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1、 浅析中考中的“规律”问题 浙江省嵊州市三塘中学 顾方东 邮编 312459 随着新课程改革的推进和新课标教材的实施，自主探索的思想不断出现于中考命题中，作为亲身体验和在探索中认识数学的载体，许多省市采用了一些找规律的试题，这样的试题往往设计独特、格调清新、构思新颖。有利于考查学生的探究意识和创新精神。下面以 2006 年的中考试题为例，谈谈中考中的一些“规律”问题。一.数中的规律 1.与数列相关的规律 对于比较简单的数列问题，学生可以通过已有的知识和自己的观察、类比、分析得到。例 1.(重庆市 2006年)按一定的规律排列的一列数依次为：1 1 1111,2 3 10 15 26 35 按此
2、规律排列下去，这列数中的第 7 个数是 .【分析及简解】本题只要找出分母的变化规律，不难发现 2、3、10、15、26、35 分别可以写成112、122、132、142、152、162依次规律第 7 个数可以写成172，故答案为501。例 2.(2006年南安市)12观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，15，32，那么第 10 个数据应是 .【分析及简解】本题只要把这组数据中几个最简根式还原为181512963、，然后找根号内的数的变化规律：发现 0、3、6、9、12、15、18 都是 3 的倍数，所以可以写成 3（n-1）（n 为数据的顺序数）的形式，故第 10 个数据应是27
3、，即为33。2.与数表相关的规律 这是一类数表相结合的题型，是从表中来找出数的关系和数的规律，从而来解决问题。例 3.(日照市 2006年)德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为 1，分母为正整数的分数）：第一行 11 第二行 12 12 第三行 13 16 13 第四行 14 112 112 14 第五行 15 120 130 120 15 根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是：【分析及简解】本题通过观察在莱布尼兹三角形中有这样的规律：三角形外围的分数中分母是连续的整数，且每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和。故答案为111111,.6 30 60 60 3
4、0 6。例 4.（乐山市 2006年）观察下列数表：根据数列所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为 .第四列第三列第二列第一列第四行 4 5 6 7 第三行 3 4 5 6 第二行 2 3 4 5 第一行 1 2 3 4 【分析及简解】本题能从数表中直观的看出规律：任意一行的第一个数即为该行的行数，且每一行从第一个数开始都是连续的整数。故第 n 行的第一个数是 n，则该行的第 n 列的数为 n+(n+1)=2n+1。二.图中的规律 1.生活图形中的规律 在现实生活中有着许许多多美丽的图形，只要仔细观察这些生活图形，其中暗藏着我们数学中的一些知识和规律。例 5.(2006年福州市)一串有趣的
5、图案按一定规律排列请仔细观察，按此规律画出的第 10 个图案是 ；在前16 个图案中有个第 2008个图案是 .【分析及简解】本题是一串美丽的脸形图案，通过观察不难发现其中的规律，它是以这样 三个为一变化单位，故易得答案分别为 ，5，例 6.(2006年大连西岗区)如图 6 是小亮用 8 根，14 根、20 根火柴搭的 1 条、2 条、3 条“金鱼”，按此方法搭 n 条“金鱼”需要火柴_根。(用含 n 的代数式表示)3条2条1条图6【分析及简解】本题“金鱼”图案中火柴根数的规律：后一个“金鱼”图的火柴根数比前一个“金鱼”图的火柴根数多 6 条。故搭 n 条“金鱼”需要火柴比第一条多 6（n-1
6、）根，所以答案为 6n+2。2.游戏图形中的规律 随着新课标的实施，游戏活动在数学中大量的出现，游戏图形也相继出现在中考中，通过一些游戏图形中的规律来考查学生的探究意识和创新精神。例 7.(云南省 2006年)观察图（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第 n 个图中小圆圈的个数为 m，则，m=_ （用含 n 的代数式表示）.【分析及简解】在这个游戏中，根据小圆圈的摆放规律它的个数有这样的规律：每增加一个正方形小圆圈就增加 3 个。故第n 个图形中小圆圈的个数比第一个多 3（n-1），即 m=5+3(n-1)=3n+2。例 8.(2006年无锡市)探索规律：根据下图中箭头
7、指向的规律，从 2004到 2005再到 2006，箭头的方向是（）【分析及简解】在这个游戏中，如果从数上去分析箭头方向，显然较为困难。不妨从箭头本 身的变化过程去找规律，易知它是以这样 为一个变化周期，即 4 个数为一个变化周期，则从 0 到 2004 有 2005 个数，答案应选 A。3.平面图形中的规律 平面图形中的知识在初中阶段是属于要求掌握的内容之一，其中也有一些找规律的题型。例 9.（2006年温州市）在边长为 l 的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形第 1 个“L”形图形的周长是 8，第 2 个“L”形图形的周长是 12，则第 n 个“L”形图形的周 长是 .【分析及简解】
8、本题只要来移动“L”形内侧的两条线条使其成为一个正方形，这样问题就变成了求正方形的周长，且从图中的变化规律可知边长是逐一增加的，故答案为 4（n+1）。例 10.（成都市 2006年）如图，如果以正方形 ABCD的对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，已知正方形 ABCD的面积1S为 1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23SS，Sn（n为正整数），那么第 8 个正方形的面积8S _。ABCDEFGHIJ【分析及简解】本题主要是在正方形中对角线是边长的2倍的规律，易得答案为 128。4.空间图形中的规律 空间图形相对平面图形来讲
9、要显得抽象些，学生就要有一定的空间想象能力，在此基础上空间图形中的一些规律问题就能迎刃而解。例 11.(2006年山东省青岛市)如图，下列几何体是由棱长为 1 的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第 n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 个 【分析及简解】本题涂色的问题实际上是在这个空间图形中找露出两个表面的小立方体的个数，这样可在几何体中从上而下分层的找出规律：第一层四边中，每边上除两端的小立方体外都是露出两个面的，以下几层都是每层四端的小立方体有两个面露出。所以第 n 个几何体露出两个面的可以分第一层有 4（n-1）个，以下几层共有 4n 个
10、，故答案为 8n-4。例 12.(烟台市 2006年)下列图形中，图(a)是正方体木块，把它切去一块，得到如图(b)(c)(d)(e)的木块 (1)我们知道，图(a)的正方体木块有 8 个顶点、12 条棱、6 个面，请你将图(b)、(c)、(d)、(e)中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：（6 分）图号 顶点数 x 棱数 y 面数 z(a)8 12 6(b)(c)(d)(e)(2)上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数 x、棱数 y、面数 z 之间的数量关系式（2 分）【分析及简解】本题只要熟悉正方体这个空间图形就马上能得到表中的答案 图号 顶点
11、数 x 棱数 y 面数 z(a)8 12 6(b)6 9 5(c)8 12 6(d)8 13 7(e)10 15 7 而要得到顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以具体分析表中的数据即可，易得顶点数+面数-棱数=常数 2 的规律，应此有2yzx（欧拉定理）。三.直角坐标中的规律 直角坐标中的一些规律主要是与坐标相关联，往往是通过点的坐标和坐标中特有的 对称性来解决规律问题 例 13.（江苏省淮安市 2006年）如图，已知 Al(1，0)、A2(1，1)、A3(-1，1)、A4(-1，-1)、A5(2，-1)、。则点 A2007，的坐标为_ 【分析及简解】本题要解决 A2007的坐标，首先要知道它
12、在第几象限。从图中 A 点变化趋势中能够找出这样的规律：以A2，A3，A4，A5为起始点分别向坐标的的四个象限延伸，同一象限内相邻的两点之间相隔 4 个点，且相邻的两点之间的纵横坐标逐一递减或递增。而 2007=4501+3 所以2007A是以3A为起始点的在第二象限的第 502 个点，又3A的坐标为（-1，1），故2007A的坐标为（-502，502）。例 14.(2006年泉州市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点请 你观察图中正方形 A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形 A10B10C10D10四条边上的整点
13、共有 【分析及简解】从坐标中观察可以得到正方形经过的整数点依次为 8、16、24 所以易得这样的规律：正方形nnnnDCBA四条边上的整点为 8n个。故正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有 80 个。纵观 2006 年中考中的这些“规律”问题，不难发现培养学生的探究意识和创新精神已是初中数学教学中不可缺失的一部分，各省市的这些中考题型是新课标实施的很好体现，同时也给当前的教学带来 了一些新意。此文发表于 2007 年第 6 期 读书的好处 1、行万里路，读万卷书。2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。3、读书破万卷，下笔如有神。4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。达尔文
14、 5、少壮不努力，老大徒悲伤。6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。颜真卿 7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。8、读书要三到：心到、眼到、口到 9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。10、一日无书，百事荒废。陈寿 11、书是人类进步的阶梯。12、一日不读口生，一日不写手生。13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。高尔基 14、书到用时方恨少、事非经过不知难。陆游 15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈歌德 16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。笛卡儿 17、学习永远不晚。高尔基 18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。刘向 19、学而不思则惘，思而不学则殆。孔子 20、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。培根