xe 11ex1 xex1 x 1 lim解：limx lim2x0 xx0 x(ex1)x0e 1xex1x1 lim lim.x02xx02x247.设y y(x)是由方程exy ylnx sin2x确定的隐函数，求解：方程两边对x求导得exy(xy)y yln x 2cos 2xxdy.dx即exyx(y xy)y yxlnx 2xcos2x(x2exy xln x)y 2xcos2xexyxy y2xcos2xexyxy ydy所以y.x2
19、exy xln xdx48.已知xf(x)dx e2xC，求1dx.f(x)解：方程xf(x)dx e2xC两边对x求导得xf(x)2e2x2e2x，即f(x)，x所以11 xe2x.f(x)2故111dx xe2xdx xde2xf(x)241111 xe2xe2xdx xe2xe2xC.444849.求定积分|x(x1)|dx.44解：|x(x1)|dx|x(x1)|dx|x(x1)|dx|x(x1)|dx44014014x(x1)dxx(1 x)dxx(x1)dx401014 xx xx xx 3242303213202313246411641188 43.32333250.已知z ex
20、解：因2xyy2求全微分dz.2222z ex xyy(x2 xy y2)x ex xyy(2x y),x2222z ex xyy(x2 xy y2)y ex xyy(x2y),y且它们在定义域都连续，从而函数z exdz 2xyy2可微，并有22zzdxdy ex xyy(2x y)dx(x2y)dy.xy51.求(2x y)d，其中区域D由直线y x,y 2x,y 2围成.Dy2y 2x x y2y x x y解：积分区域D如图所示：把D看作 Y 型区域，且有yD(x,y)|0 y 2,x 22yy故有(2x y)ddyy(2x y)dxD022y2(x2 xy)ydy 02052510y
21、 dyy3.412032252.求微分方程y2xy xex的通解.解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程y2xy 0的通解为y Cex，设原方程的解为y C(x)ex代入方程得C(x)ex xex,即有C(x)xe2x，12x212x22ed(2x)eC,441x2x2故原方程的通解为y eCe.422222所以C(x)xe2xdx 253.求幂级数n2nx的收敛区间（考虑区间端点）.n2n1解：这是规缺项的幂级数，考察正项级数n1n2nx，n2un1n12nx22 x limn1,因l limnun2n2nx2n1，即|x|2时，级数nx2n是绝对收敛的；当l 2n12x2n1
22、，即|x|2时，级数nx2n是发散的；当l 2n12x2n2n1，即x 2时，级数nx化为n，显然是发散的。当l 2n12n1故原级数的收敛区间为 2,2.四、应用题（每小题四、应用题（每小题 7 7 分，共分，共 1414 分）分）54.靠一楮充分长的墙边，增加三面墙围成一个矩形场地,在限定场地面积为 64m2的条件下.问增加的三面墙的各为多少时，其总长最小.解：场地如图所示：设增加的三面墙的长度分别为x,y,x；总长为z，则有z 2x y，xy 64，从而z 2x令z 26464，问题就转化为求函数z 2x最小值问题.xx64264 z(4 2)x 4 2得唯一驻点，且有 0 x3x4x2
23、 0，2xxy所以x 4 2是极小值点，即为最小值点,此时y 8 2.故，另增的三面墙的长度分别为4 2m，8 2m，4 2m时，增加三面围墙的总长最小.55.设D由曲线y f(x)与直线y 0,y 3围成的，其中x2,0 x 2，y y6 x,x 2求D绕y轴旋转形成的旋转体的体积.解：平面图形D如图所示:把D看作 Y 区域，且y0,3,代入 Y 型区域绕y所成旋转一周所得体积公式有Vy f(y)g(y)dy(6 y)2 ydy002233y x2 x y3oxy 6 x x 6 yy2y32(3613y y)dy 36y 13023033117.2五、证明题（五、证明题（6 6 分）分）5
24、6.设F(x)f(t)dt axxb1dt，其中函数f(x)在闭区间a,b上连续且f(x)0，f(t)证明在开区间(a,b),方程F(x)0有唯一实根.证明：因为F(x)f(x)aa1在a,b上有意义，所以F(x)在a,b上连续，且有f(x)F(a)f(t)dt abba1b11dt dt dt 0,baf(t)f(t)f(t)b1dt f(t)dt 0，af(t)F(b)f(t)dt abb由连续函数在闭区间上的零点定理知，F(x)0在(a,b)至少有一个实根；又因为F(x)f(x)多有一个实根；故F(x)0在(a,b)有唯一实根.1 0，知F(x)在(a,b)是增函数.从而知F(x)0在(a,b)至f(x)