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1、 页脚 三角形全等【知识要点】1两个能够重合的三角形叫做全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等 2全等三角形的判定方法有（1）SAS；(2)ASA；(3)AAS；(4)SSS（5）HL 3两个三角形的两边和一角对应相等，或两个三角形的三个角对应相等，这两个三角形不一定全等【复习指导】1应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）全等三角形的对应边和对应角
2、可以依据字母的对应位置来确定，如若ABCDEF，说明A与D，B与E，C与F是对应点，则ABC与DEF是对应角，边AC与边DF是对应边 2判定两个三角形全等的解题思路：找夹角SAS 已知两边 找另一边SSS 边为角的对边找任一角AAS 找夹角的另一边SAS 已知一边一角 边为角的邻边 找夹边的另一角ASA 找边的对角AAS 找夹边ASA 已知两角 页脚 CEODBA 找任一边AAS 3运用三角形全等可以证明两线段或两角相等，在直接找不到两个全等三角形时，可考虑添加辅助线构造全等三角形【思想方法】1转化思想：应用全等三角形的知识解决测河宽、测池塘宽、测工件径等实际问题就是转化思想的运用 2运动变化
3、思想：在研究三角形全等时，经常会出现三角形按照某种特定的规律变化，需要运用运动变化的思想进行解决 3构造图形法：在直接找不到两个全等三角形时，常常通过平移、对称、旋转等图形变换的方法构造全等三角形 4分析综合法：从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法；从结论出发不断寻找使结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法；两头凑的方法就是综合运用分析综合法去寻找证题的一种方法【证明三角形全等】三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法。（1）条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角
4、形的条件比较充分只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等 例 1 已知：如图 1，CEAB 于点 E，BDAC 于点 D，BD、CE 交于点 O，且 AO 平分BAC 那么图中全等的三角形有_对 （2）条件不足，会增加条件用判别方法 页脚 21CEDBA2143COBAGABFDEC此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步 分析，探索结论成立的条件，从而得出答案 例 2 如图 2，已知 AB=AD，1=2，要使ABCADE，还需添加的条件是（只
5、需填一个）_ （3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法 在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加 辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用 全等三角形的判别方法证明两个三角形全等 例 3 已知：如图 3，AB=AC，1=2 求证：AO 平分BAC （4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形 例 4 已知：如图 4，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC，D 为 BC 的中点，CEAD 于 E，交 AB 于 F，连接 DF 求证：ADC=
6、BDF 页脚 说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法 新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视 例 5 要在湖的两岸 A、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量 A，B 两点间的距离请你用学过的
7、数 学知识按以下要求设计一测量方案(1)画出测量图案(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）图 5 (3)计算 A、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）【三角形全等的应用】页脚 （1）证明线段（或角）相等 例 1：如图，已知 AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC （2）证明线段平行 例 2：已知：如图，DEAC，BFAC，垂足分别为 E、F，DE=BF，AF=CE.求证：ABCD （3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例 3：如图，在 ABC 中，AB=AC，延长 AB 到 D，使 BD=AB，取 AB 的中点 E，连接 CD 和 CE.求
8、证：CD=2CE (4)证明线段相互垂直 例 4：已知：如图，A、D、B 三点在同一条直线上，ADC、BDO 为等腰三角形，AO、BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。页脚 DCBA 【全等三角形辅助线的做法】常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理
9、 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等 例 1、已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值围是_.页脚 EDFCBAEDCBA 例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上
10、，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.EDCBA 二、截长补短 1、如图，ABC中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD，求证：CDAC 2、如图，ACBD，EA,EB 分别平分CAB,DBA，CD 过点E，求证;ABAC+BD CDBA 页脚 DCBAPQCBA 3、如图，已知在ABC，060BAC，040C，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADC
11、D，BD 平分ABC，求证：0180CA 三、平移变换 例 1 AD 为ABC 的角平分线，直线 MNAD 于 A.E 为 MN 上一点，ABC 周长记为AP，EBC 周长记为BP.求证BPAP.页脚 OEDCBAFEDCBA例 2 如图，在ABC 的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.EDCBA 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD 2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 A
12、B=a，AC=b，求 AE、BE 的长.五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.EDGFCBA 页脚 NMEFACBA 例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点E,F。（1）当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。（2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。【基础练习】判断题 1.两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形()2.有三个角对应相等的两个三角形全等()单选题 1.已知：如图,BAC=EDF,C=F,要使ABCDEF,
13、所缺条件是 A.B=E B.1=2 C.AC=DF D.C=F 页脚 2.已知：如图,AC=CD,B=E=90,ACCD,则不正确的结论是 A.A 与D 互为余角 B.A=2 C.ABCCED D.1=2 3.下列条件：已知两腰;已知底边和顶角;已知顶角与底角;已知底边和底边上的高,能确定一个等腰三角形的是 A.和 B.和 C.和 D.和 填空题 4.如图,已知：1=2,3=4,要证 BD=CD,需先证AEBA EC,根据是_再证BDE_,根据是_ 5.已知：如图,ACBC 于 C,DEAC 于 E,ADAB 于 A,BC=AE 若 AB=5,则 AD=_ 证明题 6.已知：如图,四边形 AB
14、CD 中,ABCD,ADBC 求证：ABDCDB 页脚 7.如图,已知:ADBC,AD=BC求证:ABCD 8.如图,已知:AC=DF,ACFD,AE=DB,求证:ABCDEF 【综合测试】一、选择题 1、如图，ABCBAD，点 A 点 B，点 C 和点 D 是对应点。如果 AB=6 厘米，BD=5 厘米，AD=4 厘米，那么 BC 的长是（）。(A)4 厘米 (B)5 厘米 (C)6 厘米 (D)无法确定 2、如图，ABNACM，AB=AC，BN=CM，B=50，ANC=120，则MAC 的度数等于（）A120 B.70 C.60 D.50.3.使两个直角三角形全等的条件是（）.一锐角对应相
15、等.两锐角对应相等.一条边对应相等.两条边对应相等 4.在BC 和ABC中，已知A=A，AB=AB，在下面判断中错误的是（）D C A B 页脚 A.若添加条件 AC=AC，则ABCABC B.若添加条件 BC=BC，则ABCABC C.若添加条件B=B，则ABCABC D.若添加条件 C=C，则ABCABC 5.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A带去 B带去 C带去 D都带去 6将一长方形纸片按如图所示的方式折叠，BCBD，为折痕，则CBD的度数为（）A60 B75 C90 D95 7.下列说法中不正确的是（）A.全等三角形
16、一定能重合 B.全等三角形的面积相等 C.全等三角形的周长相等 D.周长相等的两个三角形全等 8（2004潍坊市）如图,已知ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC 全等的图形是（）A甲和乙 乙和丙 只有乙 只有丙 A 9 9.根据图中所给条件,判定_这两个三角形全等（）B C D 页脚 A B D C GFHADCEB A.和 B.和 C.和 D.和 10.如右图所示，已知ABC 和BDE 都是等边三角形。则下列结论：AE=CD；BF=BG；HB 平分AHD；AHC=600,BFG 是等边三角形；FGAD。其中正确的有（）A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 二填空
17、题 11如图示，AC，BD 相交于点 O，AOBCOD，A=C，则其它对应角分别为 _，对应边分别为_.12如图示，ABC 中，C90，AD 平分BAC，AB5，CD2，则ABD 的面积是_；13.如图示,点 B 在 AE 上,CBE=DBE,要使ABCABD,还需添加一个条件是_.（填上你认为适当的一个条件即可）14如图 5，BDAC 于 O，BO=OD，图中共有全等三角形 对。15.如右图示,正方形 ABCD 中,E、F 分别在 AB、BC 上，AC、BD 交 于 O 点且 ACBD,EOF90o,已知 AE3,CF4,则 SBEF为.16.如右图示，AD 是ABC 中 BC 边上的中线，
18、若 AB=2，AC=4，则 AD 的取值围是 17.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，图 5 A D C B 第 12 题图 A D B C O 第 11 题图 EDCBA第 13 题图 页脚 ABCD那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是_.18.如图 10，E 点为ABC 的边 AC 中点，CNAB，过 E 点作直线 交 AB 与 M 点，交 CN 于 N 点，若 MB=6cm，CN=4cm，则 AB=_.19.如图示，直线AEBD，点C在BD上，若AE4，BD8，ABD的面积为 16，则ACE的面积为_ 20如右图示，ABE和ADC是ABC分别沿着AB，AC边 翻折 1
19、80形成的，若123=2853，则的度 数为（）A80 B100 C60 D45 三、证明题 21.如图示，已知 AB=AC，BD=DC，图中有相等的角吗？请找出来，并说明理由。22、如图：在ABC 中，点 D，E 在 BC 上，且 AD=AE，BD=CE，ADE=AED，求证：AB=AC.23.已知：如图，CEAB，BFAC，CE 与 BF 相交于 D，且 BDCD.求证：D 点在BAC 的平分线上 A B C D E A D C B 第 19 题图 E 页脚 四、试试看 24、如图示，已知四边形 ABCD 是正方形，E 是 AD 的中点，F 是 BA 延长线上一点，AF=12AB，已知ABEADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使ABE 变到ADF 的位置；（2）线段 BE 与 DF 有什么关系？证明你的结论。74DAFCBE