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1、 2 0 1 9 中 考 二 次 函 数 压 轴 题 专 题 分类 训 练(总 2 1 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-22 中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题【例 1】（2009 湖南益阳）如图 2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求CAB的铅垂高CD及SCAB；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使SPAB89SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1.（2009 广东省深圳市）如图，在直角
2、坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转 120，得到线段OB（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由 x C O y A B D 1 1 图 2 33 2.（2010 绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4 与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（
3、1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积 3(2012 铜仁)如图，已知：直线3xy交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、C（1，0）三点.A x y B O C E D G A x y O B F 44（1）求抛物线的解析式;（2）若点 D 的坐标为（-1，0），在直线3xy上有一点 P,使 ABO与 ADP 相似，求
4、出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使 ADE的面积等于四边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由 55 题型二：构造直角三角形【例 2】（2010 山东聊城）如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x1 上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1 上的一动点，求使PCB90 的点P的坐标 【变式练习】1（
5、2012 广州）如图，抛物线 y=与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E（4，0），M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式 E 66 O11xy 2.（2009 成都）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=2(1)(0)a xc a与x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，其顶点为 M,若直线
6、MC 的函数表达式为3ykx,与 x 轴的交点为 N，且 COSBCO3 1010。（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度 77 3.(2012 杭州)在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数 y=k（x2+x1）的图象交于点A（1，k）和点 B（1，k
7、）（1）当 k=2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值 4.如图（1），抛物线42yxx与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线yxb与抛物线交于点B、C.（1）求点A的坐标；（2)当b=0 时（如图（2），ABE与ACE的面积大小关系如何？当4b 时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.88 yxCBA
8、OEyxCBAOE第 26 题 图图99 题型三：构造等腰三角形【例 3】如图，已知抛物线32bxaxy（a0）与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）在 x 轴上是否存在一点 Q 使得ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 【变式练习】1如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（m，m），点 B 的坐标为（n，n），抛物线经过 A、O、B 三点
9、，连接 OA、OB、AB，线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（mn）分别是方程 x22x3=0 的两根（1）求抛物线的解析式；1010（2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合），直线 PC 与抛物线交于 D、E两点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD、BD 当OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标 2.如图，抛物线254yaxax经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点 C 在y轴上，且 AC=BC（1）写出 A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴
10、下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由 3（2010 黄冈）已知抛物线2(0)yaxbxc a顶点为 C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点 P（x，y）向直线54y 作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）.A C B y x 0 1 1 1111（1）求字母 a，b，c 的值；（2）在直线 x1 上有一点3(1,)4F，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t），使 PMPN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由.题型四：构造
11、相似三角形【例 4】（2011 临沂）如图，已知抛物线经过 A（2，0），B（3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形BOC 相似？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 1212 【变式练习】1.（2012 天水）如图，已知抛物线经过 A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线 AC
12、 上方的该抛物线上是否存在一点 D，使得DCA 的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标及DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由（3）P 是直线 x=1 右侧的该抛物线上一动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 1313 2.如图，二次函数的图象经过点 D(0，397)，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6.（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点 P，使PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；（3）在抛物线
13、上是否存在点 Q，使QAB 与ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 【例 5】（2012 苏州）如图，已知抛物线 y=x2-(b+1)x+（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为，点 C 的坐标为（用含 b 的代数式表示）；1414（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QC
14、O，QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 1515【变式练习】1.(2012 上海宝山)如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转 90，点B落在点C处，直线BC与x轴的交于点D（1）试求出点D的坐标；（2）试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标；（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F，使得 以点A、E、F为顶点的三角形与ACD相似 2（2012 上海杨浦区）已知直线112yx与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕
15、点O顺时针旋转90，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线2yaxbxc过点A、D、C，其对称轴与直线AB交于点P，（1）求抛物线的表达式；（2）求POC的正切值；（3）点M在x轴上，且ABM与APD相似，求点M的坐标。(图 7)1 1 x y B A O x y O 1 1 1616 3（2012 宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H 若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C
16、与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标 1717 题型五：构造梯形【例 6】已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为)20(，直线xy32与边BC相交于点D（1）求点D的坐标；（2）抛物线cbxaxy2经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由 【变式练习】1.已知平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2(a1)x与直线ykx的一个公共点为 A(4，8)（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段
17、OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积 1818 2.（2011 义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图 1，在直线 y2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，
18、过点M作直线MN图 1，二次函数)0(2pqpxxy的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，1），ABC的面积为45（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；1919（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由 2020 题型六：构造平行四边形【例 7】（2010 陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A（1，0），B（3，0），C（0，1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线
19、上，要使以点 Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P的坐标。【变式练习】1（2012 成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数（m 为常数）的图象与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 C以直线 x=1 为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）经过 A，C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点 B（1）求 m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F是否存在这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E 的坐
20、标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若 P 是抛物线对称轴上使ACP 的周长取得最小值的点，过点 P 任意作一条与 y 轴不平行的直线交抛物线于 M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程 2121 2.如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四
21、边形，直接写出相应的点Q的坐标 2222 3.（2011 威海）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（3，0），点 B（1，0），交 y轴于点 E（0，3）点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 F 是线段 BC 的中点，直线 l 过点F 且与 y 轴平行直线 y=x+m 过点 C，交 y 轴于 D 点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 K 为线段 AB 上一动点，过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H，与抛物线交于点 G，求线段 HG 长度的最大值；（3）在直线 l 上取点 M，在抛物线上取点 N，使以点 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点
22、N 的坐标 【例 8】已知平面直角坐标系xOy（如图 1），一次函数334yx的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数32yx的图像上，且MOMA二次函数 yx2bxc的图像经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数334yx的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标 【变式练习】1.将抛物线c1：233yx 沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图 1 所示 2323（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依
23、次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E 当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由 2424 题型七：线段最值问题【例 9】（2011 菏泽）如图，抛物线 y=x2+bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C点，且 A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）判断ABC 的形状，证明你的结论；（3）点 M（m，0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD 的值最小时，求 m 的值 【
24、变式练习】1.（2009 山东省菏泽市）如图，已知抛物线yax 2bxc与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长 O y x A B C 2525 2.（2011 广东深圳）如图 13，抛物线 y=ax2bxc(a0)的顶点为（1,4），交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其中 B 点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式 （2）如图 14，过
25、点 A 的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为 2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点 G 为 PQ 上一动点，则 x 轴上是否存在一点 H，使 D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及 G、H 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图 15，抛物线上是否存在一点 T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为 M，过点 M 作直线 MNBD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，使DNMBMD，若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，说明理由.2626【能力提升】1.（2011 福州）已知,如图 11,二次函数223yaxaxa(0)a 图象的顶点为
26、H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:333yx对称.（1）求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;（2）求二次函数解析式;（3）过点B作直线BKAH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HNNMMK和的最小值.2.如图在直角坐标系中，已知点 A(01)，B(44)将点 B 绕点 A 顺时针方向旋转 90得到点 C，顶点在坐标原点的抛物线经过点 B(1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标；(2)抛物线上一动点 P设点 P 到 x 轴的距离为1d，点 P 到点 A 的距离为2d，试说明211dd；(3)在(2)的条件下，请探究当点
27、 P 位于何处时PAC 的周长有最小值，并求出PAC 的周长的最小值。ABKHxyOl图 11 ABKHxyOl备用图 2727 【例 10】如图，已知直线112yx与y轴交于点 A，与x轴交于点 D，抛物线212yxbxc与直线交于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为(1，0)。（1）求该抛物线的解析式；（2）动点 P 在轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标 P。（3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC的值最大，求出点 M 的坐标。【变式练习】1如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形，BCAD，BAD=90，BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点，A、B、D 三点的坐标分别是 A（1，0），B（l，2），D（3，0）连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON若抛物线y=ax2+bx+c 经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点 P，使得 PA=PC？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2828（3）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E，点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 Q在什么位置时有|QEQC|最大？并求出最大值