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1、【例题精选】：例1：已知：如图，过DABC的顶点A，作AFAB且AF=AB，作AHAC，使AH=AC，连结BH、CF，且BH与CF交于D点。求证：（1）BH=CF（2）BHCF例2：已知，如图：BD、CE是DABC的高，分别在高上取点P与Q，使BP=AC，CQ=AB。求证：AQ=AP例3：已知：如图，OA=OB、OC=OD求证：AE=BE例4：已知：如图，ADBC，AE、BE分别平分DAB和CBA，DC过点E。求证：AB=AD+BC例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD、CEAB于E，且B+D=180。求证：AE=AD+BE例：已知：如图，在DABC中，D是BC的中点，E、F分别
2、在AC、AB边上，EDF=90。求证：例1分析：从图中可观察分析，若证BH=CF，显然，若能证出DABHDAFC，问题就能解决。从已知看，已经知道AF=AB，AC=AH。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，BAF和HAC都是直角。而图中的BAC显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。证明：（1）AFAB，AHAC BAF=HAC=90 BAF+BAC=HAC+BAC 即FAC=BAH 在DABH和DAFC中 DABHDAFC（边角边） BH=FC（全等三角形对应边相等）（2）设AC与BH交于点P 在
3、DAPH中 HAP=90 2+3=90（直角三角形中两个锐角互余） 1=2（全等三角形对应角相等） 3=4 1+4=2+3=90 在DPDC中 1+4=90 HDC=90 BHCF例2分析：从要证的结论AQ=AP，只有在DABP和DQCA中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC、CQ=AB，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出1=2？再分析已知条件，不难看出，既然BD、CE都是高，就有BDA=CEA=90，这样就可看出1和2都是BAC的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到1=2，这样问题就可以迎刃而解了。证明：BDAC于D C
4、EAB于EBDA=CEA=901+BAC=2+BAC=901=2在DABP和DPCA中DABPDQCA（边角边）AQ=AP（全等三角形对应边相等）例3分析：从要证明的结论AE=EB看，我们不难看出，应当在DADE和DBCE中去寻找答案，而要证明DADEDBCE，比较明显的有一组对顶角相等，即AED=BEC，另外可以通过等式性质得到，OAOD=OBOC，即AD=BC，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE=BE上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出A=B（或ADE=BCE），A=B除了是DADE和DBCE的对应角外，它们还是DAOC和D
5、BOD的对应角，只要DAOCDBOD，那么就可以推出A=B，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下DAOC和DBOD全等条件够吗？证明：在DAOC和DBOD中DAOCDBOD（边角边）A=B（全等三角形的对应角相等）OA=OB（已知） OC=OD（已知）AD=BC（等式性质）在DADE和DBCE中DADEDBCE（角角边）AE=BE（全等三角形对应边相等）同学们自己动手试一试，可不可通过证明ADE=BCE来证明DADEDBCE 呢？例4分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD（或BC），利用角平分线的条件证全等
6、。证明（一）：在AB上截AF=AD，连结EF在DADE和DAFE中DADEDAFED=AFE（全等三角形对应角相等）ADBC（已知）D+C=180（两直线平行，同旁内角互补）又D=AFE（已证）BFE=C（等角的补角相等）在DBFE和DBCE中DBFEDBCE（角角边）BF=BCAB=AD+BC证明（二）：延长AE、BC交于点F。AE、BE分别是DAB和CBA的平分线。 又ADBC1+2+3+4=180（两直线平等，同旁内角互补）2+3=90AEB=90BEF=90在DABE和DFBE中DABEDFBE （角边角）AB=BF AE=EF在DAED和DFEC中DAEDDFEC AD=FCAB=A
7、D+BC（等量代换）例5分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADCDAFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在AE上截取AF=AD，连结FC。在DAFC和DADC中DAFCDADC（边角边）AFC=D（全等三角形对应角相等）B+D=180（已知）B=EFC（等角的补角相等）在DCEB和DCEF中DCEBDCEF （角角边）BE=EFAE=AF+EFAE=AD+BE（等量代换）证明（二）：在线段EA上截EF=BE，连结FC（如
8、右图）。同样也可以证明，同学们自己试一试，证明过程是怎样的，看一看，当推导过程不通时，想一想，还有哪些已知条件没有充分考虑到，或是还有哪些定理，性质用的不熟，自己找一找思维障碍是什么？小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。如例：已知：DABC中，AD是BC边上的中线求证：分析：求证，即可变形为，其结构恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和，如果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB、AC相等，而另一边正好为AD的2倍，问题就迎刃而解了。证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BE。在DADC和DEDB中DADC
9、DEDB（边角边）AC=BE（全等三角形对应边相等）在DABE中（三角形中，两边之和大于第三边）又如前面的例4、例5，证明某两条线段的和等于另一条线段，往往考虑“截长补短”，有时为了达到某种证明目的，可以考虑“平行移动”即过某点作一直线平行于某已知直线。遇到中线时往往考虑到倍长，达到旋转180，有时遇有角平分线，还可以考虑添加平行线，能得出等腰三角形。当然，目前由于我们学的知识还不够，有些题目不可能一下子就会遇到，但随着学习的深入，添加辅助线在几何证明过程中，经常要遇到，所以从现在起，遇到类似的问题，就要不断的总结，不断的积累。下面再分析一下下面的例题，以便逐步养成分析问题解决问题的良好的逻辑
10、思维习惯。分析：从要证的结论来看，它们没构成一个三角形，不能利用我们学习过的三角形三边的关系加以证明，D是中点，可考虑延长，又考虑到EDF是直角，所以可以达到把EF用EG代换，而BF可以用CG代换，问题可以得到解决。证明：延长FD到G，使DG=FD，连结EG、CG。在DEFD和DEGD中DEFDDEGD（边角边）EF=EG（全等三角形对应边相等）在DBDF和DCDG中DBDFDCDG（边角边）CG=BF在DCEG中 【专项训练】：1、已知：如图，AD/BC，AD=BC。求证：AB=DC2、已知：如图，AD/BC，AD=BC，AE=CF。求证：B=D3、已知：如图，AC=BD，AE=DF，AEA
11、D于A，DFAD于F求证：EBCF4、已知：如图，AB=AC，AD=AE，1=2。求证：CE=BD5、已知：如图，A=D，B=C，BE=CF。求证：AB=DC6、已知：如图，ABBD于B，EDBD于D，AB=CD，BC=DE。求证：ACCE7、已知：如图，AE=AD，1=2。求证：B=C8、已知：如图，AC=BD，BAC=ABD。求证：AD=BC；CAD=DBC9、已知：如图，ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE。求证：（1）BE=DC（2）BEDC10、已知：如图，AD是的中线，BEAD交延长线于E，CFAD于F。求证：BE=CF11、已知：如图，AC=CE，AE交CF于B，EDCB于D，AFCF于F。求证：（1）ACF=CED（2）DF=CFAF12、已知：如图，AB、CD、EF互相平分于点O。求证：AEC=BFD13、已知：如图，中，AD、CE是的角平分线，相交于点O。求证：AE+CD=AC14、已知：如图，CD=AB，BDA=BAD，AE是的中线。求证：AC=2AE