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1、第 11 讲 数列问题的题型与方法 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通
2、项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。一、知识整合 1在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2 在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认
3、识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力 3培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法 二、方法技巧 1判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于 n2 的任意自然数,验证11(/)nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法：若 =+（n-1）d=+（n-k）d，则 na为等差数列；若 ，则 na为等比数列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。
4、2.在等差数列 na中,有关nS的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当1a0,d0 时，满足100mmaa的项数 m 使得mS取最大值.(2)当1a0 时，满足100mmaa的项数 m 使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项 1证明数列 na是等差或等比数列常用定义，即通过证明11nnnnaaaa 或11nnnnaaaa而得。2在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3注意ns与na之
5、间关系的转化。如：na=1100nnSSS 21nn，na=nkkkaaa211)(4数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路 5解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略 四、例题解析 例 1已知数列an是公差 d0 的等差数列，其前 n 项和为 Sn(2)过点 Q1(1，a1)，Q2(2，a2)作直线 12，设 l1与 l2的夹角为，证明：(1)因为等差数列an的公差 d0，所以 Kp1pk是
6、常数(k=2，3，n)(2)直线 l2的方程为 y-a1=d(x-1)，直线 l2的斜率为 d 例2 已 知 数 列 na中，nS是 其 前n项 和，并 且1142(1,2,),1nnSana，设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列 nb是等比数列；设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列 nc是等差数列；求数列 na的通项公式及前n项和。分析：由于bn和cn中的项都和an中的项有关，an中又有S1n=4an+2，可由 S2n-S1n作切入点探索解题的途径 解：(1)由 S1n=4a2n，S2n=4a1n+2，两 式 相 减，得S2n-S1n=4(a1n-an)，即 a2n=4
7、a1n-4an(根据 bn的构造，如何把该式表示成 b1n与 bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a2n-2a1n=2(a1n-2an)，又 bn=a1n-2an，所以 b1n=2bn 已知 S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得 a2=5，b1=a2-2a1=3 由和得，数列bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列，故 bn=321n 当 n2 时，Sn=4a1n+2=21n(3n-4)+2；当 n=1 时，S1=a1=1 也适合上式 综上可知，所求的求和公式为 Sn=21n(3n-4)+2 说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比
8、数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件241nnaS得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用 例 3（04 年浙江）设数列an的前项的和Sn=31（an-1）(nN+),（1）求a1;a2;(2)求证数列an为等比数列。解:()由)1(3111aS,得)1(3111aa 1a21 又)1(3122aS,即)1(31221aaa,得412a.()当n1 时,),1(31)1(3111nnnnnaaSSa 得,211nnaa所以 na是首项21,公比为21的等比数列.例 4、（04 年重庆）设a1=1,a2=35,
9、an+2=35an+1-32an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)求数列bn的通项公式，(2)求数列nan的前n项的和Sn。解：（I）因121nnnaab1115222()3333nnnnnnaaaaab 故bn是公比为32的等比数列，且故,32121aab),2,1()32(nbnn （II）由得nnnnaab)32(1 注意到,11a可得),2,1(3231nannn 记数列3211nnn的前n项和为Tn，则 例 5在直角坐标平面上有一点列),(,),(),(222111nnnyxPyxPyxP，对一切正整数n，点nP位于函数4133 xy的图象上，且nP的横坐
10、标构成以25为首项，1为公差的等差数列 nx。求点nP的坐标；设抛物线列,321ncccc中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线nc的顶点为nP，且过点)1,0(2nDn，记与抛物线nc相切于nD的直线的斜率为nk，求：nnkkkkkk13221111。设1,4|,1,2|nyyyTnNnxxxSnn，等差数列 na的任一项TSan，其中1a是TS 中的最大数，12526510a，求 na的通项公式。解：（1）23)1()1(25nnxn（2）nc的对称轴垂直于x轴，且顶点为nP.设nc的方程为：,4512)232(2nnxay 把)1,0(2nDn代 入 上 式，得1a，nc的 方 程
11、 为：1)32(22nxnxy。32|0nykxn，)321121(21)32)(12(111nnnnkknn=641101)32151(21nn（3）1,),32(|nNnnxxS，,STTT 中最大数171a.设na公差为d，则)125,265(91710da，由此得 说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出nk，解决（3）的关键在于算出ST及求数列 na的公差。例 6数列 na中，2,841aa且满足nnnaaa122 *Nn 求数列 na的通项公式；设|21nnaaaS，求nS；设nb=)12(1nan)(),(*21*NnbbbTNnnn，是否存
12、在最大的整数m，使得对任意*Nn，均有nT32m成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，nnnnaaaa112，na为等差数列，设公差为d，由题意得2382dd，nnan210)1(28.（2）若50210nn则，|,521nnaaaSn时 6n 时，nnaaaaaaS76521 故nS 409922nnnn 65nn（3）)111(21)1(21)12(1nnnnanbnn 若32mTn对任意*Nn成立，即161mnn对任意*Nn成立，)(1*Nnnn的最小值是21，,2116mm的最大整数值是7。即存在最大整数,7m使对任意*Nn，均有.32mTn 说明：本例复习
13、数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.五、强化训练（一）用基本量方法解题 1、（04 年浙江）已知等差数列的公差为 2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2=（B）A 4 B 6 C 8 D 10 （二）用赋值法解题 2、（96 年）等差数列an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（C）A 130 B 170 C 210 D 260 3、（01 年）设an是公比为q的等比数列，Sn是an的前n项和,若Sn是等差数列，则q=_1_ 4、设数列an的前项的和Sn=2)13(1na（对于所有n1），且a4=54,则a1=_2_（三）用整体化方法解题 5、（0
14、0 年）已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0,则有（C）A a1+a1010 B a2+a1000,Sn是an的前n项和，Sn取得最大值，则n=_9_.10、（01 年上海）已知数列an中an=2n-7,(nN+),1a+2a+-+15a=_153_ （五）用递推方法解题 11、（03 年全国）设an是首项为 1 的正项数列，且（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通项公式是_1/n 12、（04年全国）已知数列an满足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+-+(n-1)an-1(n1),则 an 的 通 项an=_a1=1;an=2!nn2 13、（04 年
15、北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为 5，那么的值为_3_，这个数列的前n项和的计算公式为_当n为偶数时，；当n为奇数时，14.（04 年全国）已知数列an中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，。(1)求a3,a5；（2）求an的通项公式 解：（I）a2=a1+(1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(1)2=4 a5=a4+32=13,所以，a3=3,a5=13.(II)a2k+1=a2k+3k=a2k1+(1)k+3k,所以a2k+1a2k1=3k+(1)k,同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1,a3a1=3+(1).所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1)=(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1),由此得a2k+1a1=23(3k1)+21(1)k1,于是a2k+1=.1)1(21231kka2k=a2k1+(1)k=2123k(1)k11+(1)k=2123k(1)k=1.an的通项公式为：当n为奇数时，an=;121)1(232121nn 当n为偶数时，.121)1(2322nnna