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1、二次函数 y=ax2bxc 与 ax2bxc =0（a0）的关系1、 一元二次方程ax2bxc =0（a0）的根是二次函数y=ax2 bxc（ a0）与 x轴交点的横坐标，反之y=ax2bxc（a0）与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax2bxc =0（a0）的根；2、 一元二次方程ax2bxc =0（a0）根情况的判别即二次函数y=ax2bx c（a0）与 x 轴交点个数情况：判别式直接看方程平移例 1：抛物线 y=ax2bxc 图像如下，则 ax2bxc =0 的根有（）个ax2bxc+30 的根有（）个ax2bxc40 的根有（）个x3a例 2：若关于 x 的不等式组无解， 则二次函数
2、y=（ a-2）x2-x41与 X xa515轴交点有（）个；例 3：一元二次方程22717)83(2xy与 X 轴的交点个数为（）个；例 4：二次函数y=ax2bxc（a0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1）写出方程ax2bxc =0 的两个根；（2）写出不等式ax2 bxc 0 的解集；（3）写出 y 随 x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；（4）若方程 ax2bx c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。3、 韦达定理在二次函数y=ax2bxc（a0）中的应用（acabxxxx2121，）已知其中一个交点，求另一个交点：例 5： 若抛物线mxyx22与 X 轴的一
3、个交点是 （ 2， 0） 则另一个交点是 （） ；求两交点 A,B 线段的长度xxxxAB212421)(例 6：若抛物线32axyx与 X 轴的交点为A，B，且 AB 的长度为10，求 a 利用韦达定理求面积：例 7：抛物线mxyx22与 X 轴的一个交点是A(3，0） ，另一个交点是B，且5 1 3 2 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 与 y 轴交于点 C，（1）求 m 的值；（2）求点 B 的坐标；（3）该二次函数图象上
4、有一点D（x，y） （其中x0，y0） ，使ssABCABD，求点 D 的坐标。例 5：已知如图，二次函数2)2(22mxmyx与 x 轴于A,B两点，若OA:OB=3:1 ，求 m 例 6：已知二次函数mxmyx)1(2的图像交x 轴于 A(x1，0)、B（x2，0）两点，交 y 轴正半轴于点C，且102122xx。（1）求此二次函数的解析式；（）（2）是否存在过点D(0，25)的直线与抛物线交于点M、N,与 x 轴交于 E 点，使得 M、N 关于点 E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由。4、 抛物线 ax2bxc =0 与 x 轴交点及对称轴之间的关系；设抛物线与x
5、 轴的交点为A(x1，0)和 B（x2，0）则对称轴为直线221xxx，抛物线任纵坐标相等的两点关于对称轴对称，即若有），（，kNkxxM21)(，则则对称轴为直线221xxx。例 10：已知二次函数mxyx22的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程022mxx的解是（）5.若二次函数 y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴共有两个交点，则a 可取( ) 3 1 A B O x y 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -
6、- 6.已 知 二 次 函 数 y=ax2+bx+c （ a 0） 经 过 点 M（ -1 ， 2） 和 点 N（ 1， -2 ） ， 交 x 轴于 A， B 两 点 ， 交 y 轴 于 C 则 ： b=-2 ； 该 二 次 函 数 图 象 与 y 轴 交 于 负 半 轴 ； 存 在 这 样 一 个 a， 使 得 M、A、 C 三 点 在 同 一 条 直 线 上 ； 若 a=1 ， 则 OA?OB=OC2以 上 说 法 正 确 的 有 （）A B C D 解析 ：解： 二次 函数 y=ax2+bx+c （a 0）经 过点 M （ -1 ，2）和点N（ 1，-2 ） ，2a- b+c- 2a+b
7、+c解得 b=-2 故该选 项正 确方 法一 ： 二次 函 数 y=ax2+bx+c ，a 0 该 二次 函数 图象 开 口向 上点 M （ -1 ， 2）和 点 N（1， -2 ） ，直 线 MN的解 析式 为 y=-2x ，根据 抛物 线的 图象 的 特点 必然 是当 -1 x 1 时，二 次函 数图 象在 y=-2x的下 方，该 二次 函数 图象 与 y 轴交 于负 半轴 ；方法 二： 由 可得 b=-2 ， a+c=0 ，即 c=-a 0，所以 二次 函数 图象 与 y 轴交 于负 半轴 故该 选项 正确 根 据抛 物线 图象 的 特点 ， M 、 A、C三点 不可 能在 同一 条直
8、线 上故该 选项 错误 当 a=1 时， c=-1 ， 该 抛物 线的 解析 式 为 y=x2-2x-1 当 y=0 时， 0=x2-2x+c ，利 用根 与系 数的 关系 可得 x1?x2=c，即 OA ?OB=|c| ，当 x=0 时， y=c，即 OC=|c|=1=OC2，若 a=1，则 OA ?OB=OC2，故该 选项 正确 总上 所述 正 确故选 C7.如 图，在 平面 直 角坐 标系 xOy 中，一 次函 数 y1=kx+b（ k0）与反 比例函数y2 m/x( m 0)交 于 A（ -2 ，n）及另 一点B，与 两坐 标轴 分别 交于点 C、D过 A 作 AHx 轴于 H，若 O
9、C=2OH ，且 ACH的面 积为 9（ 1）求一 次函 数与 反比 例函 数的 解析 式及另 一交 点 B 的坐 标；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - （ 2）根据 函数 图象 ，直 接写 出当 y1 y2时自 变量 x 的取值 范围 解析 ： （1） A（-2 ，n）， OH=2 ， OC=2OH=4 ， CH=2+4=6， SACH 1/2 CH?|yA| 1/26? n 9n=3，（ 2 分） A（-2 ， 3）， C（ 4
10、，0），一 次函 数图 象过 点 A（-2 ， 3）， C（ 4，0）， y1 - 1/2x+2 （ 4 分） 3m/-2 ， m=-6 y2- 6/x ， B（6，-1 ）；（ 8 分）（ 2）x-2 或 0 x 6（10 分 ）8.已知二次函数 y=x2+ax+a-2(1) 说明 y=ax2+ax+a-2 与 x 轴有两个不同交点（2）求出交点距离（用a 的 表达式）解析 ：(1)因为 a2-4(a-2)=(a-2)2+4 0，（即 y=0 时，方程x2+ax+a-2 0 有两个不同的实数根），故y=x2+ax+a-2与 x 轴有两个不同交点。（2）令交点坐标为（x1,0) 、(x2,0), 且：x2x1，故：交点距离x2-x1 又 x1、x2 可以看作是方程x2+ax+a-2 0 的两个不同实数根，故：x1+x2=-a x1?x2=a -2 故：（ x2-x1 ）2（ x1+x2 ）24x1?x2 a2-4(a-2)=a 2-4a+8 故：交点距离(a 2-4a+8) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -