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1、 九年级数学一元二次方程带答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】第二章 一元二次方程 第 1 讲 一元二次方程概念及解法【知识要点】一.知识结构网络 二、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 1.直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为02bbx或bax2的形式的方程求解。当0b时，可两边开平方求得方程的解；当0b时，方程无实数根。2.因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于
2、 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3.配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为 1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()xmn2的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4.公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02cbxax，确定 a、b、c的值；（2）计算acb42的值并判别其符号；（3）若042 acb，则利用公式aacbbx242求方程的解，若042 acb，则方程无实数解。【典型例题】（1）67302xx（用因式分解法）解：0)
3、32)(13(xx（2）1432xx（用公式法）解：01432xx（3）030222xx（用配方法）解：15222xx【经典练习】一、直接开方法（1）()()xx11222 （2）bax2)(二、配方法注：（1）223002xx （2）3412xx 二、公式法 1.用求根公式法解下列方程()12202xx；解：()2 28102yy；解：()3 231802xx；解：()4 3212yy；解：()5 25102xx；解：()62 5302xx；解：()7 34502xx；解：(7)方程无实数根；()824 32 202xx；解：().9 0020030352xx；解：(9)先在方程两边同乘以
4、100，化为整数系数，再代入求根公式，解：。三、因式分解 1.用因式分解法解下列各方程：（1）x25x240；解：；（2）12x2x60；解：；（3）x24x1650 解：；（4）2x223x560；解：8，27，0)8)(72(21xxxx；（5）924164122xxx；解：（6）333 32()()xx；解：（7）xx23260()解：；（8）()xx 251062；解：(x2)25(x2)60，(x22)(x23)0，x14，x25；（9）t(t3)28；解：（9）t23t280，(t7)(t4)0，t17，t24；（10）(x1)(x3)15。解：x24x315，(x6)(x2)0，
5、x16，x22 2.用因式分解法解下列方程：（1）(y1)22y(y1)0；解：；（2）(3x2)24(x3)2；解：0)3(2)23)(3(2)23(xxxx（3）9(2x3)24(2x5)20；解：3(2x3)2(2x5)3(2x3)2(2x5)0，（4）(2y1)23(2y1)20。解：(2y1)1(2y1)20，三、综合练习 1.下列方程中，有两个相等实数根的方程是（B）A.7x2x10 B.9x24(3x1)C.xx27150 D.3222102xx 2.若 a，b，c互不相等，则方程(a2bc2)x22(abc)x30（C ）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没
6、有实数根 D.根的情况不确定 解析:因为4(abc)212(a2b2c2)4(2a22b22c22ab2ac2bc)4(ab)2(bc)2(ca)20 3.若方程m xmx222310()的两个实根的倒数和是 S，求：S 的取值范围。分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，0，求出 m的取值范围，再用 S 的代数式表示 m，借助 m 的取值范围就可求出 S 的取值范围。解：设方程的两个实根为221221211，32，则，mxxmmxxxx 方程有两个实根 3且23SS。4.已知关于 x的方程 x2(2m1)x(m2)20。m取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根 （2）
7、方程有两个相等的实数根 （3）方程没有实数根 解析:(2m1)24(m2)25(4m3)。（1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当时，原方程有两个相等的实数根；（3）当时，原方程没有实数根。5.已知关于 x 的方程xkxkk2221210()（1）求证：对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根。（2）如果 a 是关于 y 的方程yxxk yxkxk2121220()()()的根，其中xx12，为方程的两个实数根。求：代数式()114112aaaaaa的值。分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程化成0122yy，再利用根的定义得到1
8、22aa，将代数式化简后，把122aa整体代入即可求出代数式的值。（1）证明：08484484)12(4)1(42222kkkkkkk 对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根。（2）解：21，xx是方程的两个实数根 方程012为2yy a是方程的根，0122aa 注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。6.已知关于 x 的一元二次方程axaxc220的两个实数根之差的平方为 m （1）试分别判断当acac 1322，与，时，m 4是否成立，并说明理由；（2）若对于任意一个非零的实数 a，m 4总成立，求实数 c及 m 的值。解：（1）时，3，1当ca原方程化为3，1，则032
9、212xxxx 416)3(12m 即4m成立 当2，2ca时，原方程化为02422xx 由022442，可设方程的两根分别为21，xx 则22，22121xxxx 42244)()(21221221xxxxxxm 即4m不成立 （2）设原方程两个实数根是21，xx 则acxxxx2121，2 对于任意一个非零的实数a，都有444ac 第 2 讲 根的判别式 【知识要点】1.根的判别式：关于 x 的一元二次方程axbxca200()当 0时，方程有两个不相等的实根 当 0时，方程有两个相等的实根 当 0时，方程无实根【典型例题】1.a，b，c是三角形的三条边，求证：关于 x 的方程 b2x2(
10、b2c2a2)xc20 没有实数根 分析：此题需证出0。已知条件中 a，b，c是三角形的三边，所以有 a0，b0，c0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。证明：因为(b2c2a2)24b2c2 (b2c2a2)2bc(b2c2a2)2bc (bc)2a2(bc)2a2 (bca)(bca)(bca)(bca)。(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负)因为 bca，即 bca0，同理 bca0，又 cab，即 bca0。又 abc0，所以(bca)(bca)(bca)(bca)0。所以，原方程没有实数根。【经典习题】cbacabxxcax、
11、那么以有两个相等的实数根，的一元二次方程关于04)(.12为三边长的三角形是（）A.以 a为斜边的直角三角形 B.以 c为斜边的直角三角形 C.以 b为底边的等腰三角形 D.以 c为底边的等腰三角形 2.已知关于 x 的一元二次方程xkxk2211410()（1）k取什么值时，方程有两个实数根。（2）如果方程的两个实数根xx12，满足|xx12，求 k 的值。解：（1）032)141(4)1(22kkk 解得23当，23kk时，方程有两个实数根 （2）21|xx，分两种情况 当211时，得0 xxx，方程有两个相等的实数根。当0，时，得02112xxxxx 由根与系数关系，得01 k ，矛盾2
12、3知)1(，由1kk 3.已知方程xkxk222120()的两根的平方和为 11，求 k 的值。解：设方程的两根为21，xx 则有2，)12(22121kxxkxx ，舍去0时，3当k 当0时，1k。1k 注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。4含有绝对值的一元二次方程 （1）.方程 x|x|8|x|40的实数根的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 解：显然 x0 不是方程的根。当 x0 时，xx8x40。x0 的任何实数不可能是方程的根。当 x0 时，方程为 x28x40。此方程两根之积为40，可见两根为一正一负。又因 x0，故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选 A。（
13、2）.求方程 x2|2x1|40的实数根。解：令012x得21x 显然21x不是方程的解 当21x时，方程是04)12(2xx 即1或3，解得0322xxxx x 1 舍去，x3 当21x时，方程是04)21(2xx 即，0522xx解得61x 61 x舍去，61 x 故方程的实数根是61，321xx。5a，b，c，d 为有理数，先规定一种新的运算：bcadcdab，那么xx452)1(=18 时，x=。6.已知21,xx是方程01942 xx的两根，求代数式135231xx的值。7.（广东广州，19，10 分）已知关于 x的一元二次方程)0(012abxax有两个相等的实数根，求4)2(22
14、2baab的值。【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此240ba，可得出 a、b 之间的关系，然后将4)2(222baab化简后，用含 b 的代数式表示 a，即可求出这个分式的值【答案】解：)0(012abxax有两个相等的实数根，240bac，即240ba 2222222222244444)2(aabbaaabbaaabbaab 0a，4222abaab 8.（四川乐山中考）若关于x的一元二次方程012)2(222kxkx有实数根、（1）求实数 k的取值范围；（2）设kt，求 t 的最小值 （3）解：（1）一元二次方程012)2(222kxkx有实数根、，（4）0，2 分（5）即0)1
15、2(4)2(422kk，（6）解得2k4 分（7）（3）由根与系数的关系得：kk24)2(2，6分（8）2424kkkkt，7分（9）2k，0242k，（10）2244k，（11）即 t 的最小值为4 10 分 9.（四川绵阳中考）已知关于 x的一元二次方程 x2=2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2（1）求 m的取值范围；（2）设 y=x1+x2，当 y取得最小值时，求相应 m的值，并求出最小值【答案】（1）将原方程整理为 x2+2（m1）x+m2=0 原方程有两个实数根，=2（m1）24m2=8m+40，得 m21（2）x1，x2为 x2+2（m1）x+m2=0 的两根，y=x1+x2
16、=2m+2，且 m21 因而 y随 m的增大而减小，故当 m=21时，取得极小值 1 10.（湖北孝感中考）关于 x的一元二次方程1201xpxx有两实数根、.2x （1）求 p的取值范围；（4 分）（2）若pxxxx求,9)1(2)1(22211的值.（6分）【答案】解：（1）由题意得：.0)1(4)1(2p 2 分 解得：45p 4 分 （2）由9)1(2)1(22211xxxx得，.9)2)(2(222211xxxx 6 分.9)1(,9)12)(12(2ppp即 8 分.4,2pp或 9 分 .4,45ppp的值为所求 10分 说明：1可利用,1,12121xxxx得 121xx代入原
17、求值式中求解；11.（山东淄博中考）已知关于 x的方程014)3(222kkxkx（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为 1，求 k的值；（3）若以方程014)3(222kkxkx的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 xmy 的图象上，求满足条件的 m的最小值【答案】解:（1）由题意得1443222kkk0 化简得 102 k0，解得 k5（2）将 1代入方程，整理得2660kk，解这个方程得 133k ，233k .（3）设方程014)3(222kkxkx的两个根为1x，2x，根据题意得12mx x又由一元二次方程根与系数的关系得21241x xkk，那么
18、521422kkkm，所以，当 k2 时 m取得最小值5 12.（广东茂名中考）已知关于x的一元二次方程2260 xxk（k为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设1x，2x为方程的两个实数根，且12214xx，试求出方程的两个实数根和k的值 【答案】解：（1）0436)(14)6(42222kkacb，2 分 因此方程有两个不相等的实数根3 分（2）12661bxxa ，4 分 又12214xx，解方程组：12126,214,xxxx 解得：218.2,xx 5 分 方法一：将21x代入原方程得：0)2(6)2(22k，6 分 解得：4k7 分 方法二：将21xx 和代入12c
19、x xa，得：1822k，6 分 解得：4k7 分 第 3 讲 根与系数的关系【知识要点】1.根与系数关系 关于 x 的一元二次方程axbxca200()当 01212时，有，xxbax xca 推论 1：如果方程的两个实数根是，那么xpxqxxxxp x xq21212120,.推论 2：以为根的一元二次方程（二次项系数为）是：xxxxxxx x122121210,()【典型例题】1.已知方程xxm230的两个实根中，其中一个是另一个的2 倍，求m 的值。解：设方程的一个根为 x，另一根2x 由根系关系知：xxxxm 2321222 解得：xm 121 2.已知方程37302xx的两根xxx
20、x1212、()不解方程，求xx12和xx1222的值。解：由题设条件xxx x1212731【经典习题】一.选择题。1.已知x 3是关于x 的一元二次方程kxkx12302的一个根，则 k与另一根分别为（）A.2，-1 B.-1，2 C.-2，1 D.1，-2 2.已知方程34102xmxm的两根互为相反数，则 m 的值是（）A.4 B.-4 C.1 D.-1 3.若方程xxk20有两负根，则k 的取值范围是（）A.k 0 B.k 0 C.k 14 D.014k 4.若方程xpxq20的两根中，只有一个是 0，那么（）A.pq 0 B.pq00，C.pq00，D.不能确定 5.方程xpxp2
21、2140的大根与小根之差等于（）A.1 B.212p C.1 D.212p 6.以 152152，为根的，且二次项系数为 1 的一元二次方程是（）A.xx210 B.xx210 C.xx210 D.xx210 二.填空题。7.关于 x 的一元二次方程xmxm22210的两根互为倒数，则 m_。8.已知一元二次方程axbxc20两根比 2：3，则 a，b，c之间的关系是_。9.已知方程xmxm m21340的两根xx12、，且xx12229，则m _。10.已知、是方程xx2520的两根，不解方程可得：22_，1133_，_。11.已知 2213112，则以、为根的一元二次方程是 _ _。三.解
22、答题。12.已知方程23702xx的两根、，求作以 22、为两根的方程。13.设xx12、是方程xmxm22210的两个实根，且两实根的倒数和等于 3，试求m 的值。【试题答案】一.选择题。1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 二.填空题。7.214011211222mmmmmm 8.设xtxt1223，则 9.xxmx xm mxx121212134229 m5或m 3 m 5时，原方程 0，故舍去，m 3 10.521 11.2222131121312 由此22131 6或 2 56或 32 所求方程xx2560或xx2320 三.解答题。12.解：由题意3272 即 22392
23、 故所求方程是xx29280，即291602xx 13.解：2140121231134221212212mmxxmx xmxx 由1410：m 由431212：xxx x m213 不符合题意，m 14舍去 第 4 讲 一元二次方程的应用【知识要点】1.列一元二次方程解实际问题的步骤：（1）设：设好未知数，根据实际问题，可直接设未知数，也可间接设未知数，不要漏泄单位。（2）列：根据题意，利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程，注意等号两边的单位要一致。（3）解：解所列的一元二次方程。（4）验：检验所列方程的解是否符合实际问题情境，将不符合题意的方程的解舍去。（5）答：根据题意，写出答案。【典型例
24、题】1.某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为 200kg，出油率为 50%（即每 100kg花生可加工成花生油 50kg），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的12，求：新品种花生亩产量的增长率。解：设新品种花生亩产量的增长率为 x，则有132)211(%50)1(200 xx 解得2.3，2.021xx（不合题意，舍去）答：新品种花生亩产量的增长率是20%。注：对于增长率问题，解这类问题的公式是bxan)1(，其中，a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b 为增长的量。2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 2
25、0 件，每件赢利 40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1元，商场平均每天可多售出 2 件。求：（1）若商场平均每天要赢利 1200元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多 解：（1）设每件衬衫应降价 x 元，则有 解得20，1021xx 根据题意，取x=20，每件衬衫应降低 20元。（2）商场每天赢利 当15x时，商场赢利最多，共 1250 元 每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天获利最多。【经典习题】1.一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调位置后，所
26、得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。2一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66 次手。这次会议到会的有多少人 3某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10 元，每天可售出 500 千克。经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少 20千克。现该商场要保证每天赢利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元【模拟试题】（一）填空题 1.一元二次方程()()32 21222xxx化为一般式后，a _，b _，c _。2.若方程xxm2有两个实数根，则 m 的值是_。3.关于 x 的一元二次方
27、程kxx2610有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是_。4.关于 x 的一元二次方程202xxm的一个根是 1，另一个根是_，m=_。5.若xx12、是方程24302xx的两个根，则()()xx1211=_。6.已知两不等实数 a、b 满足条件2710271022aabb，则11ab_ 7.已知 a、b是方程xx2270的两个实数根，则abb2234_。（二）解下列方程 1.()211602x 2.xx2890 3.()()xx12 12 4.xx2520 5.x x()760（三）解答题 1.已知关于 x 的方程xmxm22230()求证无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实
28、数根 若这个方程的两个实数根xxxxm121222、满足，求 m 的值 2.已知关于 x 的方程xmxm2230的两个实数根是 x1、x2，且()xx12216，如果关于 x 的另一个方程xmxm22690的两个实数根都在 x1和 x2之间，求 m 的值。第一次课后作业 【经典练习】1.已知 x=-1是关于 x 的方程0322aaxx的一个根，则 a=。2.若方程032)1(12mxxmm是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值。3.若035)1(12xxmm是关于 x 的一元二次方程，则 m=。4.已知 a0，ab，x=1 是方程0102 bxax的一个解，则baba2222的值是 。5.关
29、于 x 的一元二次方程043)2(222mxmxm有一根为 0，求3422 mm的值。6已知 m 是方程0120082xx的一个不为零的根，求12008200722mmm的值。7.已知关于 x 的方程0122 kxx的一个根与方程4112xx的根相等。(1)求 k 的值.(2)求方程0122 kxx的另一个根.8已知x=1是一元二次方程02nmxx的一个根，则222nmnm的值为 。9已知方程02abxx有一个根是-a（a0），则下列代数式的值恒为常数的是（）Aab B.ba +b 第二次课后作业 1.用配方法解方程：04722 xx.2.将二次三项式6422 xx进行配方，正确的结果是（）A
30、.4)1(22x B.4)1(22x C.2)2(22x D.2)2(22x 3.求证：不论 m 取何值，9422 mm的值都不小于 7.4.用配方法解一元二次方程0782 xx，则方程可变形为（）A9)4(2x B.9)4(2x C.16)8(2x D.57)8(2x 5.已知 m 是方程0422 xx的一个根，则代数式2007632 mm的值是 。6.已知关于 x 的方程0112)21(2xkxk有两个不相等的实数根，求实数 k 的取值范围。7.已知,是关于 x 的方程0)32(22mxmx的两个根，且111，求 m 的值。8.在ABC 中，AB边上的中线 CD=3,AB=6,BC+AC=8，则ABC 的面积为 。9.已知21,xx是方程0132 xx的两根，求下列代数式的值。)1)(1)(3(,)2(,)1(2121122221xxxxxxxx；10.已知21,xx是方程01942 xx的两根，求代数式135231xx的值。11.已知32 是方程042cxx的一个根，求方程的另一个根和c的值。12关于 x 的方程01222mmxx的两实根的平方和为 11，求 m 的值。