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1、 1 第三章 中值定理与导数的应用 从第二章第一节的前言中已经知道,导致微分学产生的第三类问题是“求最大值和最小值”.此类问题在当时的生产实践中具有深刻的应用背景,例如,求炮弹从炮管里射出后运行的水平距离(即射程),其依赖于炮筒对地面的倾斜角(即发射角).又如,在天文学中,求行星离开太阳的最远和最近距离等.一直以来,导数作为函数的变化率,在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义,因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用.在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念导数与微分及其计算方法.本章以微分学基本定理微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调
2、性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 中值定理 中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理.中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型,因而称为微分中值定理.本节主要内容 1罗尔定理 2 拉格朗日中值定理 3 柯西中值定理 讲解提纲：一、罗尔定理：在闭区间a,b上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点的函数值相等,即).()(bfaf 结论：在(a,b)内至少存在一点),(ba使得 .0)(f 注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果
3、有一个不满足,定理的结论就可能不成立.分别举例说明之.罗尔定理中)()(bfaf这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制.拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理：在闭区间a,b上连续；在开区间(a,b)内可导.结论：在(a,b)内至少存在一点),(ba 使得)()()(abfafbf 拉格朗日中值公式反映了可导函数在,ba上整体平均变化率与在),(ba内某点处函数的局部变化率的关系.若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度.因此,拉格
4、朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日终值定理可改写为).10()(0 xxxfy 称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,有时也称这个定理为微分中值定理.在某些问题中,当自变量x取得有限增量x而需要函数增量的准确表达式时,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值.推论 1 如果函数)(xf在区间 I 上的导数恒为零,那末)(xf在区间 I 上是一个常数.三、柯西中值定理：在闭区间a,b上连续；在开区间(a,b)内可导；在(a,b)内每一点处,2 0)(xg.结论：在(a,b)内至少存在一点),(ba 使得)()()()()()(gfbgagbfaf 显然,若取,)(xxg则
5、,1)(,)()(xgabagbg因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了.所以柯西中值定理又称为广义中值定理.例题选讲：罗尔定理的应用 例 1 对函数 xxfsinln在区间656,上验证罗尔定理的正确性.解:21sinln)65()6(ff，0)2(f.例 2 设 xf在ba,上连续,xf在ba,连续.且 0,0,0bfcfaf,c 介于a,b 之间.证明:存在ba,使 0f成立.证明:函数在ba,内连续.在ca,内由条件根据介值定理可推得存在一点1，使得 01f.同理,bc,内存在一点2，使得 02f.在21,内满足罗尔定理存在ba,使 0f成立.拉格朗日中值定理的应用
6、例 3 证明).11(2arccosarcsinxxx 证明:令xxxfarccosarcsin)(；则11,0)(xxf.所以 f(x)为一常数 设为 f(x)=c,又因为2)1(,2)1(,2)0(fff,故).11(2arccosarcsinxxx 例 4 证明当0 x时,.)1ln(1xxxx 证明:设)1ln()(xxf，则函数在区间0，x上满足拉格朗日中值定理得条件，有 xxffxf0),0)()0()(因为xxff1)(,0)0(，所以1)1ln(xx，又因为x0 所以 .)1ln(1xxxx 柯西中值定理的应用 例 5 设函数)(xf在0,1上连续,在(0,1)内可导.试证明至
7、少存在一点)1,0(,使).0()1(2)(fff 证明:只需令2)(xxg即可 课堂练习 1.试举例说明罗尔定理的条件缺一不可.2.若)(xf是a,b上的正值可微函数,则有点)1,0(使 3 .lnabffafbf 罗尔（Rolle，16521719）简介：罗尔是法国数学家。1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特，1719 年 11 月 8 日卒于巴黎。罗尔出生于小店家庭，只受过初等教育，且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，并很有心得。1682 年，他解决了数学家奥扎南提出一个数论难题，受到了学术界的好评，从而
8、名身雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行征官员。1685 年进入法国科学院，担任低级职务，到 1690 年才获得科学院发给的固定薪水。此后他一直在科学院供职，1719 年因中风去世。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久，由于这一新生事物不存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，其中也包括罗尔，并且他是反对派中最直言不讳的一员。1700 年，在法国科学院发生了一场有关无穷小方法是否真实的论战。在这场论战中，罗尔认为无穷小方法由于缺乏理论基础将导致谬误，并说：“微积分是巧妙的谬论的汇集”。瓦里格农、索弗尔
9、等人之间，展开了异常激烈的争论。约翰.贝努利还讽刺罗尔不懂微积分。由于罗尔对此问题表现得异常激动，致使科学院不得不屡次出面干预。直到 1706 年秋天，罗尔才向瓦里格农、索弗尔等人承认他已经放弃了自己的观点，并且充分认识到无穷小分析新方法价值。罗尔于 1691 年在题为任意次方程的一个解法的证明的论文中指出了：在多项式方程0)(xf的两个相邻的实根之间，方程0)(xf至少有一个根。一百多年后，即 1846 年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，17361813）简介：据拉格朗日本人回忆，幼年家境富裕，可能
10、不会作数学研究，但到青年时代，在数学家F.A.雷维里（R-evelli）指导下学几何学后，萌发了他的数学天才。17 岁开始专攻当时迅速发展的数学分析。他的学术生涯可分为三个时期：都灵时期（1766 年以前）、柏林时期（17661786）、巴黎时期（17871813）。拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性的贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过 500 篇。拉格朗日的学术生涯主要在 18 世纪后半期。当时数学、物理学和天文学是自然科学主体。数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学了主流
11、是力学；天文学的主流是天体力学。数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力。当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献。下面就拉格朗日的主要贡献介绍如下：数学分析的开拓者 1变分法 这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果。他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”是他研究变分法的序幕；1760 年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”是用分析方法建立变分法制代表作。发表前写信给欧拉，称此文中的方法为“变分方法”。欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”。变分法这个
12、分支才真正建立起来。2微分方程早在都灵时期，拉格朗日就对变系数微分方程研究做工出了重大成果。他 4 在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程。在柏林期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在 1774年完成的“关于微分方程特解的研究”中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线。当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由 G.达布等人完成的。除此之外，他还是一阶偏微分方程理论的建立者。3方程论拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超
13、越方程的解法上。他把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因。拉格朗日的想法已蕴含了置换群的概念，他的思想为后来的 N.H.阿贝尔和 E.伽罗瓦采用并发展,终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题.此外,他还提出了一种格朗日极数.4.数论著 拉格朗日在 1772年把欧拉 40 多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来。后来还证明了著名的定理：n 是质数的充要条件为（n-1）!+1能被 n 整除。5 函数和无穷级数 同 18 世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数
14、，而无穷级数同是多项式的推广。泰勒级数中的拉格朗日余项就是他在这方面的代表作之一。分析力学的创立者 拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法。天体力学的奠基者 首先在建立天体运动方程上，他用他在分析力学中的原理，建议起各类天体的运动方程。其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛作用。在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。总之，拉格朗日是 18 世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学
15、三个学科中都有历史性的重大贡献。但主要是数学家，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用。使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具。同时在使天文学力学化、力学分析上也起了历史性的作用，促使力学和天文学（天体力学）更深入发展。由于历史的局限，严密性不够妨碍着他取得更多成果。柯西（Augustin Louis Cauchy，17891857）业绩永存的数学大师 19 世纪初期，微积分已发展成一个庞大的分支，内容丰富，应用非常广泛，与此同时，它的薄弱之处也越来越暴露出来，微积分的理论基础并不严格。为解决新问题并澄清微积分概念，数学家们展开了数学分析严谨化的工作，在分
16、析基础的奠基工作中，做出卓越贡献的要推伟大的数学定柯西。柯西 1789 年 8 月 21 日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日，拉普拉斯交往密切。柯西少年时代的数学才华颇受这两位数学家的赞赏，并预言柯西日后必成大器。拉格朗日向其父建议“赶快给柯西一种坚实的文学教育”，以便他的爱好不致反他引入岐途。父亲加强了对柯西的文学教养，使他在诗歌方面也表现出很高的才华。1807 年至 1810 年柯西在工学院学习。曾当过交通道路工程师。由于身欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师而致力于纯数学的研究，柯西在数学上的最大贡献是 5 在微积分中引进了极限概念，并以极
17、限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的青华，也柯西对付类科学发展所作的巨大贡献。1821 年柯西提出极限定义的方法，把极限过程用不等式来刻划，后经维尔斯特拉斯改进，成为现在所说的柯西极限定义或叫定义。当今所有微积分的教科书都还（至少是在本质上）沿用着栖西等人关于极限、连续、导数、收敛等概念的定义。他对微积分的解释被后人普遍采用。柯西对定分作了最系统的开创性工作。他把定积分定义为和的“极限”。在定积分运算之前，强调必须确立积分的存在性。他利用中值定理首先严格证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格的论述。从而结束微积分二百年来思想
18、上的混乱局面，把微积分及其推广从对几何概念，运动和直觉了解的完全依赖中解放出来，并使微积分发展成现代数学最基础最庞大的数学学科。数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。在一次学术会议上柯西提出了级数收敛性理论。会后，拉普拉斯急忙赶回家中，根据栖西的严谨判别法，逐一检查其巨著天体力学中所用到的级数是否都收敛。栖西在其它方面的研究成果也很丰富。复变函数的微积分理论就是由他创立的。在代数方面、理论物理、光学、弹性理论方面，也有突出贡献。柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人。柯西全集有 27 卷，其论著有 800 多篇。在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家。他的光辉名字与许多定理、准则一起铭记在当
19、今许多教材中。作为一位学者，他是思路敏捷，功绩卓著。但他常忽视青年人的创造。例如，由于柯西“失落”了才华出众的年轻数学家阿贝尔与伽罗华的开创性的论文手稿，造成群论晚问世约半个世记。1857 年 5 月 23 日柯西在巴黎病逝。他临终的一名名言“人总是要死的，但是，他们的业绩永存”长久地叩击着一代又一代学子的心扉。第二节 洛必达法则 在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限.在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算.这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法.本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限
20、的一般方法，即洛必达法则.本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.本节主要内容 1 未定式的基本类型：2 未定式的其它类型：内容要点：一、未定式的基本类型：00型与型；.)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax .)()(lim)()(limxFxfxFxfxx 二、未定式的其它类型：0型，型，00,1,0型 (1)对于0型，可将乘积化为除的形式，即化为00或型的未定式来计算.6 (2)对于型，可利用通分化为00型的未定式来计算.(3)对于00,1,0型，可先化以e为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为0的形式，再化为00或型的
21、未定式来计算.例题选讲：00型 例 1 求)0(sinlim0kxkxx 解：原式=k 例 2 求 123lim2331xxxxxx 解：原式=3/2 例 3 求).0(sinsinlim0bbxaxx 解：原式=a/b 型 例 4 求.lncotlnlim0 xxx 解：原式=1cotcsclim20 xxxx 例 5 求 xnxexlim(n 为正整数,0)解：相继应用洛必达法则 n 次，得 0!limlimlim1xnxxnxxnxenenxex 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法,但若能与其它求极限的方法结合使用,效果则更好.例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要
22、极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例 6 求 xxxxsin1sinlim20 解：原式=01sinlimsin1sinlim00 xxxxxxxx 0型，型，00,1,0型 例 7 求.lim2xxex 0型 解：原式=2limxexx 例 8 求)tan(seclim2xxx.型 7 解：原式=0cossin1lim2xxx 例 9 求.lim0 xxx 00 解：设xxy，取对数得xxylnln，当0ln,0 xxx 所以0lnlimlnlim00 xxyxx 则1lim00exxx 例 10 求.lim111xxx 1型 解：解法同上题 例 11 求 xxxln10)(cotl
23、im.0型 解：设xxyln1)(cot，取对数，则 xxyxxlncotlnlimlnlim00 所以0)(cotlimln10 xxx 课堂练习 1.设)(xf有一阶导数,1)0()0(ff 求.)(ln1)(sinlim0 xfxfx 2.设)()(limxgxf是未定式极限,如果)()(xgxf的极限不存在且不为,是否)()(xgxf的极限也一定不存在?举例说明.洛必达（L Hospital，16611704）简介：洛必达(LHospital)是法国数学家，1661 年生于巴黎，1704 年 2 月 2 日卒于巴黎。洛必达生于法国贵族家庭，他拥有圣梅特候爵，昂特尔芒伯爵称号。青年时期一
24、度任骑兵军官，因眼睛近视自行告退，转向从事学术研究。洛必达很早即显示出其数学的才华，15 岁时就解决了帕斯卡所进出的一个摆线难题。洛必达是莱布尼兹微积分的忠实信徒，并且是约翰.伯努利的高足，成功地解答过约。伯努利提出的“最速降线”问题。他是法国科学院院士。洛必达的最大功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程-用于理解曲线的无穷小分析。这部著作出版于 1696 年，后来多次修订再版，为在欧洲大陆，特别是在法国普及微积分起了重要作用。这本书追随欧几里得和阿基米德古典范例，以定义和公理为出发点，同时得益于他的老师约翰.伯努利的著作，其经过是这样的：约翰.伯努利在 1691-1692 年间写了两篇关于
25、微积分的短论，但未发表。不久以后，他答应为年轻的洛必达讲授微积分，定期领取薪金。作为答谢。他把自己的数学发现传授给洛必达，并允许他随时利用。于是洛必达根据约翰.伯努利的传授和未发表的论著以及自己的学习心得，撰写了该书。洛必达曾计划出版一本关于积分学的书，但在得悉莱布尼兹也打算撰写这样一本书时，就放弃了自己的计划。他还写过一本关于圆锥曲线的书圆锥曲线分析论。此书在他 8 逝世之后 16 年才出版。洛必达豁达大度，气宇不凡。由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往。从而成为全欧洲传播微积分的著名人物。第三节 泰勒公式 对于一些比较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.多项式函
26、数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算,就能求出其函数值,因此,多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近.英国数学家泰勒（Taylor.Brook,1685-1731）在这方面作出了不朽的贡献.其研究结果表明:具有直到1n阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的n次多项式近似表达.本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.本节主要内容 1 问题 2 泰勒中值公式 讲解提纲：一、问题：设函数)(xf在含有0 x的开区间(a,b)内具有直到1n阶导数,问是否存在一个 n 次多项式函数 nnnxxaxxaxxaaxp
27、)()()()(0202010 (3.1)使得 )()(xPxfn,(3.2)且误差)()()(xpxfxRnn是比nxx)(0高阶的无穷小,并给出误差估计的具体表达式.二、泰勒中值公式 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn (3.6)拉格朗日型余项 10)1()()!1()()(nnnxxnfxR (3.7)皮亚诺形式余项 .)()(0nnxxoxR (3.9)带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf (3.12)从公式(3.11)或(3.12)可得近似公式 nn
28、xnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2 (3.13)误差估计式(3.8)相应变成 9 nnxnMxR|)!1(|)(|(3.14)例题选讲：直接展开法：例 1 按(x-4)的幂展开多项式435)(234xxxxxf.解：432)4()4(11)4(37)4(2156)(xxxxxf 例 2 求xexf)(的 n 阶麦克劳林公式.解：xnexfxfxf)()()()(所以1)0()0()0()(nfff 得12)!1(!21nxnxxnenxxxe 常用初等函数的麦克劳林公式：12)!1(!21nxnxxnenxxxe)()!12()1(!5!3sin221253nnnxo
29、nxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx 2!2)1(1)1(xmmmxxm 简介展开法：在实际应用中,上述已知初等函数的麦克劳林公式常用于间接地展开一些更复杂的函数的麦克劳林公式,以及求某些函数的极限等.例 3 求函数 xxexf的n阶麦克劳林公式。解：)()(,),2()(),1()()(nxexfxexfxexfxnxx 则)!1(1!)0(,)0(,2)0(,1)0(,0)0()()(nnfnffffnn 因此)()!1(1!31!21432nnxxoxnxxx
30、xxe 例 4 求)1ln(coslim2202xxxexxx 解)1ln(coslim2202xxxexxx 10=)(2/1()()2(21211)(!41211 lim22242224420 xoxxxxxoxxxoxxx=6/12181241 课堂练习 1.利用泰勒公式求极限 xxxxx30sincossinlim.泰勒（Taylor,Brook，16851731）简介：泰勒(Taylor,Brook)英国数学家。1685 年 8 月 18 日生于英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市；1731 年 12 月 29 日卒于伦敦。泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血统的家庭。父亲约翰来自肯特郡
31、的比夫隆家庭。泰勒是长子。进大学之前，泰勒一直在家里读书。泰勒全家尤其是他的父亲，都喜欢音乐和艺术，经常在家里招待艺术家。这时泰勒一生的工作造成的极大的影响，这从他的两个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法，就可以看出来。1701 年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709 年，他获得法学学士学位。1714 年获法学博士学位。1712 年，他被选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。从 1714 年起担任皇家学会第一秘书，1718 年以健康为由辞去这一职务。泰勒后期的家庭生活是不幸的。1721 年，因和一位据说是出身名门但没有财才的女人结婚，遭到父亲的
32、严厉反对，只好离开家庭。两年后，妻子在生产中死去，才又回到家里，1725 年，在征得父亲同意后，他第二次结婚，并于 1729 年继承了父亲在肯特郡的财才。1730年，第二个妻子也在生产中死去，不过这一次留下了一个女儿。妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去了，安葬在伦敦圣.安教堂墓地。由于工作及健康上的原因，泰勒曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论的问题。1708 年，23 岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们的注意，在这个工作中他用了牛顿的瞬的记号。从 1714 年到 1719 年，是泰勒在数学牛顿产的时期。他的两本著作：正和反的增量法及直线透视都出版于 1
33、715 年，它们的第二版分别出于 1717 和 1719 年。从 1712 到 1724 年，他在哲学会报上共发表了 13 篇文章，其中有些是通信和评论。文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录。在生命的后期，泰勒转向宗教和哲学的写作，他的第三本著作哲学的沉思在他死后由外孙 W.杨于 1793 年出版。泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰
34、勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。11 麦克劳林（Maclaurin,Colin，16891746）简介：麦克劳林（Maclaurin,Colin）是英国数学家。1689 年 2 月生于苏格兰的基尔莫登；1746年 1 月卒于爱丁堡。麦克劳林是一位牧师的儿子，半岁丧父，9 岁丧母。由其叔父抚养成人。叔父也是一位牧师。麦克劳林是一个“神童”，为了当牧师，他 11 岁考入格拉斯哥大学学习神学，但入校不久却对数学发生了浓厚的兴趣，一年后转攻数学。17 岁取得了硕士学位并为自己关于重力作功的论文作了精彩的公开答辩；19 岁担任阿伯丁大学的数学教授并主持该校马里歇尔学院数学第工作；
35、两年后被选为英国皇家学会会员；1722-1726 年在巴黎从事研究工作，并在 1724 年因写了物体碰撞的杰出论文而荣获法国科学院资金，回车后任爱丁堡大学教授。1719 年，麦克劳林在访问伦敦时见到了牛顿，从此便成为牛顿的门生。1724 年，由于牛顿的大力推荐，他继续获得教授席位。麦克劳林 21 岁时发表了第一本重要著作 构造几何，在这本书中描述了作圆锥曲线的一些新的巧妙方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。1742 年撰写的流数论以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。此书之意是为牛顿流数法提供一个几何框架的，以答复贝克来大主教等人对牛顿的微
36、积分学原理的攻击。麦克劳林也是一位实验科学家，设计了很多精巧的机械装置。他不但学术成就斐然，而且关于政治，1745 年参加了爱丁堡保卫战。麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培，并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。他曾打算写一本关于伊萨克.牛顿爵士的发现说明，但未能完成便去世了。死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛顿推荐”，以表达他对牛顿的感激之情。第四节 函数单调性与曲线的凹凸性 我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性.本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法.本节主要内容
37、1 函数的单调性 2 曲线的凹凸性 3 拐点 讲解提纲：一、函数的单调性：设函数)(xfy 在a,b上连续,在(a,b)内可导.(1)若在(a,b)内0)(xf,则函数)(xfy 在a,b上单调增加;(2)若在(a,b)内0)(xf,则函数)(xfy 在a,b上单调减少.二、曲线的凹凸性：设)(xf在a,b上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,则(1)若在(a,b)内，,0)(xf则)(xf在a,b上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内，,0)(xf则)(xf在a,b上的图形是凸的.三、拐点 定义 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 12 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为
38、：(1)求函数的二阶导数)(xf ；(2)令0)(xf，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；(3)对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(xf 的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.例题选讲：函数单调性的判断 例 1 讨论函数1xeyx的单调性.解：1xey，当 x0 时，y0,所以函数在区间),0 为单调递增 当 x0 时，y0 时，一阶导数恒大于 0，因此函数在 x0 时，单调递增 例 5 确定函数)1ln()(2xxxf的单调区间.解答同上 应用单调性证明：例 6 当0 x时，试证xx1ln成立.证明：设)1ln()(xxxf，当0 x时0111)(xxf，且 f（0
39、）=0 所以xx1ln 例 7 当0 x时，试证22)ln(1xxxxxx 证明同上 例 8 证明方程015 xx在区间)0,1(内有且只有一个实根.证明：设1)(5xxxf f(-1)=-1,f(0)=1;又因为在)0,1(内015)(4 xxf，函数单调增加，由介值定理可证 曲线凹凸性判断 例 9 判定 24xxy的凹凸性.解：xy24，02 y，因此函数的图形是凸的.例 10 判断xxy1的凹凸性.解答同上 例 11 a,b 为何值时，点(1,3)为曲线23bxaxy的拐点.解：baxybxaxy26,23 2 13 所以可得 3=a+b 6a+2b=0 故 a=-3/2;b=9/2 课
40、堂练习 1.若,0)0(f是否能断定)(xf在原点的充分小的邻域内单调递增?2.设函数)(xf在),(ba内二阶可导,且,0)(0 xf其中),(0bax,则)(,(00 xfx是否一定为曲线)(xf的拐点?举例说明.第五节 函数极限与最大值最小值 在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后又变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点.如在上节例 3 的图 3-4-5 中，点1x和2x就是具有这样性质的点，易见，对1x的某个邻域内的任一点x)1(x，恒有)1()(fxf，即曲线在点)1(,1(f处达到“峰顶”；同样，对2x的某个
41、邻域内的任一点x)2(x，恒有)2()(fxf，即曲线在点)2(,2(f处达到“谷底”.具有这种性质的点在实际应用中有着重要的意义.由此我们引要入函数极值的概念.本节主要内容 1 极值的概念 2 极值的必要条件 3 第一充分条件与第二充分条件 4 求函数的极值点和极值的步骤：5 求函数的最大值与最小值 讲解提纲：一、极值的概念 函数)(xf在点0 x的某领域)(0 xU内有定义，如果对于去心领域)(00 xU内的任一 x,有 )()(0 xfxf (或)()(0 xfxf)那么就称)(0 xf是函数)(xf的一个极大值(或极小值).二、极值的必要条件 函数)(xf在0 x处可导，且在0 x处取
42、得极值，那么0)(0 xf 三 第一充分条件与第二充分条件 1 第一充分条件 函数)(xf在0 x处连续，且在0 x的某去心领域),(00 xU内可导.(1)若),(00 xxx时，0)(xf，而),(00 xxx时，0)(xf，则)(xf在0 x处取得极大值；(2)若),(00 xxx时,0)(xf，而),(00 xxx时，0)(xf,则)(xf在0 x处取得极小值；(3)若),(00 xUx时，)(xf的符号保持不变，则)(xf在0 x处没有极值.14 2 第二充分条件 函数)(xf在0 x处具有二阶导数且0)(0 xf，0)(0 xf，那么(1)当0)(0 xf时，)(xf在0 x处取得
43、极大值；(2)当0)(0 xf时,)(xf在0 x处取得极小值；四、求函数的极值点和极值的步骤：（1）确定函数)(xf的定义域，并求其导数)(xf;（2）解方程0)(xf求出)(xf的全部驻点与不可导点;（3）讨论)(xf 在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;（4）求出各极值点的函数值，就得到函数)(xf的全部极值.五、求函数的最大值与最小值 在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在,ba上的最大（小）值的步骤如下：（
44、1）计算函数)(xf在一切可能极值点的函数值，并将它们与),(af)(bf相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2）对于闭区间,ba上的连续函数)(xf，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.例题选讲：求函数的极值 例 1 求函数 3/223xxxf的极值.解：01)(31xxf可得 x=1 0)1(|31)(34 xxxf所以函数在 x=1 点取得极小值 例 2 求函数xxxf1)(的极值.解：定义域为),0(，)ln1(1)1ln1(,21221ln1xxxxxxxyeyxxxx 令0y得驻点 x=e
45、 当0),0(yex，0),(yex 因此eeey1)(为极大值。求函数的最大值最小值 例 3 求14123223xxxy的在4,3上的最大值与最小值.解：132)4(,23)3(yy 12662xxy设其为零，可得 x=1 或者 x=-2 34)2(,7)1(yy 所以最大值为 132，最小值为 7 15 例 4 求函数xxy2sin在2,2上的最大值及最小值.解答同上 例 5 某房地产公司有 50 套公寓要出租,当租金定为每月 1000 元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加50元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费100元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?解：设
46、房租为每套 x 元，1000 x，则所获得的收入为)100)(50100050(xxy 则072502,7000725012xyxxy 得 x=1800 由实际问题可知，当房租为每套 1800 元时，所获得到收入最大，且最大收入为 y=57800(元)例 6 求内接于椭圆12222byax而面积最大的矩形的各边之长.例 7 函数)0(12xxxy在何处取得最大值.课堂练习 1.若)(af是)(xf在a,b上的最大值或最小值,且)(af 存在,是否一定有0)(af?2.证明：如果函数dcxbxaxy23满足条件032 abb那么函数没有极值 第六节 函数图形的描绘 本节主要内容 1渐近线的概念
47、2函数图形的描绘：讲解提纲：一、渐近线的概念 1 铅直渐近线 若)(lim0 xfxx或)(lim0 xfxx，则0 xx 是曲线)(xfy 的铅直渐近线.2 水平渐近线 若Axfx)(lim或Axfx)(lim，则 y=A 是曲线)(xfy 的水平渐近线.3 斜渐近线 )0()(limkkxxfx且bkxxfx)(lim，则 y=kx+b 是曲线 16)(xfy 的斜渐近线.二、函数图形的描绘：对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系.在中学阶段，我们利用描点法来作函数的图形.这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极
48、值点、拐点等.使得曲线的单调性、凹凸性等一些函数的重要性态难以准确显示出来.本节我们要利用导数描绘函数)(xfy 的图形，其一般步骤如下:第一步 确定函数)(xf的定义域,研究函数特性如:奇偶性、周期性、有界性等,求出函数的一阶导数)(xf 和二阶导数)(xf ;第二步 求出一阶导数)(xf 和二阶导数)(xf 在函数定义域内的全部零点，并求出函数)(xf的间断点和导数)(xf 和)(xf 不存在的点,用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;第三步 确定在这些部分区间内)(xf 和)(xf 的符号,并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变
49、化趋势;第五步 算出)(xf 和)(xf 的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线的端点等)；然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.例题选讲：求曲线渐近线 例 1 求曲线1)3)(2(2)(xxxxf的渐近线.解：由)(lim1xfx，所以 x=1 为曲线)(xfy 的铅直渐近线.因为 41)3(4lim21)3)(2(2lim)2)(lim,2)(limxxxxxxxxfxxfxxxx 故 y=2x+4 为曲线)(xfy 的斜渐近线.例 2 求曲线2)1(xey的渐近线.解：由 0l
50、im2)1(xxe，y=0 为曲线)(xfy 的水平渐近线.例 3 求23)1(xxy的渐近线.解：由 231)1(limxxx，所以 x=-1 为曲线)(xfy 的铅直渐近线.因为 2)1(lim)(lim,1)1(limlim2322xxxxyxxxyxxxx 所以 y=x-2 为曲线)(xfy 的斜渐近线.函数作图 例 4 作函数 123xxxxf的图形.17 例 5 作函数2)1(4)(2xxxf的图形.例6 作函数 2221)(xex的图形.例7 作函数2)3(361xxy的图形.课堂练习 1.两坐标轴0,0yx是否都是函数xxxfsin)(的渐近线?2.作函数xxy12的图形 第七