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1、 中考数学专题复习圆精选文档 TTMS system office room【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-圆专题复习 第一讲 圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：形成性定义：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段 OA叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合 2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、三类 3、圆的对称性：轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴，的直线都是它的对称轴 中心对称性：圆是中心对称图形，对称
2、中心是 【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。2、推论：平分弦（）的直径 ，并且平分弦所对的 。【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵 活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径 r、弦 a、弦心 d 和弓高 h
3、中已知其中两个量可求另外两个量。】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角 2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论 1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论 2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 ，900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆
4、周角 有 个，是 类，它们的关系是 ，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做 。性质：圆内接四边形的对角 。【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】【重点考点例析】考点一：垂径定理 例 1（2015 舟山）如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O于点 E，连结 EC若 AB=8，CD=2，则 EC 的长为（）A215 B8 C210 D213 对应训练 1（2015 南宁）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且AE=CD=8，BAC=12BOD，则O 的
5、半径为（）A42 B5 C4 D3 考点二：圆周角定理 例 2 （2015 自贡）如图，在平面直角坐标系中，A 经过原点 O，并且分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，已知 B（8，0），C（0，6），则A 的半径为（）A3 B4 C5 D8 对应训练 2（2015 珠海）如图，ABCD 的顶点 A、B、D 在O 上，顶点 C 在O 的直径 BE 上，ADC=54，连接 AE，则AEB 的度数为（）A36 B46 C27 D63 【2016 中考名题赏析】1.(2016兰州，10,4分)如图，四边形 ABCD 内接于 O,四边形 ABCO 是 平行四边形，则 ADC=（）（A）45o （B
6、)50o (C)60o (D)75o 2.(2016四川自贡)如图，O 中，弦 AB与 CD交于点 M，A=45，AMD=75，则 B的度数是（）A15 B25 C30 D75 3.（2016四川成都3分）如图，AB为O的直径，点 C 在O 上，若 OCA=50，AB=4，则的长为（）A B C D 4（2016 山东省聊城市，3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，F是上一点，且=，连接 CF并延长交AD的延长线于点 E，连接 AC若 ABC=105，BAC=25，则 E 的度数为（）A45 B50 C55 D60 5（2016.山东省泰安市，3分）如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直
7、径，B=30，CE 平分 ACB 交O于 E，交 AB于点 D，连接 AE，则 S ADE：S CDB的值等于（）A1：B1：C1：2 D2：3 6（2016黑龙江大庆）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=10，一圆弧过点 B 和点 C，且与 AD 相切，则图中阴影部分面积为 【真题过关】一、选择题 1（2015 厦门）如图所示，在O 中，ABAC，A=30，则B=（）A150 B75 C60 D15 2（2015 昭通）如图，已知 AB、CD 是O 的两条直径，ABC=28，那么BAD=（）A28 B42 C56 D84 3（2015 湛江）如图，AB 是O 的直径，AOC=110，
8、则D=（）A25 B35 C55 D70 4（2015 宜昌）如图，DC 是O 直径，弦 ABCD 于 F，连接 BC，DB，则下列结论错误的是（）AADBD BAF=BF COF=CF DDBC=90 5（2015 温州）如图，在O 中，OC弦 AB 于点 C，AB=4，OC=1，则 OB 的长是（）A3 B5 C15 D17 6（2015 兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为8cm，水面最深地方的高度为 2cm，则该输水管的半径为（）A3cm B4cm C5cm D6cm 7（201 徐州）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 P若 CD=
9、8，OP=3，则O 的半径为（）A10 B8 C5 D3 8（2015 温州）在ABC 中，C 为锐角，分别以 AB，AC 为直径作半圆，过点 B，A，C 作BAC，如图所示若AB=4，AC=2，S1-S2=4，则 S3-S4的值是（）A294 B234 C114 D54 9（2015 南通）如图RtABC 内接于O，BC 为直径，AB=4，AC=3，D是 AB的中点，CD 与 AB 的交点为 E，则 CEDE等于（）A4 B C3 D 10（2015 乐山）如图，圆心在 y 轴的负半轴上，半径为 5 的B 与 y 轴的正半轴交于点 A（0，1），过点 P（0，-7）的直线 l 与B 相交于
10、C，D 两点则弦 CD 长的所有可能的整数值有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11（2015 安徽）如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆O 上的点，在以下判断中，不正确的是（）A当弦 PB 最长时，APC 是等腰三角形 B当APC 是等腰三角形时，POAC C当 POAC 时，ACP=30 D当ACP=30 时，BPC 是直角三角形 二、填空题 12（2015 张家界）如图，O 的直径 AB 与弦 CD 垂直，且BAC=40，则BOD=13（2015 绥化）如图，在O 中，弦 AB 垂直平分半径 OC，垂足为 D，若O 的半径为 2，则弦 AB 的长为 14（2015 株洲）
11、如图 AB 是O 的直径，BAC=42，点 D 是弦 AC 的中点，则DOC 的度数是 度 15（2015 扬州）如图，已知O 的直径 AB=6，E、F 为 AB 的三等分点，M、N 为AB上两点，且MEB=NFB=60，则 EM+FN=16（2015 广州）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，P 与 x 轴交于 O，A 两点，点 A 的坐标为（6，0），P 的半径为13，则点 P 的坐标为 三、解答题 17（2015 贵阳）已知：如图，AB 是O 的弦，O 的半径为 10，OE、OF 分别交 AB 于点 E、F，OF 的延长线交O 于点 D，且 AE=BF，EO
12、F=60 （1）求证：OEF 是等边三角形；（2）当 AE=OE 时，求阴影部分的面积（结果保留根号和）18（2015 黔西南州）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 与点 E，点P 在O 上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若 BC=3，sinP=35，求O 的直径 第二讲 与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为 r点 P 到圆心的距离为 d 则：点 P 在圆内 点 P 在圆上 点 P 在圆外 2、过三点的圆：过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆 三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 外接圆的圆心叫做三角
13、形的 这个三角形叫做这个圆的 。三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等【名师提醒：锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 钝角三角形的外心在三角形 】二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线。2、设O的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则：直线 l 与O相交d r,直线 l 与O相切d r 直线 l 与O相离d r 3、切线的性质和判定：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 【名
14、师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离 d=r 来判定相切】4、切线长定理：切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角 5、三角形的内切圆：与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 三角形内心的形成：是三角形 的交点 内心的性质：到三角形各 的距离
15、相等，内心与每一个顶点的连接线平分 【名师提醒：三类三角形内心都在三角形 若ABC 三边为 a、b、c 面积为 s，内切圆半径为r，则 s=，若ABC 为直角三角形，则 r=】三、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有 种，若O1半径为 R，O 2半径为 r，圆心距为 d，则O 1 与O 2 外离 O 1 与O 2 外切 O 1 与O 2相交 O 1 与O 2 内切 O 1 与O 2内含 【名师提醒：两圆相离（无公共点）包含 和 两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆 此时 d=】四、反证法：假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作
16、的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提醒：反证法证题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】考点一：切线的性质 例 1 （2015 义乌）已知直线 PD 垂直平分O 的半径 OA 于点 B，PD 交O 于点 C、D，PE 是O 的切线，E 为切点，连结 AE，交 CD 于点 F（1）若O 的半径为 8，求 CD 的长；（2）证明：PE=PF；（3）若 PF=13，sinA=513，求 EF 的长 对应训练 1（2015 扬州）如图，ABC 内接于O，弦 ADAB 交 BC 于点
17、E，过点 B 作O 的切线交 DA 的延长线于点 F，且ABF=ABC（1）求证：AB=AC；（2）若 AD=4，cosABF=45，求 DE 的长 考点二：切线的判定 例 2（2015 自贡）如图，点 B、C、D 都在O 上，过点 C 作 ACBD交 OB 延长线于点 A，连接 CD，且CDB=OBD=30，DB=63cm（1）求证：AC 是O 的切线；（2）求由弦 CD、BD 与弧 BC 所围成的阴影部分的面积（结果保留）对应训练 2（2015 玉林）如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过A，B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD交
18、 BC 于 F，若 AC=FC（1）求证：AC 是O 的切线：（2）若 BF=8，DF=40，求O 的半径 r 考点三：直线与圆、圆与圆的位置关系 例 3 （2015 盘锦）如图，ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E 分别是 AC、AB 的中点，则以 DE 为直径的圆与 BC 的位置关系是（）A相交 B相切 C相离 D无法确定 例 4 （2015 攀枝花）已知O1和O2的半径分别是方程 x2-4x+3=0 的两根，且两圆的圆心距等于4，则O1与O2的位置关系是（）A外离 B外切 C相交 D内切 对应训练 3（2015 黔东南州）RtABC 中，C=90，AC=3cm，BC=4cm
19、，以 C 为圆心，r 为半径作圆，若圆 C 与直线 AB 相切，则 r 的值为（）A2cm B2.4cm C3cm D4cm 4（2015 东营）已知O1的半径 r1=2，O2的半径 r2是方程321xx的根，O1与O2的圆心距为 1，那么两圆的位置关系为（）A内含 B内切 C相交 D外切 【2016 中考名题赏析】1.（2016山东潍坊3 分）如图，在平面直角坐标系中，M 与 x 轴相切于点 A（8，0），与 y轴分别交于点 B（0，4）和点 C（0，16），则圆心 M 到坐标原点 O的距离是（）A10 C4 D2 2.（2016湖北荆州3分）如图，过O外一点 P 引O 的两条切线 PA、P
20、B，切点分别是 A、B，OP 交O 于点C，点 D是优弧上不与点 A、点 C重合的一个动点，连接 AD、CD，若APB=80，则ADC 的度数是（）A15 B20 C25 D30 3.（2016黑龙江哈尔滨3分）如图，AB为O的直径，直线 l与O相切于点 C，ADl，垂足为 D，AD交O于点 E，连接 OC、BE若 AE=6，OA=5，则线段 DC 的长为 4.（2016内蒙古包头3 分）如图，已知 AB 是O的直径，点 C 在O 上，过点 C的切线与 AB的延长线交于点P，连接 AC，若A=30，PC=3，则 BP 的长为 5.（2016四川攀枝花）如图，ABC中，C=90，AC=3，AB=
21、5，D为 BC边的中点，以 AD上一点 O为圆心的O 和 AB、BC均相切，则O的半径为 6.（2016湖北武汉8 分）如图，点 C 在以 AB为直径的O上，AD与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，AD交O于点 E (1)求证：AC 平分DAB；(2)连接 BE 交 AC 于点 F，若 cosCAD54，求FCAF的值 7.（2016江西8分）如图，AB是O的直径，点 P是弦 AC上一动点（不与 A，C重合），过点 P 作 PEAB，垂足为 E，射线 EP 交于点 F，交过点 C的切线于点 D（1）求证：DC=DP；（2）若CAB=30，当 F是的中点时，判断以 A，O，C，F为顶点的四边形
22、是什么特殊四边形？说明理由 8.（2016四川南充）如图，在 RtABC 中，ACB=90，BAC 的平分线交 BC 于点 O，OC=1，以点 O为圆心 OC 为半径作半圆（1）求证：AB为O的切线；（2）如果 tanCAO=，求 cosB的值 9（2016湖北荆州10 分）如图，A、F、B、C是半圆 O上的四个点，四边形 OABC 是平行四边形，FAB=15，连接 OF交 AB于点 E，过点 C作 OF的平行线交 AB 的延长线于点 D，延长 AF交直线 CD于点 H（1）求证：CD是半圆 O的切线；（2）若 DH=63，求 EF和半径 OA的长 【真题过关】一、选择题 1（2015 铜仁地
23、区）O 的半径为 8，圆心 O 到直线 l 的距离为 4，则直线 l 与O 的位置关系是（）A相切 B相交 C相离 D不能确定 2（2015 云南）已知O1的半径是 3cm，O2的半径是 2cm，O1O2=6cm，则两圆的位置关系是（）A相离 B外切 C相交 D内切 3（2015 泉州）已知O1与O2相交，它们的半径分别是 4，7，则圆心距 O1O2可能是（）A2 B3 C6 D12 4（2015 南京）如图，O1，O2的圆心在直线 l 上，O1的半径为 2cm，O2的半径为3cmO1O2=8cm，O1以 1m/s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动在此过程中，O1和O2没有出现的位
24、置关系是（）A外切 B相交 C内切 D内含 5（2015 重庆）如图，P 是O 外一点，PA 是O 的切线，PO=26cm，PA=24cm，则O 的周长为（）A18cm B16cm C20cm D24cm 6（2013?杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 B若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有 4 个公共点 C若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径 7（2015 河南）如图，CD 是O 的直径，弦 ABCD 于点 G，直线 EF
25、 与O 相切于点 D，则下列结论中不一定正确的是（）AAG=BG BABEF CADBC D 8（2015 毕节地区）在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC=4，点 O 为 BC 的中点，以 O 为圆心作O 交 BC 于点 M、N，O 与 AB、AC 相切，切点分别为 D、E，则O 的半径和MND 的度数分别为（）A2，B3，30 C3，D2，30 9（2013?安徽）如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆O 上的点，在以下判断中，不正确的是（）A当弦 PB 最长时，APC 是等腰三角形 B当APC 是等腰三角形时，POAC C当 POAC 时，ACP=30 D当ACP=30 时，BPC
26、 是直角三角形 二、填空题 10（2015 舟山）在同一平面内，已知线段 AO=2，A 的半径为 1，将A 绕点 O 按逆时针方向旋转 60 得到的像为B，则A 与B 的位置关系为 11（2015 天水）已知O1的半径为 3，O2的半径为 r，O1与O2只能画出两条不同的公共切线，且 O1O2=5，则O2的半径为 r 的取值范围是 12（2015 平凉）已知O1与O2的半径分别是方程 x2-4x+3=0 的两根，且圆心距 O1O2=t+2，若这两个圆相切，则 t=13（2015 永州）如图，已知ABC 内接于O，BC 是O 的直径，MN 与O 相切，切点为A，若MAB=30，则B=度 14（2
27、015 天水）如图所示，在ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，且EAF=80，则图中阴影部分的面积是 15（2015 晋江市）如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，AB=43若动点 D 在线段 AC上（不与点 A、C 重合），过点 D 作 DEAC 交 AB 边于点 E（1）当点 D 运动到线段 AC 中点时，DE=；（2）点 A 关于点 D 的对称点为点 F，以 FC 为半径作C，当 DE=时，C 与直线 AB 相切 16（2015 张家界）如图，A、B、C 两两外切，它们的半径都是 a，顺次连接三个
28、圆心，则图中阴影部分的面积是 17（2015 南宁）如图，在边长为 2 的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为 18（2015 黄石）如图所示，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，O1与O2外切，且O2分别于DA、DC 边外切，O1分别与 BA、BC 边外切，则圆心距，O1O2为 三、解答题 19（2015 永州）如图，AB 是O 的切线，B 为切点，圆心在 AC上，A=30，D 为 BC 的中点（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形 BOCD 是菱形 20（2015 株洲）已知 AB 是O 的直径，直线
29、 BC 与O 相切于点 B，ABC 的平分线 BD 交O 于点 D，AD 的延长线交 BC 于点 C（1）求BAC 的度数；（2）求证：AD=CD 21（2015 苏州）如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的O 与边 AC 相切于点 E，连接 DE 并延长 DE 交BC 的延长线于点 F（1）求证：BD=BF；（2）若 CF=1，cosB=35，求O 的半径 22（2015 新疆）如图，已知O 的半径为 4，CD 是O 的直径，AC 为O 的弦，B 为 CD 延长线上的一点，ABC=30，且 AB=AC（1）求证：AB 为O 的切线；（2）求弦 AC 的长；（3）求图中阴影部分的面积 23（2015 泸州）如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDA=CBD（1）求证：CD 是O 的切线；（2）过点 B 作O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若 BC=12，tanCDA=23，求 BE 的长