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1、第 1 页 第 14 次课 2 学时 注：本页为每次课教案首页 上次课复习：上次我们学习了函数的微分的定义以及初等函数的微分公式与微分法则，掌握了微分与导数的关系以及微分形式的不变性。dyf(x)dx d(uv)dudv，d(Cu)Cdu，d(uv)vduudv，)0()(2vdxvudvvduvud，dyyx dxf(u)(x)dx dyf(u)du 或 dyyu du 本次课题（或教材章节题目）：第三章 中值定理与导数应用 第一节中值定理 教学要求：1.理解中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义;2.会证明中值定理，特别是学会构造辅助函数证明问题的方法；3.初步具有应用中值定
2、理论证问题的能力.重 点：罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 辅助函数的构造 难 点：辅助函数的构造 教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案 讲授内容及时间分配：罗尔定理 15 分钟 拉格朗日中值定理 25 分钟 柯西中值定理 25 分钟 中值定理的应用举例 35 分钟 课后作业 作业：P166 2.4.5.6.10.11(1).12.参考资料 第 2 页 第一节 中值定理 中值定理 1 罗尔定理 如 xf满足：（1）在b,a连续.（2）在b,a可导.（3）)()(bfaf,则至少存在一点ba,使 0/f 证明：(1)如果 f(x)是常函数 则 f(x)0 定理的结论显然成立 (2)如
3、果 f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大值点(a b)于是 0 xfxfffx)()(lim)()(0 xfxfffx)()(lim)()(所以 f(x)=0.罗尔定理的几何意义 连续曲线弧除端点外处处具有不垂 直于 x 轴的切线，且两个端点纵坐标 相等，则在弧上至少有一点该点处曲 a b 线的切线水平。例 1 设 121xxxxg，则 在区间（-1，0）内，方程 0 xg/有 2 个实根；0 xg/有 1 个根.例 2 设 xf在0，1可导，且 010 ff，证明存在 10,，使 0/ff。证：设 xxfxF在a,b可导，10FF 存在 1
4、0,使 0/F 即 0/ff.例 3 设 xf在0，1可导，且 010 ff,证明存在 10,，使 0/FF。解:设 xfexFx，且 10FF 由罗尔定理，存在 10,，使 0/F，即 0/fefe，,0e 0/ff 2、拉格朗日中值定理 如满足：在a,b连续；在（a,b）连续，则存在b,a,使 abfafbf/.证明 引进辅助函数(x)f(x)ab)a(f)b(fx 第 3 页 容易验证函数(x)适合罗尔定理的条件(a)(b)0(x)在闭区间a b 上连续在开区间(a b)内可导 且(x)f(x)ab)a(f)b(f 根据罗尔定理 可知在开区间(a b)内至少有一点 使()0 即 f()a
5、b)a(f)b(f0 由此得 ab)a(f)b(f f()即 f(b)f(a)f()(ba)定理证毕 拉格朗日中值定理的几何意义 连续曲线弧除端点外处处具有不垂 直于 x 轴的切线，则在弧上至少有 一点该点处曲线的切线平行于弦 AB a b拉格朗日中值公式的其它形式 设 x 为区间a b内一点 xx 为这区间内的另一点(x0 或x0)或xx x (x0)应用拉格朗日中值公式 得 f(xx)f(x)f(xx)x(01)如果记 f(x)为 y 则上式又可写为 yf(xx)x(01)试与微分 d yf(x)x 比较 d y f(x)x 是函数增量y 的近似表达式 而 f(xx)x 是函数增量y 的精
6、确表达式 推论：如果在区间 I 上 0 xf/，则 cxf.证 在区间 I 上任取两点 x1 x2(x1x2)应用拉格朗日中值定理 就得 f(x2)f(x1)f()(x2 x1)(x1 x2)由假定 f()0 所以 f(x2)f(x1)0 即 f(x2)f(x1)因为 x1 x2是 I 上任意两点 所以上面的等式表明 f(x)在 I 上的函数值总是相等的 这就是说 f(x)在区间 I 上是一个常数 例 4 证明对任意满足1x的x，都有 42111xarcsinxxarctg.证明：设 xarcsinxxarctgxf2111 2211211211211111xxxxxxxf/0 x121x12
7、x1x12x121222 cxf 40f 4xf 第 4 页 例5 设0 x，证明xxlnxx11.证明：设)xln()t(f1，则)t(f在区间0,x 上满足拉格朗日中值条件，则有.x),x)(f)(f)x(f000 又由于1100)(f,)(f，所以上式即为 11x)xln(，又由于x0，有xxxx11，即 xxlnxx11.3 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且F(x)在(a b)内的每一点处均不为零 那么在(a b)内至少有一点 使等式 )()()()()()(FfaFbFafbf 成立 显然 如果取 F(x)x 那么 F(b)F
8、(a)ba F(x)1 因而柯西中值公式就可以写成 f(b)f(a)f()(ba)(a0)解 nxxxlnlim11nxnxxlim01nxnxlim 例 6 求xnxexlim(n 为正整数 0)解 xnxexlimxnxenx1 limxnxexnn221)(lim 0 xnxen!lim 第 8 页 3.其它类型未定式 0、00、1、0都可以转化为00或型未定式来计算 1)01100,2)00000101 3)(lnylny型00000 4)01y,y （解法同 3）例 7 求xxnxlnlim0(n0)解 xxnxlnlim0nxxxlnlim0101nxnxxlim00nxnxlim
9、 例 8 求)tan(seclimxxx2 解)tan(seclimxxx2xxxcossinlim1202xxxsincoslim 例 9 求xxx0lim 解 xxx0lim100eexxxlnlim(根据例 7)洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好能与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽可能应用 这样可以使运算简捷 例 10 求xxxxxsintanlim20 解 xxxxxsintanlim2030 xxxxtanlim22031xxxseclim xxxx6220tanseclim313120 xxxxtanseclim
10、 最后 我们指出 本节定理给出的是求未定式的一种方法 当定理条件满足时 所求的极限当然存在（或为）但定理条件不满足时 所求极限却不一定不存在 例 11 求xxxxsinlim 解 因为极限)()sin(limxxxx11xxcoslim不存在 所以不能用洛必达法则 第 9 页 xxxxsinlim11)sin(limxxx 求极限的方法小结 （1）单调有界序列必有极限 （2）用夹逼定理 （3）用极限运算法则 （4）用函数的连续性 （5）用两个重要极限 （6）无穷小乘有界函数仍是无穷小 (7)等价无穷小替换 （8）用洛必达法则 补充例题 例 11 求极限0 xlimxbaxx(a0 b0)解 0
11、 xlimxbaxx0 xlim)()(xbaxx0 xlim1lnlnbbaaxxln a ln b lnba 例 12 0 xlimxxxx3sincossin0 xlim3cossinxxxx 0 xlim)()cos(sin3xxxx 0 xlim23sincoscosxxxxx310 xlimxxsin31 例 13 2xlimxtgtgx32xlim)3()(xtgtgx2xlimxx3cos3cos122312xlimxx22cos3cos 312xlimxxxxsincos23sin3cos6 2xlimxx2sin6sin2xlimxx2cos26cos63 例 14 求极限
12、xlimx lnaxax (a 0)解：xlimxlnaxaxxlimxaxax1lnxlim2111xaxax2axlim222axx2a 例 15 xlimxx1 第 10 页 解：设xlimxx1A 则 lnA=xlimx1ln x xlimxxln xlim11x0 于是xlimxx1xlimxxeln1e 0 1 例 16 1xlim(xln111x)1xlimxxxxln)1(ln11xlimxxxx1ln111xlim1ln1xxxx 1xlim11ln1x21 注：用洛必达法则有时不能求结果，此时需用以前的方法。例求下列极限 （1）0 xlimxsinxsinx12=0 xli
13、mxxsinx12=0 xlim01xsinx （2）xlimxxxxeeee=xlim11122xxee 第 11 页 第 次课 学时 注：本页为每次课教案首页 上次课复习：上次我们学习了未定式“00”的极限，“”的极限，未定式“0”，“1”，“00”，“”的极限.本次课题（或教材章节题目）：第三章 中值定理与导数应用 第三节 泰勒公式 教学要求：1.掌握泰勒定理，理解泰勒公式的意义;2.熟记函数xe，xsin,xcos，x11的麦克劳林展开式；3.会求函数的麦克劳林展开式.重 点：泰勒定理 麦克劳林展开式 难 点：泰勒定理 教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案 讲授内容及时间分配：泰勒
14、定理及其证明 40 分钟 麦克劳林展开式 30 分钟 函数xe，xsin，,xcos，的麦克劳林展开式 30 分钟 课后作业 作业：P177 2.5.6.参考资料 第 12 页 第三节 泰勒公式 一 泰勒公式 对于一些较复杂的函数 为了便于研究 往往希望用一些简单的函数来近似表达 由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我们经常用多项式来近似表达函数 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n1)阶导数 现在我们希望做的是 找出一个关于(xx0)的 n 次多项式 p n(x)a 0a 1(xx0)a 2(xx0)2 a n(xx0)n 来近
15、似表达f(x)要求p n(x)与f(x)之差是比(xx0)n高阶的无穷小 并给出误差|f(x)p n(x)|的具体表达式 我们自然希望 p n(x)与 f(x)在 x0 的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等 这样就有 p n(x)a 0a 1(xx0)a 2(xx0)2 a n(xx0)n p n(x)a 12 a 2(xx0)na n(xx0)n1 p n(x)2 a 2 32a 3(xx0)n(n1)a n(xx0)n2 p n(x)3!a 3 432a 4(xx0)n(n1)(n2)a n(xx0)n3 p n(n)(x)n!a n 于是 pn(x0)a 0 p n(x0)a 1 p n
16、(x0)2!a 2 p n(x)3!a 3 p n(n)(x)n!a n 按要求有 f(x0)p n(x0)a0 f(x0)p n(x0)a 1 f(x0)p n(x0)2!a 2 f(x0)p n(x0)3!a 3 ，f(n)(x0)p n(n)(x0)n!a n 从而有 a 0f(x0)a 1f(x0)(!2102xfa )(!3103xfa )(!10)(xfnann )(!10)(xfkakk(k0 1 2 n)于是就有 pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)(!210 xf (xx0)2 )(!10)(xfnn(xx0)n 泰勒中值定理：如果函数 f(x)在含有 x0的某个开区间(
17、a b)内具有直到(n1)的阶导数 则当 x 在(a b)内时 f(x)可以表示为(xx0)的一个 n 次多项式与一个余项 R n(x)之和 )()(!1 )(!21)()()(00)(200000 xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn 其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(介于 x0与 x 之间)这里多项式nnnxxxfnxxxfxxxfxfxp)(!1 )(!21)()()(00)(200000 称为函数 f(x)第 13 页 按(xx0)的幂展开的 n 次近似多项式 公式 200000)(!21)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!100)(xRxxxf
18、nnnn 称为 f(x)按(xx0)的幂展开的 n 阶泰勒公式 而 R n(x)的表达式10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(介于 x 与 x0之间)称为拉格朗日型余项 注：当 n0 时 泰勒公式变成拉格朗日中值公式 f(x)f(x0)f()(xx0)(在 x0 与 x 之间)因此 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 如果对于某个固定的 n 当 x 在区间(a b)内变动时|f(n1)(x)|总不超过一个常数 M 则有估计式 1010)1(|)!1(|)()!1()(|)(|nnnnxxnMxxnfxR及 000n)x(nxx)xx(Rlim 可见 当 x x0时 误差|R n(
19、x)|是比(xx0)n高阶的无穷小 即 R n(x)o(xx0)n 在不需要余项的精确表达式时 n 阶泰勒公式也可写成 200000)(!21)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!1000)(nnnxxoxxxfn 当 x0 0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式 就是 )(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn 或 )(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 其中1)1()!1()()(nnnxnfxR 由此得近似公式 nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2 误差估计式变为 1|)!1(|)(|nn
20、xnMxR 二.常见函数的泰勒展式 例 1 写出函数 f(x)e x 的 n 阶麦克劳林公式 解 因为 f(x)f(x)f(x)f(n)(x)e x 所以 f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1 于是 12)!1(!1 !211 nxnxxnexnxxe(0)并有 nxxnxxe!1 !2112 这时所产性的误差为|R n(x)|)!1(nexx n1|)!1(|nex|x|n1 第 14 页 当 x1 时 可得 e 的近似式!1 !2111nex 其误差为|R n|0 在0 x右侧 0 xf/0 则 xf在0 x处取得极大值,如果 0 xf/=0，且在0 x左侧 0 xf/0 则 xf在0
21、 x处取得极小值,如果 0 xf/=0，且在0 x左侧与右侧 0 xf/符号相同则 xf在0 x处不取极值。.第二充分条件：0 xf/=0，0 xf/，0)(xf0)(xf0/0/0 xf/时，不一定是极值.3 确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数 f(x)(2)求出 f(x)的全部驻点和不可导点 (3)列表判断(考察 f(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况 以便确定该点是否是极值点 如果是极值点 还要确定对应的函数值是极大值还是极小值)(4)确定出函数的所有极值点和极值 例 1 求函数59323xxx)x(f的极值.解：)x)(x(xx)x(f/3139632，列表如下：(1)
22、1 1 3 3 3)f(x)0 0 f(x)极大值 10 极小值22 例 2 求函数1132)x()x(f的极值.解：(1)f(x)6 x(x21)2 (2)令 f(x)0 求得驻点 x11 x20 x31 (3)f(x)6(x21)(5x21)(4)因 f(0)60 所以 f(x)在 x0 处取得极小值 极小值为 f(0)0 (5)因f(1)f(1)0 用定理3无法判别 因为在1的左右邻域内f(x)0 所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在 1 处也没有极值 极小值 极大值 第 19 页 第 次课 学时 注：本页为每次课教案首页 上次课复习：函数单调性的判别法，极值的必要条件，第一充分
23、条件，第二充分条件 本次课题（或教材章节题目）：第三章 中值定理与导数应用 第六节 最大值与最小值问题 第七节 曲线的凹凸性与拐点 教学要求：1.掌握函数最大值与最小值的求法;2.掌握曲线的凹凸性的概念；3.会判定曲线的凹凸性与拐点.重 点：曲线的凹凸与拐点，最大值、最小值的求解 难 点：最大值、最小值的求解 教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案 讲授内容及时间分配：求函数最大值与最小值的步骤 15 分钟 具体问题的最大值、最小值的求解 35 分钟 曲线的凹凸与拐点 30 分钟 例题 20 分钟 课后作业 作业：P194 1.（2），(3),3.5.6.7.8.P200 1.（1），(4)
24、,2.(1),(3),(6),3.(1),(3),4.(1)7.8.参考资料 第 20 页 第六节 最大值与最小值问题 最大值最小值问题 在工农业生产、工程技术及科学实验中 常常会遇到这样一类问题 在一定条件下 怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题 这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题 极值与最值的关系 设函数 f(x)在闭区间a b上连续 则函数的最大值和最小值一定存在 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得 如果最大值不在区间的端点取得 则必在开区间(a b)内取得 在这种情况下 最大值一定是函数的极大值 因此 函
25、数在闭区间a b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者 同理 函数在闭区间a b上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者 最大值和最小值的求法 设 f(x)在(a b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为 x1 x2 xn 则比较 f(a)f(x 1)f(x n)f(b)的大小 其中最大的便是函数f(x)在a b 上的最大值 最小的便是函数f(x)在a b 上的最小值 例 1 求函数f(x)|x23x2|在 3 4上的最大值与最小值 解)2 ,1(23 4 ,2 1 ,3 23)(22xxxxxxxf )2 ,1(32)4 ,2()1 ,
26、3(32)(xxxxxf 在(3 4)内 f(x)的驻点为23x 不可导点为x1 和x2 由于f(3)20 f(1)0 41)23(f f(2)0 f(4)6 比较可得f(x)在x3 处取得它在 3 4上的最大值 20 在x1 和x2 处取它在 3 4上的最小值 0 例2 工厂铁路线上AB段的距离为100km 工厂C距A处为20km AC垂直于AB 为了运输需要 要在 AB 线上选定一点D向工厂修筑一条公路 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比 3:5 为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省 问D点应选在何处？解：设ADx(km)则 DB100 x 2220 xCD2400
27、x 设从B点到C点需要的总运费为y 那么 y5kCD3kDB(k是某个正数)即 24005xky3k(100 x)(0 x100)现在 问题就归结为 x 在0 100内取何值时目标函数y的值最小 先求y对x的导数 DC20kmAB100km第 21 页 )34005(2xxky 2400 xCD 解方程y0 得x15(km)由于y|x0400k y|x15380k2100511500k|yx 其中以y|x15380k为最小 因此当ADx15km时 总运费为最省 注 f(x)在一个区间(有限或无限 开或闭)内可导且只有一个驻点x0 并且这个驻点x0 是函数f(x)的极值点 那么 当f(x0)是极
28、大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值 应当指出 实际问题中 往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值 而且一定在定义区间内部取得 这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0 那么不必讨论f(x0)是否是极值 就可以断定f(x0)是最大值或最小值 例 3 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁 问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W(261bhW)最大?解：b 与h 有下面的关系 h 2d 2b 2 因而 )(6122bdbW(0b0 则 f(x)在a b上的图形是凹的 (2)
29、若在(a b)内 f(x)0 则 f(x)在a b上的图形是凸的 证明:只证(1)设21,xxx1 x2a b 且 x1x2 记2210 xxx 由拉格朗日中值公式 得 2)()()()(21101101xxfxxfxfxf 011xx 2)()()()(12202202xxfxxfxfxf 220 xx 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 2)()()(2)()(1212021xxffxfxfxf 02)(1212 xxf 21 即)2(2)()(2121xxfxfxf 所以 f(x)在a b上的图形是凹的 3.确定曲线 yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤 (1)确定函数 yf(x)的定义域 (
30、2)求出在二阶导数 f(x)x1 x 2 y x O 221xx 221xxf2)()(21xfxf f(x2)f(x1)x1 x 2 y x O 221xx 221xxf2)()(21xfxf f(x2)f(x1)第 23 页 (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点 例 1 判断曲线 yln x 的凹凸性 解 xy1 21xy 因为在函数 yln x 的定义域(0)内 y0 所以曲线 yln x 是凸的 例 2 判断曲线 yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由 y0 得 x0 因为当 x0 时 y0 时 y0 所以曲线在0)内为凹
31、的 例 3 求曲线 y2x 33x 22x14 的拐点 解 y6x 26x12 )21(12612 xxy 令 y0 得21x 因为当21x时 y0 当21x时 y0 所以点(21 2120)是曲线的拐点 例 4 求曲线 y3x 44x 31 的拐点及凹、凸的区间 解(1)函数 y3x 44x 31 的定义域为()(2)231212xxy)32(3624362 xxxxy (3)解方程 y0 得01x 322x (4)列表判断 在区间(0)和2/3 上曲线是凹的 在区间0 2/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点 例 5 问曲线 yx 4是否有拐点？解:y4x 3
32、y12x 2 当 x 0 时 y0 在区间()内曲线是凹的 因此曲线无拐点 例 6 求曲线3xy的拐点 解:(1)函数的定义域为()(2)32 31xy 32 92xxy (3)无二阶导数为零的点 二阶导数不存在的点为 x0 (4)判断 当 x0 当 x0 时 y0 相反时s0 dxds21 y 于是 ds21 ydx 这就是弧微分公式 2、曲率及其计算公式 曲线弯曲程度的直观描述 设曲线C是光滑的 在曲线C上选定一点M 0作为度量弧s 的基点 设曲线上点M 对应于弧s 在点 M 处切线的倾角为 曲线上另外一点 N 对应于弧 ss 在点 N 处切线的倾角为 我们用比值|s 即单位弧段上切线转过
33、的角度的大小来表达弧段MN的平均弯曲程度 记sK称K为弧段 MN 的平均曲率 记sKs0lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 在0limssdsd存在的条件下 dsdK 曲率的计算公式 设曲线的直角坐标方程是 yf(x)且 f(x)具有二阶导数（这时 f(x)连续 从而曲线是光滑的）因为 tan y 所以 第 28 页 sec 2dydx dxyydxydxyd2221tan1sec 又知 ds21 ydx 从而得曲率的计算公式 232)1(|yydsdK 注：.若曲线的参数方程为 x(t),y(t)则 2/322)()(|)()()()(|ttttttK 例 1.计算等双曲线 x
34、y 1 在点(1 1)处的曲率 解 由xy1 得 21xy 32xy 因此 y|x11 y|x12 曲线 xy 1 在点(1 1)处的曲率为 232)1(|yyK 232)1(1(22221 例 2 抛物线 ya x 2b xc 上哪一点处的曲率最大？解 由 ya x 2b xc 得 y2a x b y2a 代入曲率公式 得 232)2(1|2|baxaK 显然 当 2axb0 时曲率最大 曲率最大时 xab2 对应的点为抛物线的顶点 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 最大曲率为K|2a|3.曲率圆与曲率半径 设曲线在点 M(x y)处的曲率为 K(K0)在点 M 处的曲线的法线上 在凹的一侧取
35、一点 D 使|DM|K1 以 D 为圆心 为半径作圆 这个圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 曲率圆的圆心 D 叫做曲线在点 M 处的曲率中心 曲率圆的半径 叫做曲线在点 M 处的曲率半径 设曲线在点 M 处的曲率为 K(K0)在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于 M 且半径为K1的圆则这个圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 其圆心叫做曲率中心 其半径叫做曲率半径 曲线在点 M 处的曲率 K(K 0)与曲线在点 M 处的曲率半径 有如下关系 K1 K 1 第 29 页 第 次课 学时 注：本页为每次课教案首页 上次课复习：学习了渐近线的定义，会讨论渐近线;掌握描绘函数图形的基本步骤；准确地描绘函数图形.掌
36、握弧微分及曲率的概念，了解曲率的计算公式;本次课题（或教材章节题目）：第三章 习题课 教学要求：1.巩固第三章内容；2.掌握解题方法与技巧；重 点：中值定理 导数的应用 中值定理有关命题的证明 函数图形的描绘 难 点：中值定理有关命题的证明 教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案 讲授内容及时间分配：总结第三章内容 25 分钟 解决作业中出现的习题 40 分钟 课外典型题讲解 35 分钟 课后作业 作业：P223 1.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.15.16.17.参考资料 第 30 页 小结 1 罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒中值定理。2 函数的极值，
37、用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，描绘函数的图形。4 用洛必达法则求未定式极限。5 弧微分公式，曲率和曲率半径的概念。一.中值定理 1.罗尔定理：如 xf满足：在b,a连续，在b,a可导，bfaf，则至少存在一点b,a 使 0f/.2.拉格朗日中值定理：如 xf满足：在a,b连续；在（a,b）连续，则存在b,a 使 abfafbf/.推论：如果在区间 I 上 0 xf/，则 cxf.3.柯西中值定理：如果函数 f(x)及 F(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内
38、可导 且 F(x)在(a b)内的每一点处均不为零 那么在(a b)内至少有一点 使等式)()()()()()(FfaFbFafbf成立 4.泰勒中值定理：如果函数 f(x)在含有 x0的某个开区间(a b)内具有直到(n1)的阶导数 则当 x 在(a b)内时 f(x)可以表示为(xx0)的一个 n 次多项式与一个余项 R n(x)之和 )()(!1 )(!21)()()(00)(200000 xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn 其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(介于 x0与 x 之间)例 1 设 xf在0，1可导，且 01f0f，证明存在 1,0，使 0ff/
39、。证：设 xxfxF在a,b可导，1F0F 存在 1,0使 0F/即 0ff/例 2 设 xf在0，1可导，且 01f0f,证明存在 0FF/。解:设 xfexFx，且 1F0F 由罗尔定理 第 31 页 存在 使 0F/即 0fefe/，亦即 0ff/例 3 证明 对任意满足1x 的 x，都有4xarcsin21x1x1arctg.证明：设 xarcsin21x1x1arctgxf，0 x1121x12x1x121x1x111xf22/0 x121x12x1x12x121222 cxf 40f 4xf 例 4 当ba0，试证 即证：aababb1lnln1 证：设 xlny，在b,a 连续，
40、)b,a(可导，由拉格朗日中值定理 )(1lnlnabab，存在b,a 使 abfafbf/.即 baabab1lnln aababb1lnln1 例 5 设0 x，证明xxxx)1ln(1 aababbabln第 32 页 证：设)tln()t(f1 在x,0连续，)x,(0可导 则存在x,0 使 00 xffxf/，即 x)xln()(f/111，x0.因为x0，所以11111x，即1111x)xln(x，即xxxx)1ln(1.二、洛必达法则 1.如果：0)(lim)(xfxax,0)(lim)(xgxax，在某个邻域),(aN内（Xx 后）有导数 f和 g，且0)(xg；)()(lim
41、)(xgxfxax存在（或无穷），则成立：)()(lim)(xgxfxax=)()(lim)(xgxfxax 例 1 1)bxaxxsinsinlim0=bxbaxaxcoscoslim0ba.2)30sinlimxxxx=2031xxxcoslim=220321xxxlim=61.3)123lim2331xxxxxx=12333221xxxxlim=4326361xxxxlim.例 2 1)xxx12arctanlim=22111xxxlim=11112xxlim.2)(n0)nxxxlnlim=nxnx1lim=0.2 其它类型 1)011,00 第 33 页 2)00000101 3)0
42、(0ln0ln00型yy 4)0,1yy 解法同 3）例：1)(lnlim00nxxnx=nxxxlnlim0101nxnxxlim=nxnx10lim=+2)tan(seclimxxx2=xxxxcossincoslim12=xxxcossinlim12=xxxsincoslim2=0 3)xxx0lim=xxxelnlim0=xxxelnlim0=10 xxxelnlim=201xxxelim=0 三.函数的性态 1、极值 1）可能极值点，xf/不存在的点与 0 xf/的点。（驻点）2）判别方法、导数变号 、0 xf/，0)f(x0)f(x00 例 1 设 xfy 满足关系式0y4y2y/
43、，且 0 xf,0 xf0/，则 xf在0 x点处 A A、取得极大值 B、取得最小值 C、在0 x某邻域内单增 D、在0 x某邻域内单减 例 2 已知函数 xf对一切x满足 x2/e1xfx3xxf 如 0 xf0/，0 x0，则 A A、0 xf是 xf的极小值 极小值 极大值 第 34 页 B、B、0 xf是 xf的极大值 C、00 xfx、是曲线的拐点 D、0 xf不是 xf的极值，00 xfx、也不是曲线 xfy 的拐点。例3 设函数 xf在0 x 的某邻域内可导，00f/，21xsin(x)flim/0 x，则 0f是 xf的极 大 值。2 函数的最大值与最小值（1）求出ba，内可
44、能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。（2）在ba，内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。（3）如)()(),0(0bfaff分别为最小,最大值。例1、在抛物线2x4y上的第一象限部分求一点 P，过 P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解：设切点为yxP，切线方程为 xXx2x4Y2 即 三角形面积：32x0(x)S/38y,32x令 0)32(S/（唯一）)3832(，为所求点 14xY2x4xX222x0),x168x(x412x4)(x21S(x)322)x16-8(3x41(
45、x)S22/第 35 页 3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 可能的拐点 0 xf/和 xf/不存在的点 例 1 231xxxf，试讨论 xf的性态。解：4/32/x1)-6(x(x)f,x2)(x1)-(x(x)f 1x0(x)f-2,x1,x0(x)f/,x(-,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+)y+0-间 断+0+y-0+y 单调增 上凸 极大值 2f427 单减 上凸 单增上凸 拐点(1,0)单增 下凸 四 证明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式。例.当b
46、a0，试证 即证：aababb1lnln1 证：设 xlny，在b,a 连续，)b,a(可导，由拉格朗日中值定理 aababbabln第 36 页 )(1lnlnabab 即 baabab1lnln aababb1lnln1 例 2 设0 x，证明xxxx)1ln(1 证：设)x1ln(x)x(f，xxxxf1111)(/)x(f单增，当0 x 0)0(f)x(f )x1ln(x 设xxxxf1)1ln()(，0)1(2)1(111)(22/xxxxxf)x(f单增，当0 x 0)0(f)x(f xxx1)1ln(例 3 当0 x 证明xln1x2 证：令)0 x(xln1x)x(f2，xxx
47、f12)(2/令0)x(f/得 21x（驻点唯一），01)(2/xxxf)21(f 为极小值 又由驻点唯一，所以)21(f为最小值 即 02ln212321)(0fxfx 例 4 当 1x0 1p 证明 1x1x2ppp1 证:设 ppx1xxf 1x0，1p1p/x1ppxxf 令 0 xf/,21x （驻点唯一）第 37 页 11f0f，ppf1122121 当 1p ,1211p xf在 1,0上最大值为1,最小值为p12 11x22ppp1 例 5 设e，证明 证明：即 证 lnln 设 xxxfln ex ，0ln12/xxxf ex 时 xf单减 当e时，lnln 即 例 5 设 xf在c,0上可导，且 xf/单调减，00f 证明：bfafbaf ，baba0。证：令 afxfaxfxF，xfaxfxF/xf/单调减，0a ，xax，xfaxf/0aF/，即 xF单调减 bx,0 时，00FbF 即 bfafbaf