二次型的性质及应用4883.pdf

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1、 唐山师范学院本科毕业论文 题 目 二次型的正定性及其应用 学 生 王倩柳 指导教师 张王军 讲师 年 级 2012 级数学专接本 专 业 数学与应用数学 系 别 数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014 年 5 月 郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）：2014 年 月 日 目 录 摘 要.(0)前言.(0)1 二次型的历史及概念.(2）二次型的历史.（2）二次型的

2、矩阵形式.(1)正定二次型与正定矩阵的概念.(3)2 二次型的正定性判别方法及其性质.(2)3 二次型的应用.(6)多元函数极值.(6)证明不等式 .(12)因式分解.(错误!未定义书签。)二次曲线.(13)结论.(13)参考文献.(13)致谢.(13)二次型的正定性及其应用 学生：王倩柳 指导老师：张王军 摘 要：二次型是高等代数中的主要内容之一,其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中,用初等数学方法处理会相当麻烦,而如果利用高等代数中二次型的性质去解决,就会使很多问题化繁为简,由难转易。因此,讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面

3、积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用,是很有意义的。关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student:Wang qianliu Instructor:Zhang wangjun Abstract:Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra,Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the

4、proof of inequality,extremum and the factorization problem,It is too cumbersome often using elementary mathematics method,but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties,will make a lot of problems change numerous for brief,from difficult to easy.For our students,more should le

5、arn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content,a deeper understanding of the essence of higher algebra.This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality,polynomial factorization,calculation of elliptical area,judge

6、 two the shape of the curve and actual examples of Key words:Quadratic;Quadratic matrix;Qualitative;Application 前言 二次型是高等代数中的主要内容之一,其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中,用初等数学方法处理会相当麻烦,而如果利用高等代数中二次型的性质去解决,就会使很多问题化繁为简,由难转易。因此,讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用,是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型占用特

7、殊的位置.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.1 二次型的历史及概念 二次型的历史 二次型的系统是从 18 世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在 18 世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了 n个变数的二次型的惯性定律，但没有证

8、明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801 年，高斯在算数研究中引进了二次型的正定，负定，半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究设计二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则由阿歇特、蒙日和泊松建立的。二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正

9、定性判别，并将其实现应用价值.二次型的矩阵形式 定义 设 P 是一个数域，ijap,n 个文字1x,2x,nx的二次齐次多项式 21211 11212131311(,)222nnnf x xxa xa x xa x xa x x 222223232222nna xa x xa x x 2nnna x 11nnijijija x x 其中),.,2,1,(njiaajiij 称为数域 p 上的一个 n 元二次型，简称二次型.当ija为实数时，f 称为实二次型.当ija 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,.,)nf x xx=2221 112.nnd xd x

10、d x称 f 为标准型.二次型12(,.,)nf x xx可唯一表示成12(,.,)nf x xx=Tx Ax，其中12(,.,)Tnxx xx，()ijn nAa为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称 A 为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称 A 的秩为二次型 f 的秩.正定二次型与正定矩阵的概念 定义 设12(,.,)nf x xx=Tx Ax是 n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,.,nc cc都有12(,.)0nf c cc，则称 f 为正定二次型,称 A 为正定矩阵；如果12(,.)0nf c cc，则称f 为半正定二次型，称 A 为半正定矩阵;如果12

11、(,.)0nf c cc，则称 f 为负定二次型，称 A 为负定矩阵;如果12(,.)0nf c cc，称 f 为半负定二次型，称 A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称 A 为不定矩阵.定义 另一种定义 具有对称矩阵A的二次型,AXXfT(1)如果对任何非零向量X,都有0AXXT（或0AXXT）成立，则称AXXfT为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定矩阵（负定矩阵）.(2)如果对任何非零向量X,都有0AXXT（或0AXXT）成立，且有非零向量0X，使000AXXT，则称AXXfT为半正定（半负定）二次型，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注:二次型的正定(负定

12、)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.2 二次型的正定性的判别方法及其性质 定理实二次型12(,.,)nf x xx=Tx Ax为正定的充要条件为（若A是负定矩阵，则A为正定矩阵）：1）矩阵 A 的各阶顺序主子式都大于零；2）矩阵 A 与单位矩阵合同；3）A 的全部特征值是正的。4）n 级实对称矩阵A 是正定的充分必要条件是,存在n 级实可逆矩阵C,使A=CC.定理实二次型12(,.,)nf x xx=Tx Ax为半正定（半负定）的充要条

13、件为：1）A的所有主子式大于（小于）或等于零；2）A的全部特征值大于（小于）或等于零.3）A 与矩阵000)(rrEE合同，这里 r 是矩阵 A 的秩 4）n 级实对称矩阵A 是半正定的充分必要条件是,存在n 级实矩阵C使 A=CC（A=CC）.推论 若A为正定矩阵,则0|A.定理 秩为r的n元实二次型AXXfT,设其规范形为 22122221rppzzzzz 则：(1)f负定的充分必要条件是,0p且.nr(即负定二次型,其规范形为22221nzzzf)(2)f半正定的充分必要条件是.nrp(即半正定二次型的规范形为nrzzzfr,22221)(3)f半负定的充分必要条件是,0p.nr (即n

14、rzzzfr,22221)(4)f不定的充分必要条件是.0nrp(即22122221rppzzzzzf)定义 n阶矩阵)(ijaA的k个行标和列标相同的子式)1(21212221212111niiiaaaaaaaaakiiiiiiiiiiiii ii ii ikkkkkk 称为A的一个k阶主子式.而子式),2,1(|212222111211nkaaaaaaaaaAkkkkkkk 称为A的k阶顺序主子式.定理证明n阶矩阵)(ijaA 为正定矩阵的充分必要条件是A的所有顺序主子式 ),2,1(0|nkAk.例 设 A B 分别是 m 级、n 级正定矩阵，证明BOOAc 正定矩阵。证明：法 1 设y

15、xz为 m+n 维向量，其中 x，y 分别是 m 维和 n 维列向量.当 z 不=0时，x，y 不同时为零向量，于是 0),(CyyCxxyxBOOAyxCzzTTTTT 故 C 为正定矩阵。法2 设 A 的各阶顺序主子式为Am1-m21.，而 B 的顺序主子式为Bmm，,.,121。由 A,B 正定知0i，0i 由于 C 的各阶顺序主子式i（i=1，2，.,m+n）满足0,.,0i11i 0,.,011nnmmAA 故 C 为正定矩阵。例 考虑二次型22212312132344224fxxxx xx xx x,问为何值时，f 为正定二次型.解:利用顺序主子式来判别,二次型 f 的矩阵为114

16、2124A，A 的顺序主子式为 110 ；22144；231142 14484(1)(2)124 .于是，二次型 f 正定的充要条件是：230,0 ，有2240，可知，22；由 34(1)(2)0 ,可得12,所以，当12时,f正定.例 设A是 n 级正定矩阵，B是 n 级实反对称矩阵，证明2BA为正定矩阵。分析：只要证明2BA的特征值全大于零即可 证 明:由A正 定 知A是 实 对 称 矩 阵，TAA,TBB.从 而2222)()()(BABABABATTT，即2BA也是实对称矩阵.对任意0 x有0)()()()(2BXBXAXXXBBAXXBAXTTTTT，即，2BA的特征值全大于零，故，

17、2BA为正定矩阵.（注：正定矩阵必须是实对称矩阵，因此在论证之前应注意 A 是否为实对称矩阵，若不是实对称矩阵，根本谈不上正定性）3 二次型的应用 多元函数极值 在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决 定义 设n元函数12()(,)nf Xf x xx在12(,)TnnXx xxR的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.记12()()()(),nf Xf Xf Xf Xxxx,()f X称为函数()f X在点12(,)TnXx xx处的梯度.定义 满足0()0f X的点0X称为函数()f X的驻点.定义 222211212222212()()()()()()

18、()()nijn nnnnf Xf Xf Xxx xx xf XH Xx xf Xf Xf Xxxxxx 称为函数12()(,)nf Xf x xx在点nXR处的黑塞矩阵.显然()H X是由()f X的2n个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵.定理(极值存在的必要条件)设函数()f X在点000012(,)TnXxxx处存在一阶偏导数，且0X为该函数的极值点，则0()0f X.定理(极值的充分条件)设函数()f X在点0nXR的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且000012()()()(),0nf Xf Xf Xf Xxxx 则:(1)当0()H X为正定矩阵时，0()f X为()f X的极小

19、值;(2)当0()H X为负定矩阵时，0()f X为()f X的极大值;(3)当0()H X为不定矩阵时，0()f X不是()f X的极值.应注意的问题：利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.例 求三元函数222(,)23246f x y zxyzxyz的极值.解:先求驻点，由 220440660 xyzfxfyfz得1,1,1xyz 所以驻点为0(1,1,1)P .再求(Hessian)黑塞矩阵 因为2,0,0,4,0,6xxxyxzyyyzzzffffff,所以200040

20、006H，可知H是正定的，所以(,)f x y z在0(1,1,1)P 点取得极小值：(1,1,1)6f .当然，此题也可用初等方法222(,)(1)2(1)3(1)6f x y zxyz求得极小值6，结果一样.定理 设 n 元实函数12(,)nf xxx在点 P0的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数12(,)nf xxx在点 P0近旁有性质：1）若XAX正定，则 P0为极小点；2）若XAX负定，则 P0为极大点；3）若XAX不定，则 P0非极大点或极小点；4）其余情形时，在点 P0性质有待研究余项 R 的性质来确定.特别当是二次函数时，R=0，只要XAX半正（负）定，则 P0为

21、极小（大）点.例 求函数22ln()zxyxy的极值.解：222222ln()xxyzyxyxy 222222ln()yxyzxxyxy 解方程组00 xyzz，易得，01,10 xxyy ，eyex2121 222222222222()2(3),()()xxyyxy xyxyxyzzxyxy 44222222()ln()()xyyxxyzzxyxy 于是，xxxyyxyyzzAzz，经计算得 1111(,)(,)222220|02AA 正定；1111(,)(,)222220|02AA 负定；(1,0)(0,1)02|20AA不定.故在点(1,0)，点(0,1)，Z 不取极值；在1111(,)

22、,(,)2222eeee点，Z 取极小值，1=-2ze极小；在1111(,),(,)2222eeee点，Z 取极大值，1=2ze极大.下 面 利 用 二 次 型 的 矩 阵 的 特 征 值 求 多 元 函 数 的 最 值.设n元 二 次 型AXXXfT)(TnxxxX),.,(21，则f在条件112niix下的最大（小）值恰为矩阵A的最大（小）特征值.例 求函数313121321222),(xxxxxxxxxf 在1),(232221T321xxxxxxT满足条件的最小值.解：先对二次型，作正交变换Q)(TAf将其化为标准形式332211yyy,然后在条件1232221TyyyQQTTT下讨论

23、函数的最小值.该二次型的实对称矩阵为 011101110A，它的特征多项式2)1)(2(AE.对于特征值1，求得两个线性无关的特征向量TT)1,0,1(,)0,1,1(；再用Schmidt正交化方法，得两个单位正交的特征向量 TT)62,61,61(,)0,21,21(32 取正交矩阵 62031612131612131),(321Q 则有)1,1,2(T diagAQQ.对二次型AfT)(做正交变换Q，得.2)()(232221TyyyAQQfT )1(相应地，条件1232221Txxx化为 1232221yyyQQTTT.)2(于是原题意化为对)1(式的三元二次其次函数在满足条件)2(时求

24、其最小值.此时，显然有 22)(232221232221yyyyyyf 又当)0,0,1(),(321Tyyy时2f，所以f满足条件)2(的最小值2minf，而且它仅在T)0,0,1(1和T)0,0,1(2处 取 得 最 小 值.回 到 变 元Txxx),(321，则),(321xxxf在TQ)31,31,31(111和TQ)31,31,31(222处取得最小值.最后再介绍一个有用的定理：定理 设 A 为 n 阶正定矩阵TnxxxX),.,(21与Tnccc),.,(21实向量，为实数，则实函数xAxxxfTT2)(当1Ax时取得最小值AT.证明:11xAxfTT，由 A 正定，1A存在（对称

25、）而111001010AAAEAAETTnTTn，1010111AEAETnTn，1001011xAAAExfTTnT 其中，1AXY，A正定，故1AX，所以)(xf取得最小值AT.例 已知实数yx,满足122 yx，求 xyyxyxf22),(22的最大值和最小值.解),(yxf的矩阵2111A，132AE。因此，特征值)53(21),53(2121 于是得),(yxf在122 yx下的最大值是)53(211 最小值是)53(212。证明不等式 其证明思路是:首先构造二次型,然后利用二次型半正定性的定义或等价条件,判断该二次型（矩阵）为半正定,从而得到不等式.例（Cauchy不等式）设,(1

26、,2,)iia b in为任意实数,则 222111()()()nnniiiiiiiabab.证明 记22222121211221111(,)()()2()()nnnniiiiiiiiiif x xa xb xaxab x xbx 因为对于任意12,x x,都有12(,)0f x x,故关于12,x x的二次型12(,)f x x是半正定的.因而定理1知,该二次型矩阵的行列式大于或等于 0,即 2112110nniiiiinniiiiiaababb.故得222111()()()nnniiiiiiiabab.例 证明 2211()nniiiinxx 证明 记221211(,)()nnniiiif

27、 x xxnxxX AX,其中 12111111(,),111nnnXx xxAn 将矩阵A的第 2,3,n列分别加到第一列,再将第 2,3,n行减去第 1 行,得 A0110000nn,于是A的特征值为 0,nn由定理可知,A为半正定矩阵,即二次型是半正定的,从而得12(,)0nf x xx,即 2211()nniiiinxx 结论得证.例 设,是一个三角形的三个内角,证明对任意实数,x y z,都有 2222cos2cos2cosxyzxyxzyz.证明 记222()2cos2cos2cosf XX AXxyzxyxzyz，其中1coscos(,),cos1cos,coscos()cosc

28、os1Xx y zA 对A做初等行变换得:A1coscos0sinsin000,于是A的特征值为 0,1,sin,从而得二次型()f X是半正定的,即对于任意实数,x y z,()f X0,得证.例 设A为n阶半正定矩阵,且A0,证明1AE.证明 设A的全部特征值为(1,2,)iin,则AE的全部特征值为 1i(1,2,)in.因为AE为实对称矩阵,所以存在正交矩阵T,使得 121111nAETT 由于A为半正定矩阵,且0A,则AE是半正定的,且其中至少有一个00i,同时至少有一个等于零.故01(1)11niiiAE,结论得证.以上是根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型,从而证明不等式.

29、使用这种方法简单,方便.因式分解 定理 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是:它的秩为2和符号差为 0,或秩等于 1.例 多因式2212121212(,)3226f x xxxx xxx在R上能否分解,若能,将其分解.解 考虑二次型2212312121323(,)3226g x xxxxx xx xx x,则 123(,)g x xx的矩阵为 111133130A,对A施行合同变换,求得可逆矩阵 31121012001P,且140P AP.显然,A的秩为 2 且符号差为 0,由定理知,123(,)g x xx可以分解.经非退化线性替换 1122333112101

30、2001xyxyxy,化为22123121212(,)4(2)(2)g x xxyyyyyy.由1YP X,得1123yxxx,22312yxx,33yx.于是12312312(,)(2)(3)g x xxxxxxx.故12121212(,)(,1)(2)(3)f x xg x xxxxx.例 多项式2212121212(,)22 266 29f x xxxx xxx在R上能否分解 如果能,将其分解 解 考虑二次型222123123121 323(,)292 266 2g x x xxxxx xx xx x,其矩阵为 123123223 200000033 29A 则秩1rankA,所以123

31、(,)g x xx能在R上分解,则1212(,)(,1)f x xg x x也能在R上分解.易得 2121212(,)(,1)(23)f x xg x xxx.二次曲线 事实上，化简二次曲线并判断曲线的类型所用的坐标变换就是二次型中的非退化线性替换，因此可以利用二次型判断二次曲线的形状.例 判断二次曲线0222422xyxyx的形状.解：设xyxyxyxf2224),(22，令xzxyzyxzyxg2224),(222，则)1,(),(yxgyxf.对),(zyxg实施非退化线性替换：zzzyyzyxx1113,即111111334zzzyyzyxx 则2121213103),(zyxzyxg

32、，从而03103)1,(),(2121yxyxgyxf.即11091032121yx，故曲线0222422xxyyx表示椭圆.结论 二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物理的许多分支都有着广泛的应用。用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果。本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用。将多元元函数求极值问题化为一个二次型问题。在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小值。参考文献：1

33、北京大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)M.高等教育出版社.2007:205-234.2庄瓦金编.高等代数教程M.高等教育出版社.2004:427.3陈惠汝,刘红超.浅淡二次型标准形的两种方法J.长春师范学院报,2004,23(2):13-15.4孙秀花.二次型的应用J.宜宾学院报,2010,10(6):28-29 5鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用J.常熟理工学院报,2009,23(10):38-42 6杨文杰.实二次型半正定性及应用J.渤海大学学报,2004,25(2):127-129 7郑华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用J.科技通报，2002,18(30):

34、227 8袁仕芳,陈云长,曾丽容.关于二次型XAX 最大值和最小值的教学思考J.考试周刊,2010,35:74 致谢 值此本科学位论文完成之际，首先要感谢我的导师张王军老师。张老师从一开始的论文方向的选定，到最后的整篇文论的完成，都非常耐心的对我的论文进行指导。给我提供了大量数据资料和建议，告诉我应该注意的细节问题，细心的给我指出错误，修改论文。张老师诲人不倦的工作作风，一丝不苟的工作态度，严肃认真的治学风格给我留下深刻的影响，值得我永远学习。在此，谨向导师张王军老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！这次毕业论文能够得以顺利完成，并非我一人之功劳，是所有指导过我的老师，帮助过我的同学和一直关心支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励的结果。我要在这里对他们表示深深的谢意！