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1、第 6 讲 最短路径问题知识定位讲解用时：5 分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。知识梳理讲解用时：20分钟两点之间线段最短 C D A B E A地到 B地有 3 条路线 A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？选 A-B，因为两点之间，直线最短垂线段最短如图，点P是直线 L 外一点，点P 与直线上各点的所有连线中，哪条最短？PC最短，因为垂线段最短
2、两点在一条直线异侧 A P L B 如图，已知 A点、B点在直线 L 异侧，在 L 上选一点 P，使 PA+PB 最短.连接 AB交直线 L 于点 P，则 PA+PB最短.依据：两点之间：线段最短两点在一条直线同侧相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？作法：1、作 B点关于直线 L的对称点 B；2、连接 AB 交直线 L 于点 C；3、点 C即为所求.证明：在直线 L 上任意选一点 C（点 C不与 C重合），连接
3、AC、BC、BC.在AB C中，AC+BCAB AC+BC AC+BC 所以 AC+BC 最短.课堂精讲精练【例题 1】已知点 A，点 B都在直线 l 的上方，试用尺规作图在直线l 上求作一点 P，使得PA+PB 的值最小，则下列作法正确的是（）ABCD【答案】D【解析】根据作图的方法即可得到结论解：作 B关于直线 l 的对称点，连接这个对称点和A交直线 l 于 P，则 PA+PB 的值最小，D的作法正确，故选：D讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了轴对称最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份
4、：2018【练习 1.1】如图，直线 L 是一条河，P，Q是两个村庄欲在L 上的某处修建一个水泵站，向 P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A BCD【答案】D【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离解：作点 P关于直线 L 的对称点 P，连接 QP 交直线 L 于 M 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短故选：D讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了最短路径的数学问题 这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别教学建议：学会处理两点在直线同
5、侧的最短距离问题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 1.2】如图，A、B在直线 l 的两侧，在直线l 上求一点 P，使|PAPB|的值最大【答案】见解析【解析】作点 A关于直线 l 的对称点 A，则 PA=PA，因而|PAPB|=|PAPB|，则当 A，B、P在一条直线上时，|PAPB|的值最大解：作点 A关于直线 l 的对称点 A，连 AB并延长交直线 l 于 P讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查的是作图轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：20
6、18【例题 2】如图，A、B在直线 l 的同侧，在直线l 上求一点 P，使 PAB的周长最小【答案】【解析】由于 PAB的周长=PA+AB+PB，而 AB是定值，故只需在直线l 上找一点 P，使 PA+PB 最小 如果设 A关于 l 的对称点为 A，使 PA+PB 最小就是使 PA+PB最小解：作法：作 A 关于 l 的对称点 A，连接 AB交 l 于点 P则点 P就是所要求作的点；理由：在 l 上取不同于 P的点 P，连接 AP、BP A和 A关于直线 l 对称，PA=PA，PA=P A，而 AP+BP AP+BP PA+BP AP+BP AB+AP+BPAB+AP+BP 即ABP周长小于
7、ABP 周长讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了轴对称最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 2.1】（）如图，点 A、B在直线 l 两侧，请你在直线l 上画出一点 P，使得 PA+PB的值最小；（）如图，点 E、F在直线 l 同侧，请你在直线l 上画出一点 P，使得 PE+PF的值最小；（）如图，点 M、N在直线 l 同侧，请你在直线 l 上画出两点 O、P，使得 OP=1cm，且 MO+OP+PN的
8、值最小（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】（I）图，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；（II）图 2，作 E关于直线的对称点，连接FE即可；（III）图，画出图形，作N的对称点 N，作 NQ 直线 l，NQ=1cm，连接 MQ得出点 O即可解：（I）如图，连接A、B 两点与直线的交点即为所求作的点P，这样 PA+PB最小，理由是：两点之间，线段最短；（II）如图，先作点 E关于直线 l 的对称点 E，再连接 EF 交 l 于点 P，则PE+PF=E P+PF=E F，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点；（III）如图，作 N关于直线 l 的
9、对称点 N，过 N作线段 N Q 直线 l，且线段 N Q=1cm，连接 MQ，交直线 l 于 O，在直线 l 上截取 OP=1cm，如图，连接 NP，则此时 MO+OP+PN的值最小讲解用时：5 分钟解题思路：本题考查了轴对称最短路线问题的应用，题目比较典型，第三小题有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】如图，等腰三角形ABC的底边 BC长为 4，面积是 16，腰 AC的垂直平分线 EF分别交 AC，AB边于 E，F 点若点 D为 BC边的中点，点 M为线段
10、 EF上一动点，求CDM 周长的最小值.【答案】10【解析】连接 AD，由于 ABC是等腰三角形，点 D是 BC边的中点，故 AD BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段 AC的垂直平分线可知，点 C关于直线 EF的对称点为点 A，故 AD的长为 CM+MD 的最小值，由此即可得出结论解：连接 AD，ABC 是等腰三角形，点D是 BC边的中点，AD BC，SABC=BC?AD=4AD=16，解得 AD=8，EF是线段 AC的垂直平分线，点 C关于直线 EF的对称点为点 A，AD的长为 CM+MD的最小值，CDM 的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+4=8+2
11、=10 讲解用时：5 分钟解题思路：本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 3.1】如图，已知点 D、点 E 分别是等边三角形ABC中 BC、AB边的中点，AD=5，点 F是 AD边上的动点，求 BF+EF的最小值.【答案】5【解析】过 C作 CE AB于 E，交 AD于 F，连接 BF，则 BF+EF最小，证 ADBCEB 得 CE=AD=5，即 BF+EF=5 解：过 C作 CE AB于 E，交 AD于 F，连接
12、BF，则 BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于 C和 B关于 AD对称，则 BF+EF=CF，等边 ABC 中，BD=CD，AD BC，AD是 BC的垂直平分线（三线合一），C和 B关于直线 AD对称，CF=BF，即 BF+EF=CF+EF=CE，AD BC，CE AB，ADB=CEB=90，在ADB 和CEB中，ADB CEB（AAS），CE=AD=5，即 BF+EF=5 故答案为：5讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用教学建议：想办法利用对称
13、的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 4】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到 B的距离最短？【答案】见解析【解析】虽然 A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸关键在于使 AP+BD 最短，但 AP与 BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与 D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的解：如图，作 BB垂直于河岸 GH，使 BB 等于河宽，连接 AB，与河岸 EF相交于 P，作 PD GH，则 PD BB 且
14、PD=BB，于是 PDBB 为平行四边形，故PB=BD 根据“两点之间线段最短”，AB 最短，即 AP+BD 最短故桥建立在 PD处符合题意讲解用时：4 分钟解题思路：此题考查了轴对称最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法教学建议：将 3 条线段进行转化成一条线段.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】作图题（1）如图 1，一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应
15、当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线（2）如图 2，在一条河的两岸有A，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示试问：桥 CD建在何处，才 能 使A到B的 路 程 最 短 呢？请 在 图 中 画 出 桥CD 的 位置【答案】见解析【解析】（1）把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题（2）先确定 AA=CD，且 AA CD，连接 BA，与河岸的交点就是点C，过点C作 CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置解：（1）根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从草地到河边最
16、近的线路，如图 1 所示：（2）先确定 AA=CD，且 AA CD，连接 BA，与河岸的交点就是点C，过点C作 CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置如图2，讲解用时：4 分钟解题思路：此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用，解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图教学建议：掌握求最短路径的几种基本题型和方法.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 5】如图，MN是等边三角形 ABC的一条对称轴，D为 AC的中点，点 P是直线 MN上的一个动点，当 PC+PD 最小时，PCD 的度数是多少？【答案】30【解析】由于点 C关于直线 MN
17、的对称点是 B，所以当 B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD 的值最小解：连接 PB 由题意知，B、C关于直线 MN 对称，PB=PC，PC+PD=PB+PD，当 B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD 取最小值，连接 BD交 MN 于 P，ABC 是等边三角形，D为 AC的中点，BD AC，PA=PC，PCD=PAD=30 讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 5.1】已知，如图
18、 ABC为等边三角形，高 AH=10cm，P为 AH上一动点，D为 AB的中点，则 PD+PB 的最小值为多少？【答案】10cm【解析】连接 PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP，PD+PB 要取最小值，应使 D、P、C三点一线解：连接 PC，ABC 为等边三角形，D为 AB的中点，PD+PB 的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查有关轴对称最短路线的问题，注意灵活应用等边三角形的性质教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 6】如图，AOB 的内部有
19、一点 P，在射线 OA，OB边上各取一点 P1，P2，使得 PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹【答案】见解析【解析】作点 P关于直线 OA的对称点 E，点 P 关于直线 OB的对称点 F，连接EF交 OA于 P1，交 OB于 P2，连接 PP1，PP2，PP1P2即为所求解：如图，作点 P关于直线 OA的对称点 E，点 P关于直线 OB的对称点 F，连接EF交 OA于 P1，交 OB于 P2，连接 PP1，PP2，PP1P2即为所求理由：P1P=P1E，P2P=P2F，PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，根据两点之
20、间线段最短，可知此时PP1P2的周长最短讲解用时：5 分钟解题思路：本题考查轴对称最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 6.1】知识拓展：如图2，点 P 在AOB内部，试在 OA、OB上分别找出两点 E、F，使PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）【答案】见解析【解析】作 P关于 OA、OB的对称点 C、D，连接 CD角 OA、OB于 E、F此时PEF周长有最小值；作图如下：讲解用时：3 分钟解题思路：题主要考查
21、了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 7】如图，AOB=30，点 P是AOB内一点，PO=8，在 AOB 的两边分别有点 R、Q（均不同于 O），求 PQR 周长的最小值【答案】【解析】根据轴对称图形的性质，作出 P关于 OA、OB的对称点 M、N，连接 MN，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可解：分别作 P关于 OA、OB的对称点 M、N连接 MN交 OA、OB交
22、于 Q、R，则 PQR 符合条件连接 OM、ON，由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=8，MON=MOP+NOP=2 AOB=2 30=60，则MON 为等边三角形，MN=8，QP=QM，RN=RP，PQR 周长=MN=8，讲解用时：5 分钟解题思路：本题考查了轴对称最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用教学建议：对称之后，角度也是相同的，做定点关于动点所在直线的对称点.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 7.1】如图，AOB=30，AOB 内有一定点 P，且 OP=10，OA上有一点 Q，OB上有
23、一定点 R若 PQR 周长最小，求它的最小值【答案】10【解析】先画出图形，作PM OA与 OA相交于 M，并将 PM延长一倍到 E，即ME=PM作 PN OB与 OB相交于 N，并将 PN延长一倍到 F，即 NF=PN 连接 EF与OA相交于 Q，与 OB相交于 R，再连接 PQ，PR，则PQR 即为周长最短的三角形 再根据线段垂直平分线的性质得出PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出EOF 的形状即可求解解：设 POA=，则 POB=30，作 PM OA与 OA相交于 M，并将 PM延长一倍到 E，即 ME=PM作 PN OB与 OB相交于 N，并将 PN延长一倍到 F，即 NF=
24、PN 连接 EF与 OA相交于 Q，与 OB相交于 R，再连接 PQ，PR，则PQR 即为周长最短的三角形OA是 PE的垂直平分线，EQ=QP；同理，OB是 PF的垂直平分线，FR=RP，PQR 的周长=EF OE=OF=OP=10，且 EOF=EOP+POF=2+2（30）=60，EOF 是正三角形，EF=10，即在保持 OP=10的条件下 PQR 的最小周长为 10故答案为：10讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答教学建议：做定点关于动点所在直线的对称点，利用轴对称的性质进行解题
25、.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】如图，在铁路 l 的同侧有 A、B 两个工厂，要在铁路边建一个货场C，货场应建在什么地方，才能使A、B两厂到货场 C的距离之和最短？【答案】见解析【解析】作点 B关于直线 l 的对称点 B，连接 AB，交 l 于点 C，则点 C即为所求点解：如图所示：讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 2】用三角板和直尺作图（不写作法，保留痕迹）如图，点 A，B在直线 l 的同侧（1）试在直线 l 上取一点 M，使 MA+MB 的值最小（2）试在直线 l 上取一点 N，使 NB NA最大【答
26、案】见解析【解析】（1）作点 A关于直线 l 的对称点，再连接解答即可；（2）连接 BA，延长 BA交直线 l 于 N，当 N即为所求；解：（1）如图所示：（2）如图所示；理由：NB NA AB，当 A、B、N共线时，BN NA的值最大讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 3】如图，已知点 D、点 E 分别是等边三角形ABC中 BC、AB边的中点，AD=6，点 F是 AD边上的动点，求 BF+EF的最小值.【答案】6【解析】过 C作 CE AB于 E，交 AD于 F，连接 BF，则 BF+EF最小，证 ADBCEB 得 CE=AD=6，即 BF+EF=6
27、 解：过 C作 CE AB于 E，交 AD于 F，连接 BF，则 BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于 C和 B关于 AD对称，则 BF+EF=CF，等边 ABC 中，BD=CD，AD BC，AD是 BC的垂直平分线（三线合一），C和 B关于直线 AD对称，CF=BF，即 BF+EF=CF+EF=CE，AD BC，CE AB，ADB=CEB=90，在ADB 和CEB中，ADB CEB（AAS），CE=AD=6，即 BF+EF=6.讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 4】如图，点 P是AOB 内部的一点，AOB=30，OP=
28、8cm，M，N是 OA，OB上的两个动点，则求 MPN 周长的最小值？【答案】8【解析】设点 P关于 OA的对称点为 C，关于 OB的对称点为 D，当点 M、N在 CD上时，PMN 的周长最小解：分别作点 P关于 OA、OB的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB于点 M、N，连接 OP、OC、OD、PM、PN 点 P关于 OA的对称点为 C，关于 OB的对称点为 D，PM=CM，OP=OC，COA=POA；点 P关于 OB的对称点为 D，PN=DN，OP=OD，DOB=POB，OC=OD=OP=8cm，COD=COA+POA+POB+DOB=2 POA+2 POB=2 AOB=60，COD 是等边三角形，CD=OC=OD=8cmPMN 的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DNCD=8cm 故答案为：8讲解用时：3 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018