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1、全等三角形经典例题全等三角形的概念与性质类型一、全等形与全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形及镜面合同三角形，假设ABC与A1B1C1是全等(合同)三角形，点A及点A1对应，点B及点B1对应，点C及点C1对应，当沿周界ABCA，及A1B1C1A1环绕时，假设运动方向一样，那么称它们是真正合同三角形(如图1)，假设运动方向相反，那么称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180，以下各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( ) 答案B；提示：抓住关键
2、语句，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180，B答案中的两个三角形经过翻转180就可以重合，应选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角类型三、全等三角形性质3、如图，将长方形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，那么等于 A.60 B.45 C.30 D.15答案D；解析因为AFE是由ADE折叠形成的，所以AFEADE，所以FAEDAE，又因为，所以FAEDAE15.点评折叠所形成的三角形及原三角形是全等的关系，抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三：变式如图，在长方形ABCD中，将BCD沿其对角线BD翻折得到BED，假设135，那么2
3、_.答案35；提示：将BCD沿其对角线BD翻折得到BED，所以2CBD，又因为ADBC，所以1CBD，所以235.4、 如图，ABE与ADC是ABC分别沿着AB，AC翻折180形成的，假设1232853，的度数是_.答案80解析1232853，设128，25，33，285336180，5即1140，225，315ABE与ADC是ABC分别沿着AB，AC翻折180形成的，ABEADCABC2ABE，3ACDEBCBCD2223503080“比例设未知数x是比拟常用的解题思路.举一反三：变式如图，在ABC中，A:ABC:BCA 3:5:10，又MNCABC，那么BCM：BCN等于 A1:2 B1:
4、3 C2:3 D1:4答案D；提示：设A3，ABC5，BCA10，那么351018180，10. 又因为MNCABC，所以NB50，CNCB，所以NCBN50，ACBMCN100，BCN180505080，所以BCM：BCN20：801：4.全等三角形判定一SSS，SAS类型一、全等三角形的判定1“边边边1、如图，在ABC与ADE中，ABAC，ADAE，BDCE，求证：BADCAE.(答案及解析证明：在ABD与ACE中，ABDACESSSBADCAE全等三角形对应角相等.(点评把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定与性质. 要证BADCAE，
5、先找出这两个角所在的三角形分别是BDA与CAE，然后证这两个三角形全等.举一反三：(变式：如图，ADBC，ACBD.试证明：CADDBC.(答案证明：连接DC， 在ACD及BDC中ACDBDCSSSCADDBC全等三角形对应角相等类型二、全等三角形的判定2“边角边2、3、 举一反三：(变式，如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，并且AEABAD，求证：BD180.(答案证明：在线段AE上，截取EFEB，连接FC，CEAB，CEBCEF90在CBE与CFE中，CBE与CFESASBCFEAEABAD，2AE ABAD AD2AEABAEAFEF，AD2AFEFAB2AF2EFA
6、BAFAFEFEBABAFABAB，即ADAF在AFC与ADC中AFCADCSASAFCD AFCCFE180，BCFE.AFCB180，BD180.类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图，公园里有一条“Z字形道路ABCD，其中ABCD，在AB，BC，CD三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且BECF，M在BC的中点.试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？Why？ (答案及解析三个小石凳在一条直线上证明：AB平行CDBC两直线平行，内错角相等M在BC的中点BMCM中点定义在BME与CMF中 BMECMFSASEMBFMC全等三角形的对应角相等EMFEMBBMFFMCBMFBMC180等
7、式的性质E，M，F在同一直线上(点评对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由易证BMECMF，可得EMBFMC，再由EMFEMBBMFFMCBMFBMC180得到E，M，F在同一直线上.全等三角形判定二ASA，AAS类型一、全等三角形的判定3“角边角1、如图，G是线段AB上一点，AC与DG相交于点E.请先作出ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当ADBC，ADBC，ABC2ADG时，DEBF.(答案及解析证明：ADBC，DACC BF平分ABC ABC2CBF ABC2ADG CBFADG在DAE及BCF中DAEBCFASADEBF(点评利用全等三角形证明
8、线段(角)相等的一般方法与步骤如下： (1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形； (2)证明这两个三角形全等； (3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等(变式：如图，在MPN中，H是高MQ与NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.(答案证明：MQ与NR是MPN的高， MQNMRN90， 又132490，34 12 在MPQ与NHQ中， MPQNHQASA PMHN类型二、全等三角形的判定4“角角边2、：如图，是经过点的一条直线，过点A、B 分别作、，垂足为E、F，求证：.(答案及解析证明： ， 在与中 (点评要证，只需证含有这两个线段的.同角的余角相等是找角等的好方法.3、平
9、面内有一等腰直角三角板ACB90与一直线MN过点C作CEMN于点E，过点B作BFMN于点F当点E及点A重合时如图1，易证：AFBF2CE当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜测，不需证明(答案及解析解：图2，AFBF2CE仍成立，证明：过B作BHCE于点H，CBHBCHACEBCH90CBHACE 在ACE及CBH中， ACECBHAASCHAE，BFHE，CEEF，AFBFAEEFBFCHEFHECEEF2EC(点评过B作BHCE及点H，易证ACHCBH，根据全等三角形的对应
10、边相等，即可证得AFBF2CE正确作出垂线，构造全等三角形是解决此题的关键.举一反三：(变式RtABC中，ACBC，C90，D为AB边的中点，EDF90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F当EDF绕D点旋转到DEAC于E时如图1，易证；当EDF绕D点旋转到DE与AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请写出你的猜测，不需证明.窗体底端(答案解：图2成立； 证明图2：过点作 那么在AMD与DNB中，AMDDNBAASDMDNMDEEDNNDFEDN90， MDENDF在DME及DNF中，DMEDNFASA可知，类型三、全等三角形判定的实际应
11、用4、在一次战役中，我军阵地及敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡及我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个方法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚刚的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的方法量出了自己及该点的距离，这个距离就是他及碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.(答案及解析设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线及帽檐的夹角不变，可知BADBAC，ABDABC90.在ABD与ABC中，AB
12、D与ABCASABDBC.这名战士的方法有道理.(点评解决此题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地及碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进展说明.解决此题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析与解决.直角三角形全等判定类型一、直角三角形全等的判定“HL1、 判断满足以下条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“，全等的注明理由：1一个锐角与这个角的对边对应相等； 2一个锐角与斜边对应相等； 3两直角边对应相等； 4一条直角边与斜边对应相等 (答案1全等，“AAS；2全等，“AAS；3全等，“SAS；4全等，“HL.(解析理解题意，画出图形，根据
13、全等三角形的判定来判断.(点评直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：(变式以下说法中，正确的画“；错误的画“，并举出反例画出图形.1一条直角边与斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 2有两边与其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 3有两边与第三边上的高对应相等的两个三角形全等 (答案1；2；在ABC与DBC中，ABDB，AE与DF是其中一边上的高，AEDF 3. 在ABC与ABD中，ABAB，ADAC，AH为第三边上的高，2、：如图，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求证：ABDC.(答案及解析证明：DEAC，BFAC，在RtADE及Rt
14、CBF中RtADERtCBF HL AECF，DEBFAEEFCFEF，即AFCE在RtCDE及RtABF中，RtCDERtABFSASDCEBAF ABDC.(点评从条件只能先证出RtADERtCBF，从结论又需证RtCDERtABF.我们可以从与结论向中间推进，证出题目.3、 举一反三：(变式4、如图，ABC中，ACB90，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D.1求证：AECD；2假设AC12，求BD的长.(答案及解析1证明：DBBC，CFAE，DCBDDCBAEC90DAEC又DBCECA90，且BCCA，DBCECAAASAECD2
15、解：由1得AECD，ACBC，CDBAECHL BDECBCAC，且AC12 BD6(点评三角形全等的判定是中考的热点，一般以考察三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.角的平分线的性质知识点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如下图：ABC的内心为，旁心为，这四个点到ABC三边所
16、在直线距离相等.(典型例题类型一、角的平分线的性质及判定1、：如图，在中，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F. 求证：AEAF(答案及解析证明：AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F. DEDF角平分线上的点到角两边的距离相等垂直定义在与中 HL(点评先由角平分线的性质得出DEDF，再证，即可得出AEAF.分析，寻找条件，顺次证明举一反三：(变式如图，AD是BAC的平分线，DEAB，交AB的延长线于点E，DFAC于点F，且DBDC.求证：BECF.(答案证明：DEAE，DFAC，AD是BAC的平分线， DEDF，BEDDFC90 在RtBDE及RtCDF中，RtBDERtCDFHL
17、 BECF2、3、如图，AC=DB，PAC及PBD的面积相等求证：OP平分AOB(答案及解析证明：作PMOA于M，PNOB于N ，且 又ACBD PMPN 又PMOA，PNOB OP平分AOB (点评观察条件中提到的三角形PAC及PBD，显然及全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.4、举一反三：(变式如图，DCAB，BAD与ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：ADABDC.(答案 证明：在线段AD上取AFAB，连接EF，AE是BAD的角平分线，
18、12，AFAB AEAE，ABEAFE，BAFE由CDAB又可得CB180，AFEC180，又DFEAFE180，CDFE，DE是ADC的平分线，34，又DEDE，CDEFDE，DFDC，ADDFAF，ADABDC 全等三角形全章复习及稳固类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)倍长中线法：1、，如图，ABC中，D是BC中点，DEDF,试判断BECF及EF的大小关系，并证明你的结论.(答案及解析BECFEF；证明：延长FD到G，使DGDF,连结BG、EGD是BC中点BDCD又DEDF在EDG与EDF中EDGEDFSASEGEF在FDC及GDB中FDCGDB(SAS)CFBGBGBEEGBECFE
19、F(点评因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DGDF,证明EDGEDF，FDCGDB，这样就把BE、CF及EF线段转化到了BEG中，利用两边之与大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法或倍长过中点的线段.举一反三：(变式：如下图，CE、CB分别是ABC及ADC的中线，且ACBABC求证：CD2CE(答案证明： 延长CE至F使EFCE，连接BF EC为中线， AEBE在AEC及BEF中， AECBEFSAS ACBF，AFBE全等三角形对应边、角相等又 ACBABC，DBCACBA，FBCABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC为ADC的中线， ABB
20、D即BFBD在FCB及DCB中， FCBDCBSAS CFCD即CD2CE(2)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、：如下图，在ABC中，C2B，12求证：ABACCD(答案及解析证明：在AB上截取AEAC在AED及ACD中， AEDACDSAS AEDC(全等三角形对应边、角相等)又 C2B AED2B由图可知：AEDBEDB， 2BBEDB BEDB BEED即BECD ABAEBEACCD(等量代换)(点评此题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现ABAC故用截长补短法在AB上截取AEAC这样AB就变成了AEBE，而AEAC只需证BECD即可从而把ABACCD转化为证
21、两线段相等的问题举一反三：(变式如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HDBD.(1)求证：B及AHD互补；(2)假设B2DGA180，请探究线段AG及线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.(答案证明：1在AB上取一点M, 使得AMAH, 连接DM. CADBAD, ADAD, AHDAMD. HDMD, AHDAMD. HDDB, DB MD. DMBB. AMDDMB 180, AHDB180. 即 B及AHD互补. 2由1AHDAMD, HDMD, AHDB180. B2DGA 180, AHD2DGA. AMD2DGM. AMDDGMGDM. 2DGMDGMGDM
22、. DGMGDM. MDMG. HD MG. AG AMMG, AG AHHD. 3.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：3、如下图，ABC中ABAC，AD是BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MBMCABAC(答案及解析证明：因为ABAC，那么在AB上截取AEAC，连接ME在MBE中，MBMEBE三角形两边之差小于第三边在AMC与AME中， AMCAMESAS MCME全等三角形的对应边相等又 BEABAE， BEABAC， MBMCABAC(点评因为ABAC，所以可在AB上截取线段AEAC，这时BEABAC，如果连接EM，在BME中，显然有MBMEBE这说明只要证明MEMC，那么结
23、论成立充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.举一反三：(变式如图，AD是ABC的角平分线，ABAC,求证：ABACBDDC(答案证明：在AB上截取AEAC,连结DEAD是ABC的角平分线，BADCAD在AED及ACD中AEDADCSASDEDC在BED中，BEBDDC即ABAEBDDCABACBDDC4.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.4、如下图，E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且DAEFAE求证：AFADCF(答案及解析证明： 作MEAF于M，连接EF 四边形ABCD为正方形， CDEMA90又 DAEFAE， AE为FAD的平分线， MEDE在RtAME及RtA
24、DE中， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形对应边相等)又 E为CD中点， DEEC MEEC在RtEMF及RtECF中， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形对应边相等)由图可知：AFAMMF， AFADFC(等量代换)(点评及角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD为正方形，那么D90而DAEFAE说明AE为FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知MEDEAEAERtAME及RtADE全等有AD
25、AM而题中要证AFADCF根据图知AFAMMF故只需证MFFC即可从而把证AFADCF转化为证两条线段相等的问题5、如下图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E， ，求证：BD是ABC的平分线(答案及解析证明：延长AE与BC，交于点F，ACBC，BEAE，ADE=BDC对顶角相等，EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD在RtACF与RtBCD中所以RtACFRtBCDASA那么AF=BD全等三角形对应边相等AE=BD，AE=AF，即AE=EF在RtBEA与RtBEF中，那么RtBEARtBEFSAS所以ABE=FBE全等三角形对应角相等，即B
26、D是ABC的平分线(点评如果由题目无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题6、在ABC中，ACB90，ACBC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F。1如图1当直线不及底边AB相交时，求证：EFAEBF。2将直线绕点C顺时针旋转，使及底边AB相交于点D，请你探究直线在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，ADBD；ADBD；ADBD.(答案及解析证明：1AE，BF，AECCFB90，1290ACB90，239013。在ACE与CBF中，ACECBFAASA
27、ECF，CEBF EFCECF，EFAEBF。2EFAEBF，理由如下：AE，BF，AECCFB90，1290ACB90，2390，13。在ACE与CBF中ACECBFAASAECF，CEBFEFCFCE，EFAEBF。 EFAEBFEFBFAE证明同.(点评解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置及数量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿及借鉴原有的结论及过程，其结论有时变化，有
28、时不发生变化.举一反三：(变式：在ABC中，BAC90，ABAC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF1当点D在线段BC上时及点B不重合，如图1，求证：CFBD 2当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第1问中的结论是否仍然成立，并说明理由.(答案证明：1正方形ADEF ADAF，DAF90 DAFDACBACDAC，即BADCAF 在ABD与ACF中， ABDACFSAS BDCF 2当点D运动到线段BC的延长线上时，仍有BDCF 此时DAFDACBACDAC，即BADCAF 在ABD与ACF中， ABDACFSAS BDCF全等三角形全章复习及稳
29、固根底类型一、全等三角形的性质与判定1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明说明：结论中不得含有未标识的字母；(2)证明：DCBE .(答案及解析)解：1BAECAD 证明：BACEAD90 BAC CAEEAD CAE 即 BAECAD 又ABAC，AEAD， ABEACDSAS2由1得BEACDA,又COEAOD BEACOE CDAAOD90 那么有DCE180 9090， 所以DCBE.(点评)ABE及ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明ABEABE
30、及ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90，即DCBE.举一反三：(变式)如图，：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求证：BDCE.(答案)证明：AEAB，ADAC， EABDAC90 EABDAEDACDAE ，即DABEAC. 在DAB及EAC中，DABEAC SAS BDCE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)作公共边可构造全等三角形：2、 如图：在四边形ABCD中，ADCB，ABCD.求证：BD.(答案及解析)证明：连接AC，ADCB，ABCD. 12，34 在ABC及CDA中 ABCCDAASABD(点评)B及D不包含在任何
31、两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证AC，那么连接对角线BD.举一反三：(变式)在ABC中，ABAC.求证：BC(答案)证明：过点A作ADBC在RtABD及RtACD中 RtABDRtACDHL BC.(2)倍长中线法：3、(点评).举一反三：(变式)假设三角形的两边长分别为5与7, 那么第三边的中线长的取值范围是( ) A.1 6 B.5 7 C.2 (答案)A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7575，所以选A选项.(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：4、在ABC中，ABAC.求证：B
32、C(答案及解析)证明：作A的平分线，交BC于D，把ADC沿着AD折叠，使C点及E点重合. 在ADC及ADE中 ADCADESAS AEDC AED是BED的外角， AEDB，即BC.(点评)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形.(4)利用截长(或补短)法构造全等三角形：5、如下图，ABC中ABAC，AD是BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MBMCABAC(答案及解析)证明：ABAC，那么在AB上截取AEAC，连接ME在MBE中，MBMEBE三角形两边之差小于第三边在AMC与AME中， AMCAMESAS MCME全等三角形的对应边相等又 BEABAE， BEABAC， MBMC
33、ABAC(点评)因为ABAC，所以可在AB上截取线段AEAC，这时BEABAC，如果连接EM，在BME中，显然有MBMEBE这说明只要证明MEMC，那么结论成立充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.类型三、全等三角形动态型问题6、如图1，ABBD于点B，EDBD于点D，点C是BD上一点且BCDE，CDAB1试判断AC及CE的位置关系，并说明理由；2如图2，假设把CDE沿直线BD向左平移，使CDE的顶点C及B重合，此时第1问中AC及BE的位置关系还成立吗？注意字母的变化(答案及解析)证明：1ACCE理由如下：在ABC与CDE中， ABCCDESAS ACBE又 EECD90， ACBECD9
34、0 ACCE2 ABC各顶点的位置没动，在CDE平移过程中，一直还有，BCDE，ABCEDC90， 也一直有ABC(SAS) ACBE而E90， ACB90故有AC，即AC及BE的位置关系仍成立(点评)变还是不变，就看在运动的过程中，本质条件此题中的两三角形全等变还是没变本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了。结论仍然不变举一反三：(变式)如图(1)，ABC中，BCAC，CDE中，CECD，现把两个三角形的C点重合，且使BCAECD，连接BE，AD求证：BEAD假设将DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE及AD还相等吗为什么(答案)证明：BCAECD， BCAECAECDECA，即BCEACD 在ADC及BEC中ADCBEC(SAS) BEAD 假设将DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE及AD还相等，因为还是可以通过SAS证明ADCBEC.第 24 页