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1、2019 年春季学期数学高三专属讲义 课题:概率统计大题专练 学生:授课教师:胡 授课时间:2019 年 月 日 1.【2019九校高三联考理数18】(本小题满分12分）某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数t 1 2 3 4 5 销量（百件）/天 0.5 0.6 1 1.4 1.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y（千件）与返还点数t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程abty，并预测若返回6个点时该商品每天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.
2、已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比）1,3)3,5)5,7)7,9)9,11)11,13)频数 20 60 60 30 20 10（i）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（ii）将对返点点数的心理预期值在)3,1 和13,11的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再
3、从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：2121t ntyt nytbniiniii，t bya；5iii=1t y=18.8.解：（1）易知1 2 3 4 50.5 0.6 1 1.4 1.73,1.0455ty ，522222211234555iit ，则y关于t的线性回归方程为0.320.08yt，当6t 时，2.00y，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.6分（2）（i）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X的平均值x，及中位数的估计值分别为：2 0.1 4 0.3
4、6 0.3 8 0.15 10 0.1 12 0.056x ，中位数的估计值为100206025255.7603.8分（ii）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为430206，“欲望膨胀型”消费者人数为230106.51)1(362214CCCXP,53)2(361224CCCXP,51)3(360234CCCXP 故随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 51 53 51 2643)(XE .12分 2.【2019 高三质检理数 19】（12 分）最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018 年 7 月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在 10%以上某部门
5、研究成果认为，房租支出超过月收入13的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入13的租户“幸福指数”高为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各 100 户进行调查甲小区租户的月收入以0 3，3 6，6 9，912，12 15，（单位：千元）分组的频率分布直方图如上：乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：月收入 0 3，3 6，6 9，912，12 15，户数 38 27 24 9 2（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于 6千元，乙小区租户的月收入不低于 6 千元”.把频率视为概率，求M的概率；（2）利用频率分布直
6、方图，求所抽取甲小区 100 户租户的月收入的中位数；（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为 2 千元、1 千元请根据条件完成下面的2 2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.幸福指数低 幸福指数高 总计 甲小区租户 乙小区租户 总计 附：临界值表 2P Kk 0.10 0.010 0.001 k 2.706 6.635 10.828 参考公式：22()()()()()n adbcKab cd ac bd 解：（1）记A表示事件“甲小区租户的月收入低于 6 千元”，记B表示事件“乙小区租户的月收入不低于 6 千元”，甲小区租户的月收入
7、低于 6 千元的频率为0.060+0.1603=0.66，故 P A的估计值为0.66；1 分 乙小区租户的月收入不低于 6 千元频率为24+9+2=0.35100，故 P B的估计值为0.35；2 分 因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，事件M的概率的估计值为 =P MP A P B=0.660.35=0.231 4 分（2）设甲小区所抽取的 100 户的月收入的中位数为t，则0.060 3+t30.160=0.5，6 分 解得=5t 7 分（3）设0:H幸福指数高低与租住的小区无关，幸福指数低 幸福指数高 总计 甲小区租户 66 34 100 乙小区租户 38 62 100 总计 104
8、 96 200 9 分 根据2 2列联表中的数据，得到2K的观测值2200(66 6238 34)15.70510.828104 96 100 100k，11 分 所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.12 分 3.【2019 市高考模拟理数 18】（本小题满分 12 分）“微信运动”是手机 APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生 M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”他随机抽取了 40 位参与“微信运动”的微信好友（女 20 人，男 20 人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A、02000步
9、，（说明：“02000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B、20005000步，C、50008000步，D、800010000步，E、1000012000步，且A、B、C三种类别的人数比例为 143，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图 若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”（）若以大学生 M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的
10、人数；（）若在大学生 M 该天抽取的步数在800012000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（）请根据抽取的样本数据完成下面的2 2列联表，并据此判断能否有95的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者 超越者 合计 男 20 女 20 合计 40 附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，n a b c d ，解：（）所抽取的 40 人中，该天行走20008000步的人数：男 12 人，女 14 人2 分，20()P Kk 0.100 0.050 0.010
11、 0k 2.706 3.841 6.635 400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000步的人数约为：2640026040人4 分；（）该天抽取的步数在800012000的人数：男 8 人，女 4 人，再按男女比例分层抽取 9 人，则其中男 6 人，女 3 人 6 分 所求概率132231363636493742C CC CC CPC（或464937142CPC）8 分（）参与者 超越者 合计 男 12 8 20 女 16 4 20 合计 28 12 40 完成2 2列联表9 分，计算2240(1248 16)1.905202028 12K，11 分 因为 1.9053.84
12、1，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关，即“认定类别”与“性别”无关 12 分 4.【市 2019 届高三第二次质检理数 19】(本小题满分 12 分)某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费 2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000 元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质
13、保期后延保两年维修的次数，得下表：维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年共需维修的次数.()求X的分布列；()以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？解：()X所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6.11101010100P X，1111210525P X，11213225551025P X，13121132210105550P X ，22317425510525P X，2365251025P X，33961010100P X，X的分布列为 X
14、 0 1 2 3 4 5 6 P 1100 125 325 1150 725 625 9100 5分()选择延保方案一，所需费用1Y元的分布列为：1Y 7000 9000 11000 13000 15000 P 17100 1150 725 625 9100 117117697000900011000130001500010720100502525100EY(元).选择延保方案二，所需费用2Y元的分布列为：2Y 10000 11000 12000 P 67100 625 9100 267691000011000120001042010025100EY(元).12EYEY，该医院选择延保方案二较
15、合算.12 分 5.【市 2019 届高三质检理数】（12 分）某地区为贯彻总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为(0.70.9)pp.（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及()E X；（2）将（1）中的()E X取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有 75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活 求一棵B种树苗最终成活
16、的概率；若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？解：（1）依题意，X的所有可能值为0，1，2，3则(0)P X 20.2(1)p；2122(1)0.8(1)0.2(1)0.8(1)0.4(1)P XpCppppp，即2(1)0.41.20.8P Xpp，21222(2)0.20.8(1)0.21.6(1)1.41.6P XpCppppppp，2(3)0.8P Xp；X的分布列为：X 0 1 2 3 P 20.20.40.2pp 20.41.20.8pp 21.41.6pp 20.8p 4 分()1E X 2(0.4
17、1.20.8)pp22(1.41.6)pp 23 0.8p 2p0.8 6 分（2）当0.9p 时，()E X取得最大值 一棵B树苗最终成活的概率为0.90.1 0.750.80.96.8 分 记Y为n棵树苗的成活棵数，()M n为n棵树苗的利润，则(,0.96)YB n，()0.96E Yn，()30050()M nYnY35050Yn，()350()50286E M nE Ynn，要使()200000E M n，则有699.3n 所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元 12 分 6.【八市十二校 2019 届高三联考理数 19】近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘
18、车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付 某线路公交车队统计了活动刚推出一周每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表 1所示：根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图(1)根据散点图判断，在推广期，yabx xyc d 与(c，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表 l 中的数据，求 y 关于 x 的回归方程，并预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次；(3
19、)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表 2 已知该线路公交车票价为 2 元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受 8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受 7 折优惠的概率为16，享受 8 折优惠的概率为13，享受 9 折优惠的概率为12根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用 参考数据：其中7171,lgiiiiy.附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，),(nnyx，其回归方程axby的斜率和截距(1.6)P Z 10.60.30.73；1(1.4)0.30.056P Z
20、10 分 分布列为：Z 2 1.8 1.6 1.4 P 0.1 0.15 0.7 0.05 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：2 0.1 1.8 0.15 1.60.7 1.4 0.051.66（元）12 分 7.【市四校高三联考理数 18】“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的 50 人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步 30000 60003001 80006001 100008001 10000 以上 男生人数/人
21、 1 2 7 15 5 女性人数/人 0 3 7 9 1 规定：人一天行走的步数超过 8000 步时被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”.（1）以这 50 人这一天行走的步数的频率代替 1 人一天行走的步数发生的概率，从社会上任取 3 人，记 表示随机抽取 3 人中被系统评为“积极型”的人数，求和 的数学期望.（2）为调查评定系统的合理性，拟从这 50 人中先抽取 10 人（男性 6 人，女性 4 人）.其中男性中被系统评定为“积极型”的有 4 人，“懈怠性”的有 2 人，从中任意选取 3 人，记选到“积极型”的人数为；其中女性中被系统评定为“积极型”和“懈怠型”的各有 2 人，从中任意选
22、取2 人，记选到“积极型”的人数为；求的概率.解：（1）被系统评为“积极性”的概率为.故，的数学期望；（2）“”包含“”，“”，“”，“”，“”，“”，301)0,3(24023634CCCCyxP，52)1,2(241212361224CCCCCCyxP，所以.8.【市重点中学 2019 届高三六校联考理数 19】(12 分）某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有 900 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间30,150，其频率分布直方图如图（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；（2）从初赛得分在区间110,1
23、50的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取 7 人参加学校座谈交流，那么从得分在区间110,130与130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的 7 人中，选出4 人参加全市座谈交流，设X表示得分在110,130中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这 4人一定的物质奖励，若该生分数在110,130给予 500 元奖励，若该生分数在130,150给予 800 元奖励，用 Y 表示学校发的奖金数额，求 Y 的分布列和数学期望。解：（1）由题意知30,90的频率为：20(0.00250.00750.0075)0.35，110,150的频率为：20(0.00500.0125)0.35所以分数在90
24、,110的频率为：1 0.350.350.31 分 从而分数在90,110的0.3=0.01520频率组距，2 分 假设该最低分数线为x由题意得0.35(90)0.0150.5x解得100 x 故本次考试复赛资格最低分数线应划为 100 分。4 分 （2）在区间110,130与130,150，0.0125:0.00505:2，5 分 在区间110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取 7 人，分在区间110,130与130,150各抽取 5 人，2 人结果是 5 人，2 人8 分 （3）X的可能取值为 2，3，4，则：223140525252444777241(2);(3);(4)777C CC CC CP XP XP XCCC 9 分 从而 Y 的分布列为 Y 2600 2300 2000 P 27 47 17 11 分 24116400()2600230020007777E Y(元)12 分