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1、五年级下册数学第二单元知识点 探究新知（一）认识因数与倍数（出示主题图）观察上面的图，你看到了什么用算式怎样表示 像这样的乘法算式中，三个数 2、6、12 之间还有一种关系，可以说2 和6 是12的因数，12是2 的倍数，也是6 的倍数。注意因为是一种关系，所以在描述因数或倍数时，必须说清楚谁是谁的因数或谁是谁的倍数。不能单独说谁是因数或倍数，也就是说：因数和倍数不能单独存在，它们是相互依存的。比如能说 12 是倍数吗（图 2）从图上你可以列出怎样的算式（图 3）从图上你可以列出怎样的算式(12112，1 和 12 都是 12 的因数。12 是 1 和 2 的倍数。)12 的因数有哪几个 12
2、=112 12=26 12=34 师：说说看你是怎么找的（预设：方法一用乘法一对一对找，如 11212，2612；方法二用整除的方法，12112，1226，1234，124；）教师引导学生按照一定的规律来找。其实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示：所以以 12 的因数最小是 1，最大是 12 1，2，3，总结：因数、倍数的意义 1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。2、字母表示：如果 abc（a，b，c 是非 0 自然数），那么 b，c 是 a的因数，a 就是 b，c 的倍数。1、找一个数的因数的方法 列除法算式找。用此数分
3、别除以大于等于1 且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且无余数，这些除数和商就是这个数的因数。列乘法算式找。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。2、表示一个数的因数的方法：列举法；集合法。3、一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。找一个数的倍数 1、找一个数的倍数的方法 列除法算式找，看到哪些非 0 自然数除以这个数商是整数且没有余数，这个数都是这个数的倍数。列乘法算式找，用这个数依次与非 0 自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。2、一个数的倍数的表示方法：列举法；集合法。3、一个数的倍数的特征：一个数的
4、倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。4、（请注意）不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数都是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。5、（请注意）在一定的范围内找一个数的倍数时，这个数的倍数的个数就是有限的，在表示时不用加省略号。【知识点 1】倍数与因数的关系 倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。例如：6 是倍数、3 和 2 是因数。（）改正：6 是 3 和 2 的倍数，3 和 2是 6 的因数。练习：（1）85=40，（）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数。（2）因为 369=4，所以（）是（）和（）的倍数，（）
5、和（）是（）的因数。（3）在 186=3 中，18 是 6 的（），3 和 6 是（）的（）。（4）在 147=2 中，（）能被（）整除，（）能整除（），（）是（）的倍数，（）是（）的因数。（5）若 AB=C（A、B、C 都是非零自然数），则 A 是 B 的（）数，B 是 A 的（）数。（6）如果 A、B 是两个整数（B0），且 AB2，那么 A 是 B 的 ，B 是 A 的 。（7）判断并改正：因为 76=42，所以 42 是倍数，7 是因数。（）因为 155=3，所以 15 和 5 是 3 的因数，5 和 3 是 15的倍数。（）5 是因数，15 是倍数。（）甲数除以乙数，商是 15，那么
6、甲数一定是乙数的倍数。（）（8）甲数3=乙数，乙数是甲数的（）。A、倍数 B、因数 C、自然数【知识点 2】倍数因数只考虑整数，小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。例如：5=3，虽然可以表示的 5 倍是 3 但是，是小数是不讨论倍数因数问题。因此类似的：因为5=3，所以 3 是和 5 的倍数。是错误的说法。练习：（1）有 52=可知（）A、5 能被 2 除尽 B、2 能被 5 整除 C、5 能被 2 整除 D、2 是5 的因数，5 是 2 的倍数（2）365=71 可知（）A、5 和 7 是 36 的因数 B、5 能整除 36 C、36 能被 5 除尽 D、36 是 5 的倍数（3）属于因数和
7、倍数关系的等式是（）A、2 B、22550 C、200【知识点 3】0 的意义 你能举一个算式，并说说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗 讨论：出示：03 010 03 010 通过刚才的计算，你有什么发现 0 乘任何数都得 0,0 除以任何非 0 的数也都得 0，那说明任何数是 0的因数，0 是任何非 0 的数的倍数。所以为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是整数，一般不包括 0。【知识点 4】没有前提条件确定倍数与因数 例如：36 的因数有（）。确定一个数的所有因数，我们应该从 1 的乘法口诀一次找出。如：136=36、218=36、312=36、49=36、66=36 因此 36 的
8、所有因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36 重复的和相同的只算一个因数。一个数的因数个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是他本身。例如：7 的倍数（）。确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：17=7、27=14、37=21、47=28、57=35还有很多。因此 7 的倍数有：7、14、21、28、35、42 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。练习：（1）20 的因数有：（2）45 的因数有：（3）24 的倍数有：（4）17 的倍数有：（5）下面的数，因数个数最多的是（）。A、18 B、36 C、40 （6）判断并改正：14 比 12 大，所以 14
9、 的因数比 12 的因数多 （）1 是 1，2，3，4，5 的因数 （）一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。（）一个数的最小倍数是它本身 （）12 是 4 的倍数，8 是 4 的倍数，12 与 8 的和也是 4 的倍数。（）凡是 8 的倍数也一定是 2 的倍数。（）（7）幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了 32 颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少（8）小红到超市买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了 3 本同样的日记本，售货员阿姨说应付 35 元，小红认为不对。你能解释这是为什么吗 【知识点 5】有前提条件的情况下确定倍数与因数 例如：25 以内 5 的倍数有（5、10、
10、15、20、25）。特别注意前提条件是 25 以内！例如：5、1、20、35、40、10、140、2 以上各数中，是 20 的因数的数有（）；是 20 的倍数的数有（）；既是 20 的倍数又是 20 的因数的数有（）。首先我们应该明确 20 的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！练习：（1）100 以内 19 的倍数有：（2）在 4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，28，32，36 中 4 的倍数：36 的因数：（3）一个数既是 6 的倍数，又是 60 的因数，这个数可能是 （4）用 1、5、6、8、9 组成的数中，是 3
11、 的倍数的数有 是 2 的倍数的数有 。【知识点 6】关于倍数因数的一些概念性问题 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是他本身。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。1 是任一自然数（0 除外）的因数。也是任一自然数（0 除外）的最小因数。一个数的因数最少有 1 个，这个数是 1。除 1 以外的任何整数至少有两个因数（0 除外）。一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数 练习：（1）一个数的倍数个数是（），最小的倍数是（），（）最大的倍数。（2）一个数的因数的个数是（），最小的因数是（），
12、最大的因数是（）。（3）在研究因数和倍数时，我们所说的数一般指的是（）。（4）判断并改正：一个数的因数都比他的倍数小。（）1 是所有的自然数的因数。（）一个数的因数一定小于他本身。（）一个数的倍数一定比他的因数大。（）任何一个数的倍数个数一定比因数个数多。（）能力提升题 一、判断题 1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。()2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。()3、个位上是 0 的数都是 2 和 5 的倍数。()4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。()5、5 是因数，10 是倍数。()6、36 的全部因数是 2、3、4、6、9、12 和 18，共有 7
13、个。()7、因为 189=2，所以 18 是倍数，9 是因数。()9、任何一个自然数最少有两个因数。()10、一个数如果是 24 的倍数，则这个数一定是 4 和 8 的倍数。()11、15 的倍数有 15、30、45。()12、一个自然数越大，它的因数个数就越多。()13、15 的因数有 3 和 5。()14、8 的因数只有 2，4。()三、选择题 1、15 的最大因数是（），最小倍数是（）。1 3 5 15 2、在 1427 中，2 和 7 都是 14 的（）。素数 因数 质因数 3、一个数，它既是 12 的倍数，又是 12 的因数，这个数是（）。6 12 24 144 4、一筐苹果，2 个一拿，3 个一拿，4 个一拿，5 个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（）。120 个 90 个 60 个 30 个 5、下面的数，因数个数最多的是（）。A 18 B 36 C 40 四、应用题。1、一个小于 30 的自然数，既是 8 的倍数，又是 12 的倍数，这个数是多少 2、幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了 32 颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少 3、小朋友到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了 3 本日记本，售货员阿姨说应付134 元，小红认为不对。你能解释这是为什么吗