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1、第 14 讲 解析几何问题的题型与方法 一、知识整合 高考中解析几何试题一般共有4 题(2 个选择题,1 个填空题,1 个解答题)，共计 30 分左右，考查的知识点约为 20 个左右。其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知
2、条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4掌握圆的标准方程：222)()(rbyax（r0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出
3、圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022FEyDxyx，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cossinxryr（为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速
4、、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二、近几年高考试题知识点分析 2004 年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1 分，占 181；2001 年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为 29.3 分，占 19.5因此，占全卷近 1/5 的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视 高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所
5、有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及 1选择、填空题 11 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查 例 1 （04 江苏）以点(1，2)为圆心，与直线 4x+3y-35=0相切的圆的方程是_ （2）对圆锥曲线的定义、性质的考查 例 2（04 辽宁）已知点)0,2(1F、)0,2(2F，动点 P 满足2|12 PFPF.当点 P 的纵坐标是21时，点 P 到坐标原点的距离是 （A）26（B）23（C）3（D）2 12 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查 例 3（04 天
6、津文）若过定点(1,0)M 且斜率为k的直线与圆22450 xxy在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是 （A）05k （B）50k（C）013k （D）05k 2解答题 解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单 例 4(04 江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是 F（-m,0）(m 是大于 0 的常数).（）求椭圆的方程；（）设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F、Q 的直线l与 y 轴交于点 M.若QFMQ2，求直线l的斜率 本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应
7、该得分的；而第二问，需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高 解：（I）设所求椭圆方程是).0(12222babyax 由已知，得 ,21,acmc 所以mbma3,2.故所求的椭圆方程是1342222mymx （II）设 Q（QQyx,），直线),0(),(:kmMmxkyl则点 当),0(),0,(,2kmMmFQFMQ由于时由定比分点坐标公式，得 0(2)()2,2,1 21 2QQmkmMQQFxm ykm 当时.于是.0,134422222kmmkmm解得 故直线l的斜率是0，62.例 5（04 全国文科）设双曲线C：1:)0(1222yxlayax与直线相交于两个不同的点A、B
8、.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为 P，且5.12PAPB求a的值.解：（I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解.消去y并整理得（1a2）x2+2a2x2a2=0.120.0)1(84.012242aaaaaa且解得所以 双曲线的离心率（II）设)1,0(),(),(12211PyxByxA 由于x1，x2都是方程的根，且 1a20，例 6（04 全国文科）给定抛物线C：,42xyF是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.（）设l的斜率为 1，求OBOA与夹角的大小；（）设9,4,若AFFB，求l在y轴上截距的变化范围
9、.解：（）C 的焦点为 F（1，0），直线l的斜率为 1，所以l的方程为.1 xy 将1 xy代入方程xy42，并整理得 .0162 xx 设),(),(2211yxByxA则有 .1,62121xxxx.41143|),cos(OBOAOBOAOBOA所 以OBOA与夹 角 的 大 小 为.41143arccos（）由题设AFFB 得 ),1(),1(1122yxyx 即.1212),1(1yyxx 由得21222yy，,4,4222121xyxy .122xx 联立、解得2x，依题意有.0),2,(),2,(BB或又 F（1，0），得直线l方程为 当9,4时，l在方程 y 轴上的截距为,1
10、212或 由 ,121212 可知12在4，9上是递减的，,431234,341243 直线l在y轴上截距的变化范围为.34,4343,34 从以上3 道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以江苏为例，01 年考的是抛物线，02 年 考的是双曲线，03 年考的是求轨迹方程（椭圆），04 年考的是椭圆 三、热点分析与 2005 年高考预测 1重视与向量的综合 在 04 年高考文科 12 个省市新课程卷中，有 6 个省市的解析几何大题与向量综合，主要涉及到向量的点乘积（以及用向量的点乘积求夹角）和定比分点等，因此，
11、与向量综合，仍是解析几何的热点问题，预计在 05 年的高考试题中，这一现状依然会持续下去 例 7（02 年新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（1，3），若点C满足OBOAOC，其中、R，且=1，则点C的轨迹方程为（A）（x1）2（y2）2=5 （B）3x2y11=0（C）2xy=0 （D）x2y5=0 例 8（04 辽宁）已知点)0,2(A、)0,3(B，动点2),(xPBPAyxP满足，则点 P 的轨迹是 （A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线 2考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高 在 04 年的 15 个省市文科试题（含新、旧课程卷）中，全都“不约而同
12、”地考查了直线和圆锥曲线的位置关系，因此，可以断言，在 05 年高考试题中，解析几何的解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系的概率依然会很大 3与数列相综合 在 04 年的高考试题中，上海、湖北、浙江解析几何大题与数列相综合，此外，03 年的江苏卷也曾出现过此类试题，所以，在 05 年的试题中依然会出现类似的问题 例 9（04 年浙江卷）如图，OBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设 P 为线段 BC 的中点,P2为线段 CO 的中点,P3为线段 OP1的中点,对于每一个正整数 n,Pn+3为线段 PnPn+1的中点,令 Pn的坐标为(xn,yn),.2121nnnnyy
13、ya（）求321,aaa及na;（）证明;,414Nnyynn（）若记,444Nnyybnnn证明 nb是等比数列.解：()因为43,21,153421yyyyy，所以2321aaa，又由题意可知213nnnyyy，321121nnnnyyya=221121nnnnyyyy=,2121nnnnayyy na为常数列.,21Nnaan()将等式22121nnnyyy两边除以 2，得,124121nnnyyy 又2214nnnyyy，.414nnyy （）)41()41(44444841nnnnnyyyyb 又,041431yyb nb是公比为41的等比数列.4与导数相综合 近几年的新课程卷也十分
14、注意与导数的综合，如 03 年的天津文科试题、04 年的湖南文理科试题，都分别与向量综合 例 10（04 年湖南文理科试题）如图，过抛物线x2=4y 的对称轴上任一点 P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于 A,B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点。（I）设 点P 分 有 向 线 段AB所 成 的 比 为，证明:()QPQAQB （II）设直线 AB 的方程是x-2y+12=0，过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆 C 的方程.解：（）依题意，可设直线 AB 的方程为,mkxy代入抛物线方程yx42得.0442mkxx 设 A、B 两点的坐标分别是),(11
15、yx、122),(xyx则、x2是方程的两根.所以 .421mxx 由 点 P（0，m）分 有 向 线 段AB所 成 的 比 为，得.,012121xxxx即 又点 Q 是点 P 关于原点的对称点，故点 Q 的坐标是（0，m），从而)2,0(mQP.所以 ).(QBQAQP（）由,4,01222yxyx得点 A、B 的坐标分别是（6，9）、（4，4）.由 yx2 得,21,412xyxy所以抛物线 yx42在点 A 处切线的斜率为36xy 设圆C的方程是,)()(222rbyax则.)4()4()9()6(,3192222bababab 解之得.2125)4()4(,223,23222barb
16、a 所 以 圆C的 方 程 是 ,2125)223()23(22yx即 .07223322yxyx 5重视应用 在历年的高考试题中，经常出现解析几何的应用题，如 01年的天津理科试题、03 年的上海文理科试题、03 年全国文科旧课程卷试题、03 年的广东试题及江苏的线性规划题等，都是有关解析几何的应用题 例 11（04 年广东试题）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s:相关各点均在同一平面上)
17、解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y轴正向，建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，则 A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设 P（x,y）为巨响为生点，由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上，PO 的方程为 y=x，因 B 点比 A点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|PA|=3404=1360 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线12222byax上，依题意得 a=680,c=1020，用 y=x 代入上式，得5680 x，|PB|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏
18、北450距中心m10680处.（二）05 年高考预测 1难度：解析几何内容是历年来高考数学试题中能够拉开成绩差距的内容之一，该部分试题往往有一定的难度和区分度，预计这一形式仍将在 05 年的试题中得到体现此外，从 04 年分省（市）命题的情况来看，在文科类 15 份试卷（含文理合用的试卷）中，有 9 分试卷（占 3/5）用解析几何大题作为最后一道压轴题，预计这一现状很有可能在 05 年试卷中继续重现 2命题内容：从今年各地的试题以及前几年的试题来看，解答题所考查的内容基本上是椭圆、双曲线、抛物线交替出现的，所以，今年极有可能考双曲线的解答题此外，从命题所追求的目标来看，小题所涉及的内容一定会注
19、意到知识的覆盖，兼顾到对能力的要求 3命题的热点：（1）与其他知识进行综合，在知识网络的交汇处设计试题（如与向量综合，与数列综合、与函数、导数及不等式综合等）；（2）直线与圆锥曲线的位置关系，由于该部分内容体现解析几何的基本思想方法用代数的手段研究几何问题，因此该部分内容一直是考试的热点，相信，在 05 年的考试中将继续体现；（3）求轨迹方程（4）应用题 四、二轮复习建议 1根据学生的实际，有针对性地进行复习，提高复习的有效性 由于解析几何通常有 23 小题和 1 大题，约占 28 分左右，而小题以考查基础为主、解答题的第一问也较容易，因此，对于全市的所有不同类型的学校，都要做好该专题的复习，
20、千万不能认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习，并且根据生源状况有针对性地进行复习，提高复习的有效性 2重视通性通法，加强解题指导，提高解题能力 在二轮复习中，不能仅仅复习概念和性质，还应该以典型的例题和习题（可以选用 04 年的各地高考试题和近两年的各地高考模拟试题）为载体，在二轮复习中强化各类问题的常规解法，使学生形成解决各种类型问题的操作范式 数学学习是学生自主学习的过程，解题能力只有通过学生的自主探究才能掌握 所以，在二轮复习中，教师的作用是对学生的解题方法进行引导、点拨和点评，只有这样，才能够实施有效复习 3注意强化思维的严谨性，力求规范解题，尽可能少丢分 在解解析几何的大题
21、时，有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象，因此，要通过平时的讲评对易出现错误的相关步骤作必要的强调，减少或避免无畏的丢分 例14（04全 国 文 科 ）设 双 曲 线C：线222x-y=1(a 0)与直l:x+y=1a相交于两个不同的点A、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为 P，且.125PBPA求a的值.解：（I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组.1,1222yxyax 有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0.双曲线的离心率 还有，在设直线方程为点斜式时，就应该注意到直线斜率不存在的情形；又如，在求
22、轨迹方程时，还要注意到纯粹性和完备性等 五、参考例题 例 1、若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点，其中 A(-2,3)，B(3,2)，求实数 m 的取值范围。解：直线 mx+y+2=0 过一定点 C(0,-2)，直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0,-2)的直线系，因为直线与线段 AB 有交点，oxyABC(0,-2)x=11O534216y3x+5y-30=0 x-3y+4=0 x2x-y=054230:2CAll6lB1则直线只能落在ABC 的内部，设 BC、CA 这两条直线的斜率分别为 k1、k2，则由斜率的定义可知，直线 mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 k
23、k1或 kk2，A(-2,3)B(3,2)25 3421kk-m34或-m25 即 m34或 m25 说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0 的斜率-m 应为倾角的正切，而当倾角在(0,90)或(90,180)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在ACB 内部变化时，k 应大于或等于 kBC，或者 k 小于或等于 kAC，当 A、B 两点的坐标变化时，也要能求出 m 的范围。例 2、已知 x、y 满足约束条件 x1，x-3y-4，3x+5y30，求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值.解：根据 x、y 满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴
24、影部分（包括边界）.作直线0l：2x-y=0，再作一组平行于0l的直线l：2x-y=t，tR.可知，当l在0l的右下方时，直线l上的点（x，y）满足 2x-y0，即 t0，而且直线l往右平移时，t 随之增大.当直线l平移至1l的位置时，直线经过可行域上的点 B，此时所对应的 t 最大；当l在0l的左上方时，直线l上的点（x，y）满足 2x-y0，即 t0，而且直线l往左平移时，t 随之减小.当直线l平移至2l的位置时，直线经过可行域上的点 C，此时所对应的 t 最小.x-3y+4=0，由 解得点 B 的坐标为（5，3）；3x+5y-30=0，x=1，由 解得点 C 的坐标为（1，527）.3x
25、+5y-30=0，所以，最大值z=25-3=7；最小值z=21-527=517.例 3、已知M：xQyx是,1)2(22轴上的动点，QA，QB 分别切M 于 A，B 两点，（1）如果324|AB，求直线 MQ 的方程；（2）求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.解:（1）由324|AB，可得,31)322(1)2|(|2222ABMAMP由射影定理，得 ,3|,|2MQMQMPMB得 在 RtMOQ 中，523|2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线 AB 方程是 （2）连接 MB，MQ，设),0,(),(aQyxP由 点 M，P，Q 在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|,|2
26、MQMPMB 即(*),14)2(222ayx 把（*）及（*）消去a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx 说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。例 4、已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5kkxy交双曲线于不同的点C，D 且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.解：（1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd.故所求双曲线方程为.1322 yx（2）把33522yxkxy代入中 消 去y，整 理 得 0783
27、0)31(22kxxk.设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则 即7,0,03153115222kkkkkkk又 故所求k=7.说明：为了求出k的值,需要通过消元,想法设法建构k的方程.例 5、已知椭圆)0(12222babyax的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点M 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F，向量AB与OM是共线向量。（1）求椭圆的离心率 e；（2）设 Q 是椭圆上任意一点，1F、2F分别是左、右焦点，求21QFF 的取值范围；解：（1）abycxcFMM21,),0,(则，acbkOM2。ABOMabkAB与,是共线向量，abacb2，b=c,故22e。（2）设1122121212,2,2,FQr F QrF QFrra FFc 当且仅当21rr 时，cos=0，2,0。说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。