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1、精品教案可编辑3平均值不等式第 1 课时平均值不等式1了解两个(三个)正数的算术平均值与几何平均值(易错、易误点)2掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式(重点、难点)基础初探 教材整理平均值不等式阅读教材P10P12“思考交流”以上部分，完成下列问题1定理 1：对任意实数a，b，有a2b22ab(当且仅当ab时取“”号)2定理 2：对任意两个正数a，b，有ab2ab(当且仅当ab时取“”号)语言叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值3 定理 3：对任意三个正数a，b，c，有a3b3c3 3abc(当且仅当abc时取“”号)4定理 4：对任意三个正数a，b，c，有a
2、bc33abc(当且仅当abc时取“”号)语言叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)x1x 2.()精品教案可编辑(2)ex1ex 2.()(3)当a，b，c不全为正数时，abc33abc成立()(4)bacbac 3.()【解析】(1)当x0 时，x1x 2，当x0，ex1ex 2，当且仅当x0 时取等号(3)如a1，bc 1 时，abc313，但3abc1.这时有abc30 且a 1)；任意x 0，2，tan x1tan x 2；任意xR，sin x1sin x 2.其中真命题有()ABCD【精彩点拨】关键看是否满足平均值不等式【自主解答
3、】在，中，lg xR，sin x 1,1，不能确定lg x 0 与 sin x0，因此，是假命题在中，ax0，ax1ax 2 ax1ax2，当且仅当x0 时取等号，故是真命题在中，当x 0，2时，tan x0，有 tan x1tan x 2，且x4时取等号，故是真命题【答案】C本题主要涉及平均值不等式成立的条件及取等号的条件.在定理 1 和定理 2 中，“ab”是等号成立的充要条件.但两个定理有区别又有联系：1ab2ab是a2b22ab的特例，但二者适用范围不同，前者要求a，b均为正数，后者只要求a，bR；2a，b大于0 是ab2ab的充分不必要条件；a，b为实数是a2b22ab的充要条件.再
4、练一题 1设a，b为实数，且ab0，下列不等式中一定成立的个数是()精品教案可编辑【导学号：94910010】baab 2；ab2ab；1a21b22ab；b2aa2bab.A1 B2 C3 D4【解析】ab0，abba2abba2，成立；a，b0 时，不成立；1a21b22ab，成立；当a 1，b 2 时，不成立因此，成立【答案】B证明简单的不等式(1)已知a，b，cR.求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2；(2)设a，b，c都是正数，求证：bcaacbabcabc.【精彩点拨】本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成
5、平均值不等式的和，再进行证明【自主解答】(1)a4b42a2b2，同理a4c42a2c2，b4c42b2c2，将以上三个不等式相加得：a4b4a4c4b4c42a2b2 2a2c2 2b2c2，即a4b4c4a2b2a2c2b2c2.(2)当a0，b0 时，ab2ab，精品教案可编辑bcaacb2bcaacb2c.同理：bcaabc2bcaabc 2b，acbabc2acbabc2a.将以上三个不等式相加得：2bcaacbabc 2(abc)，bcaacbabcabc.平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利
6、用平均值不等式的切入点.但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致.再练一题 2设a，b，c为正数，求证：1a21b21c2(abc)2 27.【证明】a0，b0，c0，abc33abc0，从而(abc)293a2b2c20，又1a21b21c2331a2b2c20，1a21b21c2(abc)2331a2b2c293a2b2c227.精品教案可编辑当且仅当abc时，等号成立故原不等式成立探究共研型 平均值不等式的变式及条件不等式的证明探究 1 不等式ab2ab，abc33abc成立的条件都是a，b，c为正数，在条件ba0 成立时，a，ab，ab2，2abab，a2b22
7、，b之间有怎样的大小关系？【提示】a2abababab2a2b22b.探究 2 若问题中一端出现“和式”，另一端出现“积式”时，这便是应用不等式的“题眼”，那么若条件中有“和式为1”时，应如何思考？【提示】应用平均值不等式时，一定要注意条件a0，b0，c0.若有“和式为1”时，常反过来应用“1”的代换，即把“1”化成“和”，再试着应用平均值不等式已知a0，b0，c0，求证：(1)ab2 a2b22；(2)a2b2b2c2c2a22(abc)【精彩点拨】(1)式两端均是“和”，不能直接利用平均值不等式，解决的关键是对a2b22的处理，先考虑平方关系，化难为易；(2)注意两边都是“和”式，可利用(
8、1)题的结论【自主解答】(1)a2b22ab，2(a2b2)(ab)2，a2b22 ab24.精品教案可编辑又a0，b0，ab2 a2b22.(2)由(1)得a2b222(ab)同理：b2c222(bc)，c2a222(ac)三式相加得：a2b2b2c2c2a22(abc)当且仅当abc时，取“”号1第(2)问利用了第(1)问的结论ab2 a2b22，记住这一结论可帮我们找到解题思路，但此不等式要给予证明2一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此平均值不等式a2b22ab的形式可以是a22abb2，也可以是aba2b22，还可以是ab2a2b(a0)
9、，b2a2ba等解题时不仅要会利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用再练一题 3已知a，b(0，)，且ab1，求证：a1a2b1b2252.【证明】因为a，b(0，)，且ab1，所以ab2ab，当且仅当ab时，等号成立，所以ab12?ab14?1ab 4，精品教案可编辑a2b2(ab)22ab12ab 1 21412，1a21b22ab 8.a1a2b1b2a2b2 41a21b21248252，所以a1a2b1b2252.构建体系 1“a0 且b 0”是“ab2ab”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A2设x，y，z为正数，且
10、xyz6，则 lg x lg ylg z的取值范围是()A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，)D3lg 2，)【解析】6xyz33xyz，xyz 8，lg xlg ylg z lg(xyz)lg 83lg 2.精品教案可编辑【答案】B3设ab0，把ab2，ab，a，b按从大到小的顺序排列是_.【导学号：94910011】【解析】ab0，aab2abb.【答案】aab2abb4不等式baab2 成立的充要条件是_【解析】由baab2，知ba0，即ab 0.又由题意知，baab，ab.因此，baab 2 的充要条件是ab0 且ab.【答案】ab0 且ab5设a，b，c均为正数，且abc1，
11、求证：1a1b1c 9.【证明】1a1b1cabcaabcbabcc3baabcaaccbbc322 29.当且仅当abc13时取等号所以1a1b1c 9.我还有这些不足：精品教案可编辑(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(四)(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题1下列不等式恒成立的是()Ax1x2Bsin x1sin x2C.abba2Dex1ex2【解析】根据ab2ab知，条件需a0，b0.A，B，C 均不成立，D 中，ex0，成立【答案】D2a，b为非零实数，那么不等式恒成立的是()A|ab|ab|Bab2abC.ab22abDbaab2【解析】a，b为非零实数
12、时，A，B，D 均不一定成立而ab22abab220恒成立【答案】C精品教案可编辑3设a0，b0，且ab 4，则有()A.1ab12B1a1b1C.ab2D1a2b214【解析】4ab2ab，ab 2.1ab12，1a1b 21ab 1.【答案】B4设 0ab，ab1，则下列不等式正确的是()A22aba2b2a2b2B2abba2b2a2b2C2aba2b2ba2b2D2aba2b2a2b2b【解析】0ab，且ab1，0ab2ab，ba2b2，且a2b2b.故 2aba2b2bB.法二：A1ab，B1ab，故AB.【答案】AB8 已知不相等的三个正数a，b，c且abc1，则a3b3c3与 3
13、 的大小关系是_【解析】a，b，c是不相等的三个正数，且abc1，a3b3c333a3b3c33.【答案】a3b3c33三、解答题精品教案可编辑9设a0，b0，ab1，求证：1a1b1ab 8.【证明】a0，b0，ab1，2abab.因此ab12，1ab 4.则1a1b1ab(ab)1a1b1ab2ab21ab48.10 已知a，b，c大于 0，求证：(abc)1ab1bc1ac92.【证明】a，b，c大于 0，(ab)(bc)(ca)33abbcca 0，1ab1bc1ac331ab1bc1ac0，(abc)1ab1bc1ac92.当且仅当abc时，等号成立能力提升 1设a，b，c为正数，则
14、“abc 1”是“1a1b1cabc”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件精品教案可编辑D既不充分也不必要的条件【解析】当abc2 时，有1a1b1cabc，但abc 1，所以必要性不成立；当abc1 时，1a1b1cbcacababcbcacab，abcabbcac2abbcac，所以充分性成立，故“abc 1”是“1a1b1cabc”的充分不必要条件【答案】A2当a，b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是()A.ab2BabC.a2b22Da1b12-1【解析】由ab2ab及a2b22ab，且ab，a2b222ab2ab，A，B，C 中，ab最小而a1b 12-12aba
15、b.ab时，ab2ab0，(ab)ab2ab0，2ababab.综上可知，a1b 12-1最小，应选D.【答案】D精品教案可编辑3 若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 _(写出所有正确命题的编号)ab 1；ab2；a2b2 2；a3b3 3；1a1b 2.【解析】利用特殊值ab1 排除.由平均值不等式abab222221，正确由a2b2a2(2a)22a24a4 2(a1)2 1 2，正确由1a1b121a1b(ab)122baab12(22)2，正确【答案】4设正数a，b，c满足abc1，求13a213b213c2的最小值【解】因为a，b，c均为正数，且abc1，所以(3a2)(3b2)(3c2)9.于是13a213b 213c2(3a2)(3b2)(3c2)3313a 23b23c2333a23b23c29，当且仅当abc13时，等号成立，即13a213b213c2 1，故13a213b213c2的最小值为 1.