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1、.二次函数与一元二次方程教学案 二次函数与一元二次方程之间的联系 1.二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x轴交点情况：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当240bac 时，图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa.当0 时，图象与x轴只有一个交点；当0 时，图象与x轴没有交点.1当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2当0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2.抛物线2yaxbx
2、c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；例：二次函数232 与*轴有无交点“假设有，请说出交点坐标；假设没有，请说明理由:根据图象的位置判断二次函数中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.总结：一元二次方程02cbxax的实数根就是对应的二次函数cbxaxy2.xy(,)(,)Oxy(,)xy与 x轴交点的.二次函数与一元二次方程的关系如下：一元
3、二次方程的实数根记为21xx、二次函数cbxaxy2 与 一元二次方程02cbxax 与x轴有个交点 acb420，方程有的实数根是.与x轴有个交点 这个交点是点 acb420，方程有的实数根是.与x轴有个交点 acb420，方程实数根.二次函数cbxaxy2与y轴交点坐标是.经典例题讲解【例 1】：关于x的方程23(1)230mxmxm 求证：m取任何实数时，方程总有实数根；假设二次函数213(1)21ymxmxm的图象关于y轴对称 求二次函数1y的解析式；一次函数222yx，证明：在实数围，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值12yy均成立；在条件下，假设二次函数23yaxbxc的图
4、象经过点(50)，且在实数围，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy，均成立，求二.次函数23yaxbxc的解析式【思路分析】此题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比拟常见的关于一元二次方程与二次函数的考察方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论 M=0和 M0 两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于 Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为 0，然后求得解析式。第二问参加了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y恰好是抛物线1y的一条切线，只有一个公共点1，0。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号
5、，也必须过该点。于是通过代点，将3y用只含 a 的表达式表示出来,再利用132yyy,构建两个不等式,最终分析出 a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.【解析】解：1分两种情况：当0m 时，原方程化为033x，解得1x，不要遗漏 当0m，原方程有实数根.当0m时，原方程为关于x的一元二次方程，222 31 4236930mmmmmm.原方程有两个实数根.如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于 0 就可以了，不过中考如果不是压轴题根本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了 综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.2关于x的二次函数32)1(321mxmmxy
6、的图象关于y轴对称，0)1(3m.关于 Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为 0 1m.抛物线的解析式为121 xy.221212210yyxxx，判断大小直接做差 12yy当且仅当1x 时，等号成立.3由知，当1x 时，120yy.1y、2y的图象都经过1,0.很重要，要对那个等号有敏锐的感觉 对于x的同一个值，132yyy，23yaxbxc的图象必经过1,0.又23yaxbxc经过5,0，231545ya xxaxaxa.巧妙的将表达式化成两点式，防止繁琐计算 设)22(54223xaaxaxyyy)52()24(2axaax.对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy均成立，
7、320yy，2(42)(25)0yaxaxa.又根据1y、2y的图象可得 0a，24(25)(42)04aaaya最小.a0 时,顶点纵坐标就是函数的最小值 2(42)4(25)0aaa.2(31)0a.而2(31)0a.只有013a，解得13a.抛物线的解析式为35343123xxy.【例 2】关于x的一元二次方程22(1)2(2)10mxmx.1当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；2点11A，是抛物线22(1)2(2)1ymxmx上的点，求抛物线的解析式；3在2的条件下，假设点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，假设存在，请求出直线的解析式；假设不存在，请
8、说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析.式，比拟简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线 y=k*+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为 y=k*+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于*轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.【解析】：1由题意得22224(1)0mm （）解得54m 解得1m 当54m 且1m 时，方程有两个不相等的实数根.2由题意得212(2)11mm 解得31mm，舍(始终牢记二次项系数不为 0
9、)3抛物线的对称轴是58x 由题意得114B，(关于对称轴对称的点的性质要掌握)14x 与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)另设过点B的直线ykxb0k 把114B，代入ykxb，得14kb，114bk 整理得218(10)204xk xk 有且只有一个交点，21(10)4 8(2)04kk 解得6k 综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有14x ，162yx【例 3】P3,m)和 Q1，m是抛物线221yxbx上的两点 1求b的值；2判断关于x的一元二次方程221xbx=0 是否有实数根，假设有，求出它的实数根；假设没有，请说明理由；3将抛物线221yxbx的图象
10、向上平移kk是正整数个单位，使.平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值【例 4】关于x的一元二次方程22410 xxk 有实数根，k为正整数.1求k的值；2 当 此 方 程 有 两 个 非 零 的 整 数 根 时，将 关 于x的 二 次 函 数2241yxxk的图象向下平移8 个单位，求平移后的图象的解析式；3 在 2 的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的局部沿x轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象答复：当直线 12yxb bk与此图象有两个公共点时，b的取值围.【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于 0加上k为
11、正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去 8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比拟容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.解：1由题意得，168(1)0k 3k k为正整数，123k ，2当1k 时，方程22410 xxk 有一个根为零；当2k 时，方程22410 xxk 无整数根；当3k 时，方程22410 xxk 有两个非零的整数根 综上所述，1k 和2k 不合题意，舍去；3k 符合题意 当3k 时，二次函数为2242yxx，把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象的解析式为2246yxx 3设二次函数2246yxx的图象与x轴交于 y 8 6 4 2 2 4 2 4.AB、两点，则(3 0)A ，(10)B，依题意翻折后的图象如下图 当直线12yxb经过A点时，可得32b；当直线12yxb经过B点时，可得12b 由图象可知，符合题意的(3)b b 的取值围为1322b