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1、第 1 页 共 35 页 2007 年高考数学试题分类汇编（导数）（福建理 11 文）已知对任意实数x，有()()()()fxf xgxg x，且0 x 时，()0()0fxg x，则0 x 时（B ）A()0()0fxg x，B()0()0fxg x，C()0()0fxg x，D()0()0fxg x，（海南理 10）曲线12exy 在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（D ）29e2 24e 22e 2e （海南文 10）曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（D ）294e 22e 2e 22e （江苏 9）已知二次函数2()f xaxbxc的导数为(
2、)fx，(0)0f，对于任意实数x都有()0f x，则(1)(0)ff的最小值为（C ）A3 B52 C2 D32 （江西理 9）12设2:()eln21xp f xxxmx在(0)，内单调递增，:5q m，则p是q的（B）充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 （江西理 5）5若02x，则下列命题中正确的是（D）3sinxx 3sinxx 224sinxx 224sinxx 第 2 页 共 35 页（江西文 8）若02x，则下列命题正确的是（B）2sinxx 2sinxx 3sinxx 3sinxx （辽宁理 12）已知()f x与()g x是定义在R上的连续函数
3、，如果()f x与()g x仅当0 x 时的函数值为0，且()()f xg x，那么下列情形不可能出现的是（）A0 是()f x的极大值，也是()g x的极大值 B0 是()f x的极小值，也是()g x的极小值 C0 是()f x的极大值，但不是()g x的极值 D0 是()f x的极小值，但不是()g x的极值 （全国一文 11）曲线313yxx在点413，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A ）19 29 13 23 （全国二文 8）已知曲线24xy 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（A ）A1 B2 C3 D4 （浙江理 8）设()fx是函数()f x的导函数，将()yf x
4、和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（D ）(北京文 9)()fx是31()213f xxx的导函数，则(1)f 的值是 3 （广东文 12）第 3 页 共 35 页 函数()ln(0)f xxx x的单调递增区间是1,e （江苏 13）已知函数3()128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则Mm32 （湖北文 13）已知函数()yf x的图象在点(1(1)Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff 3 （湖南理 13）函数3()12f xxx在区间 33，上的最小值是16 （浙江文 15）曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是5
5、20 xy （安徽理 18）设 a0，f(x)=x1ln2 x2a ln x（x0）.（）令 F（x）xf（x），讨论 F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当 x1 时，恒有 xln2x2a ln x1.本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力本小题满分14 分（）解：根据求导法则有2ln2()10 xafxxxx，故()()2ln20F xxfxxxax，于是22()10 xF xxxx，列表如下：x(0 2)，2(2)，()F x 0 ()F x 极小值(2)F 故知()F x在(0 2)，内是减函
6、数，在(2)，内是增函数，所以，在2x 处取得极小值(2)22ln 22Fa 第 4 页 共 35 页（）证明：由0a知，()F x的极小值(2)22ln 220Fa 于是由上表知，对一切(0)x，恒有()()0F xxfx 从而当0 x 时，恒有()0fx，故()f x在(0)，内单调增加 所以当1x 时，()(1)0f xf，即21 ln2 ln0 xxax 故当1x 时，恒有2ln2 ln1xxax (安徽文 20)设函数f（x）=-cos2x-4tsin2xcos2x+4t2+t2-3t+4,xR,其中t1，将f(x)的最小值记为g(t).()求g(t)的表达式；()诗论g(t)在区间
7、（-1,1）内的单调性并求极值.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力 解：（I）我们有 232()cos4 sincos43422xxf xxtttt 222sin12 sin434xtttt 223sin2 sin433xtxttt 23(sin)433xttt 由于2(sin)0 xt，1t，故当sin xt时，()f x达到其最小值()g t，即 3()433g ttt （II）我们有2()1233(21)(21)1g ttttt，列表如下：t 12，12
8、 12 2，12 112，()g t 0 0 第 5 页 共 35 页()g t 极大值12g 极小值12g 由此可见，()g t在区间112，和112，单调增加，在区间1 12 2，单调减小，极小值为122g，极大值为42g（北京理 19）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭 圆上，记2CDx，梯形面积为S（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积S的最大值 解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy（如图），则点C的横坐标为x 点C的纵坐标y满足方程222
9、21(0)4xyyrr，解得222(0)yrxxr 221(22)22Sxrrx 222()xrrx，其定义域为0 xxr（II）记222()4()()0f xxrrxxr，则2()8()(2)fxxrrx 令()0fx，得12xr 因为当02rx时，()0fx；当2rxr时，()0fx，所以12fr是()f x的最大值 因此，当12xr时，S也取得最大值，最大值为213 322frr 即梯形面积S的最大值为23 32r 4r C D A B 2r C D A B O x y 第 6 页 共 35 页 （福建理 22）已知函数()exf xkxxR，（）若ek，试确定函数()f x的单调区间；
10、（）若0k，且对于任意xR，()0f x 恒成立，试确定实数k的取值范围；（）设函数()()()F xf xfx，求证：12(1)(2)()(e2)()nnFFF nnN 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力满分14 分 解：（）由ek 得()eexf xx，所以()eexfx 由()0fx得1x，故()f x的单调递增区间是(1)，由()0fx得1x，故()f x的单调递减区间是(1)，（）由()()fxf x可知()f x是偶函数 于是()0f x 对任意xR成立
11、等价于()0f x 对任意0 x成立 由()e0 xfxk得lnxk 当(01k，时，()e10(0)xfxkkx 此时()f x在0)，上单调递增 故()(0)10f xf，符合题意 当(1)k，时，ln0k 当x变化时()()fxf x，的变化情况如下表：x(0 ln)k，lnk(ln)k，()fx 0 ()f x 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在0)，上，()(ln)lnf xfkkkk 依题意，ln0kkk，又11ekk，综合，得，实数k的取值范围是0ek（）()()()eexxF xf xfx，12()()F x F x12121212121212()()eeeeee2e2x
12、xxxxxxxxxxxxx，第 7 页 共 35 页 1(1)()e2nFF n，11(2)(1)e2()(1)e2.nnFF nF n F 由此得，21(1)(2)()(1)()(2)(1)()(1)(e2)nnFFF nFF nFF nF n F 故12(1)(2)()(e2)nnFFF nnN，（福建文 20）设函数22()21(0)f xtxt xtxt R，（）求()f x的最小值()h t；（）若()2h ttm 对(0 2)t，恒成立，求实数m的取值范围 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力满分12 分 解：（）23()()1(
13、0)f xt xtttxt R，当xt 时，()f x取最小值3()1fttt ，即3()1h ttt （）令3()()(2)31g th ttmttm ，由2()330g tt 得1t，1t （不合题意，舍去）当t变化时()g t，()g t的变化情况如下表：t(01)，1(12)，()g t 0 ()g t 递增 极大值1m 递减()g t在(0 2)，内有最大值(1)1gm ()2h ttm 在(0 2)，内恒成立等价于()0g t 在(0 2)，内恒成立，即等价于10m，所以m的取值范围为1m (广东理、文 20)第 8 页 共 35 页 已知a是实数，函数2()223f xaxxa
14、如果函数()yf x在区间 1,1上有 零点，求a的取值范围 解:若0a ,()23f xx,显然在上没有零点,所以 0a 令 248382440aaaa 得 372a 当 372a 时,yf x恰有一个零点在1,1上;当 11150ffaa 即 15a 时,yf x也恰有一个零点在1,1上;当 yfx在1,1上有两个零点时,则 2082 44011121010aaaaff 或 208244011121010aaaaff 解得5a 或352a 因此a的取值范围是 1a 或 352a ;（海南理 21）设函数2()ln()f xxax（I）若当1x 时，()f x取得极值，求a的值，并讨论()f
15、 x的单调性；（II）若()f x存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2 解：（）1()2fxxxa，依题意有(1)0f ，故32a 从而2231(21)(1)()3322xxxxfxxx 第 9 页 共 35 页()f x的定义域为32，当312x 时，()0fx；当112x 时，()0fx；当12x 时，()0fx 从而，()f x分别在区间31122 ，单调增加，在区间112，单调减少（）()f x的定义域为()a，2221()xaxfxxa 方程22210 xax 的判别式248a （）若0，即22a，在()f x的定义域内()0fx，故()f x的极值（）若0，则2
16、a或2a 若2a，(2)x，2(21)()2xfxx 当22x 时，()0fx，当22222x，时，()0fx，所以()f x无极值 若2a ，(2)x，2(21)()02xfxx，()f x也无极值 （）若0，即2a 或2a ，则22210 xa x有 两 个 不 同 的 实 根2122aax，2222aax 当2a 时，12xaxa ，从而()fx有()f x的定义域内没有零点，故()f x无极值 当2a 时，1xa，2xa，()fx在()f x的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x在12xxxx，取得极值 综上，()f x存在极值时，a的取值范围为(2)，()f x的极值
17、之和为 2221211221()()ln()ln()ln11 ln2ln22ef xf xxaxxaxa 第 10 页 共 35 页（海南文 19）设函数2()ln(23)f xxx（）讨论()f x的单调性；（）求()f x在区间3 14 4，的最大值和最小值 解：()f x的定义域为32，（）224622(21)(1)()2232323xxxxfxxxxx 当312x 时，()0fx；当112x 时，()0fx；当12x 时，()0fx 从而，()f x分别在区间312，12，单调增加，在区间112，单调减少 （）由（）知()f x在区间3 14 4，的最小值为11ln224f 又3139
18、7131149lnlnln1 ln442162167226ff0 所以()f x在区间3 14 4，的最大值为117ln4162f （湖北理 20）已知定义在正实数集上的函数21()22f xxax，2()3lng xaxb，其中0a 设两曲线()yf x，()yg x有公共点，且在该点处的切线相同（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：()()f xg x（0 x）本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力 解：（）设()yf x与()(0)yg x x在公共点00()xy，处的切线相同()2fxxa，23()ag xx，由题意00()()f x
19、g x，00()()fxg x 第 11 页 共 35 页 即22000200123ln232xaxaxbaxax，由20032axax得：0 xa，或03xa（舍去）即有222221523ln3ln22baaaaaaa 令225()3ln(0)2h tttt t，则()2(1 3ln)h ttt于是 当(1 3ln)0tt，即130te 时，()0h t；当(1 3ln)0tt，即13te时，()0h t 故()h t在130e，为增函数，在13e，为减函数，于是()h t在(0)，的最大值为123332h ee（）设221()()()23ln(0)2F xf xg xxaxaxb x，则(
20、)F x23()(3)2(0)axa xaxaxxx 故()F x在(0)a，为减函数，在()a，为增函数，于是函数()F x在(0)，上的最小值是000()()()()0F aF xf xg x 故当0 x 时，有()()0f xg x，即当0 x 时，()()f xg x （湖北文 19）设二次函数2()f xxaxa，方程()0f xx的两根1x和2x满足1201xx（I）求实数a的取值范围；（II）试比较(0)(1)(0)fff与116的大小并说明理由 本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力 解法 1：（）令2()()(1)g xf xxxax
21、a，第 12 页 共 35 页 则由题意可得01012(1)0(0)0agg，01132 232 2aaaa ，或，032 2a 故所求实数a的取值范围是(0 32 2)，（II）2(0)(1)(0)(0)(1)2fffgga，令2()2h aa 当0a 时，()h a单调增加，当032 2a时，20()(322)2(322)2(17122)hah 112161712 2，即1(0)(1)(0)16fff 解法 2：（I）同解法 1（II）2(0)(1)(0)(0)(1)2fffgga，由（I）知032 2a，41 12 2170a 2又4 210a ，于是 221112(321)(4 21)
22、(4 21)0161616aaaa，即212016a，故1(0)(1)(0)16fff 解法 3：（I）方程()0f xx2(1)0 xaxa，由韦达定理得 121xxa，12x xa，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0 xxxxx xxxxx ，0132 232 2aaaa，或032 2a 故所求实数a的取值范围是(0 32 2)，（II）依题意可设12()()()g xxxxx，则由1201xx，得 12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)fffggx xxxxxxx 2211221112216xxxx ，故1(0)(1)(0)16
23、fff 第 13 页 共 35 页 （湖南理 19）如图 4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（090），且2sin5，点P到平面的距离0.4PH（km）沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为2a万元/km当山坡上公路长度为lkm（12l）时，其造价为2(1)la万元已知OAAB，PBAB，1.5(km)AB，3(km)OA （I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；（II）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造
24、价最小（III）在AB上是否存在两个不同的点D，E，使沿折线PD E O 修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论 解：（I）如图，PH，HB，PBAB，由三垂线定理逆定理知，ABHB，所以PBH是 山坡与所成二面角的平面角，则PBH，1sinPHPB 设(km)BDx，01.5x则 2221PDxPBx12，记总造价为1()f x万元，A E D B H P A O E D B H P 第 14 页 共 35 页 据题设有2211111()(1)(3)224f xPDADAO axxa 21433416xaa 当14x，即1(km)4BD 时，总造价1()f x最小（II
25、）设(km)AEy，504y，总造价为2()fy万元，根据题设有 2221 31()132 24fyPDyya 2433216yyaa 则 22123yfyay，由2()0fy，得1y 当(01)y，时，2()0fy，2()fy在(01)，内是减函数；当514y，时，2()0fy，2()fy在514，内是增函数 故当1y，即1AE（km）时总造价2()fy最小，且最小总造价为6716a万元（III）解法一：不存在这样的点D，E 事实上，在AB上任取不同的两点D，E 为使总造价最小，E显然不能位于D 与B之间故可设E位于D与A之间，且BD=1(km)x，1(km)AEy，12302xy，总造价为
26、S万元，则221111113224xySxya 类似于（I）、（II）讨论知，2111216xx，2113322yy，当且仅当114x，11y 同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD，1(km)AE，S取得最小值6716a，点DE，分别与点DE，重合，所以不存在这样的点 DE，使沿折线PD E O 修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价 解法二：同解法一得 221111113224xySxya 第 15 页 共 35 页 2221111111433334416xayyyyaa 2211111432 3(3)(3)416yyyyaa 6716a 当且仅当114x 且
27、2211113(3)(3)yyyy，即11114xy，同时成立时，S取得最小值6716a，以上同解法一 （湖南文 21）已知函数3211()32f xxaxbx在区间 11)，(13，内各有一个极值点 （I）求24ab的最大值；（II）当248ab时，设函数()yf x在点(1(1)Af，处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yf x的图象（即动点在点A附近沿曲线()yf x运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数()f x的表达式 解：（I）因为函数3211()32f xxaxbx在区间 11)，(13，内分别有一个极值点，所以2()fxxaxb0在 11)，(13，内分别有一个实根
28、，设两实根为12xx，（12xx），则2214xxab，且2104xx于是 2044ab，20416ab，且当11x ，23x，即2a ，3b 时等号成立故24ab的最大值是 16（II）解法一：由(1)1fab 知()f x在点(1(1)f，处的切线l的方程是(1)(1)(1)yffx，即21(1)32yab xa，因为切线l在点(1()Af x，处空过()yf x的图象，所以21()()(1)32g xf xab xa在1x 两边附近的函数值异号，则 1x 不是()g x的极值点 第 16 页 共 35 页 而()g x321121(1)3232xaxbxab xa，且 22()(1)1(
29、1)(1)g xxaxbabxaxaxxa 若11a ，则1x 和1xa 都是()g x的极值点 所以11a ，即2a ，又由248ab，得1b ，故321()3f xxxx 解法二：同解法一得21()()(1)32g xf xab xa 2133(1)(1)(2)322axxxa 因为切线l在点(1(1)Af，处穿过()yf x的图象，所以()g x在1x 两边附近的函数值异号，于是存在12mm，（121mm）当11mx时，()0g x，当21xm时，()0g x；或当11mx时，()0g x，当21xm时，()0g x 设233()1222aah xxx，则 当11mx时，()0h x，当
30、21xm时，()0h x；或当11mx时，()0h x，当21xm时，()0h x 由(1)0h知1x 是()h x的一个极值点，则3(1)2 1 102ah ，所以2a ，又由248ab，得1b ，故321()3f xxxx（辽宁理 22）已知函数2222()2()21tf xxt xxxt，1()()2g xf x（I）证明：当2 2t 时，()g x在R上是增函数；（II）对于给定的闭区间ab，试说明存在实数 k，当tk时，()g x在闭区间ab，上是减函数；（III）证明：3()2f x （辽宁文 22）第 17 页 共 35 页 已知函数322()9cos48 cos18sinf x
31、xxx，()()g xfx，且对任意的实数t均有(1cos)0gt，(3sin)0gt（I）求函数()f x的解析式；（II）若对任意的 26 6m，恒有2()11f xxmx，求x的取值范围 （全国一 理 20）设函数()eexxf x（）证明：()f x的导数()2fx；（）若对所有0 x都有()f xax，求a的取值范围 解：（）()f x的导数()eexxfx 由于ee2 e e2x-xxx，故()2fx（当且仅当0 x 时，等号成立）（）令()()g xf xax，则()()eexxg xfxaa，（）若2a，当0 x 时，()ee20 xxg xaa，故()g x在(0)，上为增函
32、数，所以，0 x时，()(0)g xg，即()f xax（）若2a，方程()0g x的正根为214ln2aax，此时，若1(0)xx，则()0g x，故()g x在该区间为减函数 所以，1(0)xx，时，()(0)0g xg，即()f xax，与题设()f xax相矛盾 综上，满足条件的a的取值范围是2，（全国一文 20）设函数32()2338f xxaxbxc在1x 及2x 时取得极值（）求 a、b 的值；（）若对于任意的0 3x，都有2()f xc成立，求 c 的取值范围 解：（）2()663fxxaxb，因为函数()f x在1x 及2x 取得极值，则有(1)0f，(2)0f 第 18 页
33、 共 35 页 即663024 1230abab，解得3a ，4b （）由（）可知，32()29128f xxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx 当(01)x，时，()0fx；当(12)x，时，()0fx；当(2 3)x，时，()0fx 所以，当1x 时，()f x取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc 则当0 3x，时，()f x的最大值为(3)98fc 因为对于任意的0 3x，有2()f xc恒成立，所以 298cc，解得 1c 或9c，因此c的取值范围为(1)(9)，（全国二理 22）已知函数3()f xxx（1）求曲线()yf x在点()M tf t，
34、处的切线方程；（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yf x的三条切线，证明：()abf a 解：（1）求函数()f x的导数；2()31xxf 曲线()yf x在点()M tf t，处的切线方程为：()()()yf tf txt，即 23(31)2ytxt（2）如果有一条切线过点()ab，则存在t，使 23(31)2btat 于是，若过点()ab，可作曲线()yf x的三条切线，则方程 32230tatab 有三个相异的实数根 第 19 页 共 35 页 记 32()23g ttatab，则 2()66g ttat 6()t ta 当t变化时，()()g tg t，变化情况如下表：t(
35、0)，0(0)a，a()a，()g t 0 0 ()g t 极大值ab 极小值()bf a 由()g t的单调性，当极大值0ab或极小值()0bf a时，方程()0g t 最多有一个实数根；当0ab时，解方程()0g t 得302att，即方程()0g t 只有两个相异的实数根；当()0bf a时，解方程()0g t 得2atta，即方程()0g t 只有两个相异的实数根 综上，如果过()ab，可作曲线()yf x三条切线，即()0g t 有三个相异的实数根，则0()0.abbf a，即()abf a （全国二文 22）已知函数321()(2)13f xaxbxb x 在1xx处取得极大值，在
36、2xx处取得极小值，且12012xx （1）证明0a；（2）若 z=a+2b,求 z 的取值范围。解：求函数()f x的导数2()22fxaxbxb（）由函数()f x在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值，知12xx，是()0fx的两个根 所以12()()()fxa xxxx 当1xx时，()f x为增函数，()0fx，由10 xx，20 xx得0a 第 20 页 共 35 页（）在题设下，12012xx 等价于(0)0(1)0(2)0fff 即202204420babbabb 化简得203204520babab 此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：20320 4520babab
37、，所围成的ABC的内部，其三个顶点分别为：4 6(2 2)(4 2)7 7ABC，z在这三点的值依次为166 87，所以z的取值范围为1687，（山东理 22）设函数2()ln(1)f xxbx，其中0b （）当12b 时，判断函数()f x在定义域上的单调性；（）求函数()f x的极值点；（）证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立 解：（）由题意知，()f x的定义域为(1)，322()211bxxbfxxxx 设2()22g xxxb，其图象的对称轴为1(1)2x ，max11()22g xgb 当12b 时，max1()02g xb，即2()230g xxxb在(1)，
38、上恒成立，当(1)x，时，()0fx，当12b 时，函数()f x在定义域(1)，上单调递增 b a 2 1 2 4 O 4 67 7A，(4 2)C，(2 2)B，第 21 页 共 35 页（）由（）得，当12b 时，函数()f x无极值点 12b 时，3122()01xfxx有两个相同的解12x ，112x，时，()0fx，12x，时，()0fx，12b 时，函数()f x在(1)，上无极值点 当12b 时，()0fx有两个不同解，111 22bx，211 22bx，0b 时，111 212bx ，211 202bx，即1(1)x ，21x ，0b时，()fx，()f x随x的变化情况如下
39、表：x 1(1)x，1x 2()x，()fx 0 ()f x 极小值 由此表可知：0b 时，()f x有惟一极小值点111 22bx，当102b时，111 212bx ，12(1)xx ，此时，()fx，()f x随x的变化情况如下表：x 1(1)x，1x 12()xx，1x 1()x，()fx 0 0 ()f x 极大值 极小值 由此表可知：102b时，()f x有一个极大值11122bx 和一个极小值点第 22 页 共 35 页 211 22bx；综上所述：0b 时，()f x有惟一最小值点11 22bx；102b时，()f x有一个极大值点11 22bx 和一个极小值点11 2bxx；1
40、2b时，()f x无极值点（）当1b 时，函数2()ln(1)f xxx，令函数222()()ln(1)h xxf xxxx，则22213(1)()3211xxh xxxxx 当0 x，时，()0fx，所以函数()h x在0，上单调递增，又(0)0h(0)x，时，恒有()(0)0h xh，即23ln(1)xxx恒成立 故当(0)x，时，有23ln(1)xxx 对任意正整数n取1(0)xn，则有23111ln1nnn 所以结论成立 （山东文 21）设函数2()lnf xaxbx，其中0ab 证明：当0ab 时，函数()f x没有极值点；当0ab 时，函数()f x有且只有一个极值点，并求出极值
41、证明：因为2()ln0f xaxbxab，所以()f x的定义域为(0)，()fx222baxbaxxx 当0ab 时，如果00()0()abfxf x，在(0)，上单调递增；如果00()0()abfxf x，在(0)，上单调递减 所以当0ab，函数()f x没有极值点 第 23 页 共 35 页 当0ab 时，222()bba xxaafxx 令()0fx，将1(0)2bxa ，（舍去），2(0)2bxa，当00ab，时，()()fxf x，随x的变化情况如下表：x 02ba，2ba 2ba，()fx 0 ()f x 极小值 从上表可看出，函数()f x有且只有一个极小值点，极小值为1 ln
42、222bbbfaa 当00ab，时，()()fxf x，随x的变化情况如下表：x 02ba，2ba 2ba，()fx 0 ()f x 极大值 从上表可看出，函数()f x有且只有一个极大值点，极大值为1 ln222bbbfaa 综上所述，当0ab 时，函数()f x没有极值点；当0ab 时，若00ab，时，函数()f x有且只有一个极小值点，极小值为1 ln22bba 若00ab，时，函数()f x有且只有一个极大值点，极大值为1 ln22bba 第 24 页 共 35 页 （陕西理 20）设函数 f(x)=,22aaxxc其中a 为实数.()若 f(x)的定义域为R,求 a 的取值范围;()
43、当 f(x)的定义域为 R 时，求 f(x)的单减区间.解：（）()f x的定义域为R，20 xaxa恒成立，240aa，04a，即当04a时()f x的定义域为R（）22(2)e()()xx xafxxaxa，令()0fx，得(2)0 x xa 由()0fx，得0 x 或2xa，又04a，02a时，由()0fx得02xa；当2a 时，()0fx；当24a时，由()0fx得20ax，即当02a时，()f x的单调减区间为(0 2)a，；当24a时，()f x的单调减区间为(20)a，(陕西文 21)已知cxbxaxxf23)(在区间0,1上是增函数,在区间),1(),0,(上是减函数,又.23
44、)21(f()求)(xf的解析式;()若在区间,0m(m0)上恒有)(xfx 成立,求 m 的取值范围.解：（）2()32fxaxbxc，由已知(0)(1)0ff，即0320cabc，解得032cba，2()33fxaxax，13332422aaf，2a，32()23f xxx （）令()f xx，即32230 xxx，(21)(1)0 xxx，102x 或1x 第 25 页 共 35 页 又()f xx在区间0m，上恒成立，102m (上海理科 19)已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR （1）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(xf在2)x，上为增函数，求a的取值范
45、围 解：（1）当0a时，2)(xxf，对任意(0)(0)x ，)()()(22xfxxxf，)(xf为偶函数 当0a时，2()(00)af xxaxx，取1x，得(1)(1)20(1)(1)20ffffa，(1)(1)(1)ffff，函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数 （2）解法一：设122xx，22212121)()(xaxxaxxfxfaxxxxxxxx)()(21212121，要使函数)(xf在2)x，上为增函数，必须0)()(21xfxf恒成立 121204xxx x，即)(2121xxxxa恒成立 又421 xx，16)(2121xxxx a的取值范围是(16，解法二：当0a时，
46、2)(xxf，显然在2)，为增函数 当0a时，反比例函数xa在2)，为增函数，xaxxf2)(在2)，为增函数 当0a时，同解法一 (上海文科19)已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR 第 26 页 共 35 页 （1）当2a时，解不等式12)1()(xxfxf；（2）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由 解：（1）1212)1(222xxxxx，0122xx，0)1(xx 原不等式的解为10 x （2）当0a时，2)(xxf，对任意(0)(0)x ，)()()(22xfxxxf，)(xf为偶函数 当0a时，2()(00)af xxaxx，取1x，得(1)(1)20(1)(1)20fff
47、fa，(1)(1)(1)(1)ffff，函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数 (四川理 22)设函数),1,(11)(NxnNnnxfn且.()当 x=6 时,求nn11的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数 x,证明2)2()2(fxf);)()()(的导函数是xfxfxf()是否存在Na,使得 annkk111na)1(恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。（）解：展开式中二项式系数最大的项是第4 项，这项是33 5631201
48、Cnn 第 27 页 共 35 页（）证法一：因 22112211nfxfnn 2211211nnn112 11nnn12 1nn 112 1ln 12nn 112 1ln 12nfxnn 证法二：因 22112211nfxfnn2211211nnn112 11nnn 而 1122 1ln 1nfxnn 故只需对11n和1ln 1n进行比较。令 ln1g xxx x，有 111xgxxx 由10 xx，得1x 因为当01x时，0gx，g x单调递减；当1x 时，0gx，g x单调递增，所以在1x 处 g x有极小值1 故当1x 时，11g xg，从而有ln1xx，亦即ln1lnxxx 故有11
49、1ln 1nn恒成立。所以 222fxffx，原不等式成立。（）对mN，且1m 有2012111111mkmkmmmmmmCCCCCmmmmm 211112 11111 12!kmm mm mmkm mmkmmm 11112111121111112!kmmkmmmmmm 111122!3!km 第 28 页 共 35 页 111122 13 211k km m 11111112122311kkmm 133m 又因102,3,4,kkmCkmm，故1213mm 1213mm，从而有11213knknnk成立，即存在2a，使得11213knknnk恒成立。（四川文 20）设函数3()f xaxbx
50、c(0)a 为奇函数，其图象在点(1,(1)f处的切线与直线670 xy垂直，导函数()fx的最小值为12（）求a，b，c的值；（）求函数()f x的单调递增区间，并求函数()f x在 1,3上的最大值和最小值 解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力（）()f x为奇函数，()()fxf x 即33axbxcaxbxc 0c 2()3fxaxb的最小值为12 12b 又直线670 xy的斜率为16 因此，(1)36fab 2a，12b ，0c （）3()212f xxx 第 29 页 共 35 页 2()61 26(2)(2)fxxxx