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1、1 辅 导 讲 义教师张丽媚科目数学上课日期2013.9 总共学时学生梁淇斌年级8 上课时间第几学时类别基础#提高培优科组长签字教务主管签字校区主任签字勾股定理知识要点一勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。在ABCRt中，,90BACC的对边分别为cba,，则有：222bac；222bca；222acb二勾股定理的巧妙运用1面积求值：直角三角形中，如果两直角边为a、b,斜边为 c，斜边上的高为h，那么它 们 存 在 这 样 的 关系：chab或cabh.2特殊直角三角形一：如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（反之如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直
2、角边所对的角等于30）2:3:1:cba3特殊三角形二：在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的2倍（等腰直角三角形斜边上的高正好是斜边的一半。）2:1:1:cba三、勾股定理的逆定理：1、如果三角形的三边长a、b、c 满足222abc(c 为最长边)那么这个三角形是直角三角形。2勾股数组简介:a b=3a 30c=2a a a c=2a 45a b c h 2 若 a、b、c 均为自然数，且无 1 以外的整数公因式当它们满足关系式222abc时，我们称（a、b、c）为基本勾股数组。这些勾股数是一定要记住的，以后做题将会好处多多。经典例题基础例题例 1、边的求值：（a2+b2=c2 ，其中 C为
3、斜边）（1）在 ABC中，C90，若 a 5，b12，则 c（2）在 ABC中，C 90，若 c25，a b34，则 a，b例 2、高的求值：（cabh，a 和 b 为直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高）（1）直角三角形的两直角边为12、16，则斜边上的高等于。（2）RtABC中，C=90，AC=6，则 AB=10，高 CD=_ _.例 3、一般三角形如何利用勾股定理求值：（1）已知等边 ABC 的边长为 10cm，则它的高为 _ _,面积为 _;（2）ABC 中，AB 15，AC 13，高 AD 12，则ABC的周长为（）A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33（3）已知
4、等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为。例 4、求下图中字母所代表的正方形的面积：3，4，55，12，13，7，24，258，15，179，40，4111，60，616，8，10 10，24，26 9，12，15 15，36，39 27，120，123 12，16，20 28，96，100 15，20，25 40，75，85 2 倍3 倍4 倍5 倍3 SA=SB=a=；b=；c=。a=；b=；c=。一、利用勾股定理判定三角形形状：1、直角三角形的判断：例 1、判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。（1）13、14、15(2)8，15，17（3）12，16，2
5、0（4）14、48、50（5）9，12，13（6）22ba、ab2、22ba例 2.（1）四组数:9，12，15；7，24，25；32，42，52；3a，4a，5a(a0)中，可以构成直角三角形的边长的有()A4 组 B3 组C2 组D1 组（2）三角形的三边长分别为 a2b2、2ab、a2b2（a、b 都是正整数），则这个三角形是（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定（3）已知：222526169120,abbca b c是三角形的三边长，试判断三角形的形状。2、勾股定理自身的验证A B 400 225 a b c C A 81 C 225 B a c b 4 ba
6、baEDCBA例 3.将两个全等的直角三角形拼成直角梯形，直角三角形的两条直角边长分别是,a b，斜边长为 c，利用此图验证勾股定理。二、勾股定理综合解题：例 4.如图所示，在ABC 中，D 是 BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求ABC 的面积。例 5.（方程的思想）在钝角三角形 ABC中，CB=9cm，AB=17cm，AC=10cm，AD BC的延长线于 D，求 AD的长。例 6.如图所示，已知正方形ABCD 中，E 是 BC 边的中点，F 在 CD 上，且 DF=3CF，求证：AEEF。B例 7.如图所示，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使点
7、 C与点 B重合，求折痕 DE的长。例 8一根 12米的电线杆 AB，用铁丝 AC、AD 固定，现已知用去铁丝A B C D B D A C ABCDA C D E B A D F C E 5 AC=15 米，AD=13 米，又测得地面上 B、C 两点之间距离是9 米，B、D 两点之间距离是 5 米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？例9如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西 40，问：甲巡逻艇的航向是怎样的
8、？提高例题例 1如图，在 ABC中，ACB=90，BC=5cm，AC=12cm，CD AB，D为垂足，求 CD的长。例 2直角三角形斜边长为2，两直角边和为 6，求此直角三角形面积。例 3.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与 AE重合，则 CD等于（）A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 例 4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20 分米、3 分米、2分米，A 和 B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是多少?例 5.
9、如图所示，MN 表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁ENABCB 6 路的所在直线MN的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短。请你设计一种方案确定 P点的位置，并求这个最短距离。例 6.一只蜘蛛在一个长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的顶点C1处，如图，已知长方体长6cm，宽 5cm，高 3cm。蜘蛛因于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从A 点爬到 C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，才能所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？例 7.如图
10、,一圆柱高 8cm,底面半径 2cm,一只蚂蚁从点 A爬到点 B处吃食,要爬行的最短路程(取 3)例 8.两人从同一地点出发，分别沿北偏东30方向和南偏东60方向行走，已知一人骑自行车，其速度为 7 千米/小时，另一些人骑电动车，其速度为 24 千米/小时，试问经过两个小时后他们相距多少千米？例9.已知：如图，ABC 中，AB AC，AD 是BC 边上的高。求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)。D1B1C1C B D A A B 7【随堂练习一】1下列各组数中不能构成直角三角形的一组是（）A、5 12 13 B、7 24 25 C、8 15 17 D、4 6 9 2适合下列条件的 ABC
11、中，直角三角形的个数为（）（1）31a，41b，51c（2）ba，45A（3）58,32BA（4）7a，24b，25c（5）25a，2b6，3c（6）22nm、mn2、22nm,A、2 个B、3 个C、4 个D、5 个3如图所示，在 ABC 中，AB=3，ADBC 于 D，且 BD=2，DC=1，则2AC的值为（）A3 B4 C5 D6 4下列语句：（1）若ABC 中，222abc，则ABC 不是直角三角形；（2）若ABC 为直角三角形，C=90，则222abc；（3）若ABC 中，222cab，则 C=90；（4）勾股定理的逆定理是“若两边的平方和等于斜边的平方，则此三角形为直角三角形”其中
12、正确的个数是（）。A1 个B2 个C3 个D4 个5.等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是 6cm,则底边的长为cm.6.在ABC 中,C=Rt，若 a=5,c=13.则 b=.若 c=61,b=11.则 a=.若 ac=35 且 c=20 则 b=.7已知 ABC 中，AB=AC，AB=6cm，BC=4cm。求（1）SABC（2）腰 ACA B C D A 8 上的高 BE。8如图，四边形 ABCD，已知 A=900，AB=3，BC=12，CD=13，DA=4。求四边形的面积。9.已知等腰 ABC 的周长为 26,AB=AC,且 AB=BC+4,求:底边 BC上的高。ABC 的面积和一腰
13、上的高。10如图，为了求出湖两岸的A、B 两点之间的距离，一个观测者在点 C设桩，使三角形 ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到 AC长 160米，BC长 128米.问从点 A穿过湖到点 B有多远？11如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4 米，BC=3 米，CD=13 米，DA=12 米，又已知 B=90。课堂练习二1如图所示，在 ABC中，AB=3，AD BC于 D，且 BD=2，DC=1，则2AC的值为（）C A B D DCBADCAB9 2.等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是 6c
14、m,则底边的长为 cm.3.在ABC中,C=Rt，若 a=5,c=13.则 b=.若 c=61,b=11.则 a=.若 ac=35 且 c=20 则 b=.4直角三角形中，斜边长为5cm，周长为 12cm，则它的面积为（）。A122cmB62cm C182cm D 242cm5甲、乙两个牧民各骑一匹马，同时从草原的某处出发，甲以每小时20km的速度，向北偏东 62的方向跑去；乙以每小时15km的速度，向南偏东 28的方向跑去，2h 后两人之间距离是（）A20km B30km C40km D50km 6边长为 4 的等边三角形的面积等于。7等边三角形一边上的高为6，则它的边长等于。8直角三角形的
15、两直角边为6、8，则斜边上的高等于。9已知甲、乙俩人从同一地点出发,甲往东走了 12km，乙往南走了 16km，这时俩人相距。10.直角三角形的周长为24，斜边长为 10，则其面积为 _。11.如图，长方体的长为15cm，宽为 10cm，高为 20cm，B点离 C点 5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A爬到点 C，需要爬行的最短距离是多少？12、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D 的面积之和为_cm2。B C A 10 13.已知：如图，四边形 ABCD 中，AD BC，AD DC，AB AC，B=45，CD=
16、2cm。求BC 的长。14、如图，一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8 米，梯子的顶端下滑2 米后，底端也水平滑动2 米吗？试说明理由。课后作业1小强在操场上向东走80m 后，又走了 60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走了 80m 后，又走 60m 的方向是。2若ABC 的三边 a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC 是（）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。3已知0)25z10z(13y12x2,则以 x,y,z为三边的三角形是 _三角形。4一根旗杆在离地面12m的 B处折断，旗杆顶部A恰好落在
17、离旗杆底部5m处，则旗杆折断之前的高度为 _。5.如图，在 ABC 中，CE是 AB边上的中线，CD AB于 D,且 AB=5,BC=4,AC=6,则 DE的长为 _.6 三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是三角形。7已知等腰 ABC，底边 BC=20，D 为 AB 上一点，且 CD=16，BD=12，求ABC 的周长。A B C D E A B C D AEDBC11 8若ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1：2，试判断 ABC 的形状。9已知：如图，四边形 ABCD，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且 AB BC。求：四边形 ABCD 的面积。10在 ABC 中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm。求证：ABC 是等腰三角形。11.如图折叠长方形的一边BC，使点 B 落在 AD 边的 F 处，已知：AB=3，BC=5,求折痕 EF 的长12.若ABC 的三边 a,b,c 满足条件c26b24a10338cba222，判断ABC 的形状。13.如图，在 ABC 中，AB=15，AC=13，BC=14，求 SABC。ABCDA E B C D F A B C