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1、-1-南昌二中2020 届高三校测(三)数学(理)试卷命题：高三数学备课组第 I 卷一、选择题:本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4log1Mxx，2MN，则集合N可以是（）A.1,2B.2,3C.2,4D.2,3,42.若复数z的其共轭复数z满足iiz311，则复数z为（）A.i 42B.i 42C.i 44D.i 443.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一
2、点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A14B12C58D434设52a，5log 2b，8log 5c,则（）AabcBbcaCcbaDcab5.已知点(,)mn mn在0022xyxyxy表示的平面区域内，则22mn的最小值为（）A.25B.105C.49D.236.函数2cosln1xfxxx的部分图象大致为（）A.B.C.D.7.明代数学家程大位（15331606 年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出算法统宗，可谓集成计算的鼻祖如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题执行该程序框图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（）A.74B.5627C.2D.
3、164818.ACABBEADACEDCBDACABABC，则4的中点，若是2中，,()A.0B.2C.4D.89.已知数列na为等差数列,nS是其前n项和,255,35aS.数列11nnaa的前n项和为nT,若对一切*nN都有nTm12恒成立,则m能取到的最小整数为()-2-A.1B.0C.1D.210.在棱长为2的正方体1111ABCDA B C D中，E是正方形11BB C C的中心，M为11C D的中点，过1A M的平面与直线DE垂直,则平面截正方体1111ABCDA B C D所得的截面面积为（）A.24B.26C.52D.10211.已知双曲线2222:1(0)xyMbaab的焦距
4、为2c，若M的渐近线上存在点T,使得经过点T所作的圆222()xcya的两条切线互相垂直，则双曲线M的离心率的取值范围是()A30,B（3,1 C32,D（2,1 12.已知函数exxxxxf00212,ln,，方程axf恰有两个不同的实数根)(,2121xxxx,则221xx的最小值与最大值的和()A.e2B.2C.36eD.34e第 II 卷二、填空题:本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13.某产品的宣传费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表所示：宣传费用x（万元）4 2 3 5 销售额y（万元）45 24 a50 根据上表可得回归方程?9
5、.62.9yx则宣传费用为3 万元时，对应的销售额a为14 定义在 R上的函数)(xf满足对任意的yx,都有)()()(yfxfyxf.设2xxxfxgsin)()(，若202010)(g，则)(10g15.已知22024ax dx，若2020(1)ax220200122020()bb xb xbxxR，则20201222020222bbb的值为_.16.高三年级毕业成人礼活动中，要求A,B,C三个班级各出三人，组成33小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为.三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每道试题考生都必须作
6、答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60 分.17.（本小题满分12 分）如图，在ABC中，点 P在边 BC 上，.4,2,3PCACAPC.(1)求APB的大小；(2)若235的面积为ABC，求PABsin的值.18.（本小题满分12 分）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABCE 是 PD 的中点(1)证明：直线CE平面 P AB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线BM 与底面 ABCD 所成角为o45，求二面角MABD的余弦值-3-19.（本小题满分12 分）已知点F1，F2为椭圆2
7、222:1(0)xyCabab的左、右焦点，F1，F2都在圆 E：22302yxy上，椭圆C 和圆 E 在第一象限相交于点P，且线段PF1为圆 E的直径（1）求椭圆 C 的方程；（2）椭圆 C 的左、右顶点分别为M，N，过定点 Q 的直线 l:xty2（t+1）与椭圆 C分别交于点A，B，且点 A，B位于第一象限，点A 在线段 BQ上，直线 OQ 与 NA 交于点 C记直线 MB，MC 的斜率分别为k1，k2求证：k1k2为定值20.（本小题满分12 分）2019 年由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10 月 21 日至 22 日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3 公斤，第三
8、代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值(70,100)k k为衡量标准，其质量指标的等级划分如表：质量指标值k10090k9085k8580k8075k7570k产品等级废品合格良好优秀良好为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000 件产品，测量了每件产品的指标值，得到产品质量指标值k的频率分布直方图（如图）（1）若从质量指标值不小于85 的产品中利用分层抽样的方法抽取 7 件产品，并采集相关数据进行分析，然后从这7
9、 件产品中任取 3 件产品，求质量指标值90k，95)的件数X的分布列及数学期望；（2）若将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3 件产品，记“抽出的产品中至少有1 件为合格或合格以上等级”为事件A，求事件A发生的概率；（3）若每件产品的质量指标值k与利润y（单位：元）的关系如表所示(14):t质量指标值k10090k9085k8580k8075k7570k利润y（元)tet2t4t3t请问生产该产品能否盈利？若不能，试说明理由；若能，试确定t为何值时，利润达到最大（参考数值：20.7ln，31.1ln，51.6)ln21.（本小题满分12 分）已知函数()lnf xkxx，()kR(1)
10、讨论函数()f x的单调性(2)若()f x有两个零点1212,()xxxx证明：121ekxex(二)选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的直角坐标方程为22113xy，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标系方程为3R.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）判断：直线l与曲线C是否相交？若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.-4-选修 4-5：不等式选讲23.（本小题满分10 分）已知函数21xaxxf)(1)当1a时，求不等式
11、4)(xf的解集；(2)当1a时，若)(xf的图像与x轴围城的三角形面积等于6，求a的值.南昌二中2020 届高三校测(三)数学(理)试卷参考答案C A D A A A C D B B C C 27a-1820-1 1140小题详解：10.【解析】由如图，在正方体1111ABCDA B C D中，记AB的中点为N，连接1,MC CN NA，则平面1A MCN即为平面证明如下：由正方体的性质可知，1A MNC，则1A，,M CN N四点共面，记1CC的中点为F，连接DF，易证DFMC连接EF，则EFMC，所以MC平面DEF，则DEMC同理可证，DENC，NCMCC，则DE平面1A MCN，所以平
12、面1A MCN即平面，且四边形1A MCN即平面截正方体1111ABCDA B C D所得的截面因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN是菱形，其对角线12 3AC，2 2MN，所以其面积12 22 32 62S.11.【解析】ba，所以离心率bTFO-5-212cbeaa，圆222()xcya是以(,0)F c为圆心，半径ra的圆，要使得经过点T所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TFa，而焦点(,0)F c到双曲线渐近线的距离为b，所以2TFab，即2ba，所以213cbeaa，所以双曲线M的离心率的取值范围是(2,312.【解析】函数exxxxxf00212,ln,的图像为：则,ln,
13、2213211且02xxeexx所以eexxxxx,ln32222211令xxxxgeexxxxg111则13/,ln,所以33421eegxggxgmaxmin,，选 C.15.【解析】由积分的几何意义知221(2)24a，在2020220200122020(12)xbb xb xbx中，01b，令12x，则2020120220200222bbbb，202012220201222bbb16.【解析】首先，第一行队伍的排法有33A种；第二行队伍的排法有2 种；第三行队伍的排法有1 种；然后，第一行的每个位置的人员安排有111333C C C种；第二行的每个位置的人员安排有111222C C C
14、种；第三行的每个 位 置 的 人 员 安 排 有1 1 1种.所 以 来 自 同 一 班 级 的 同 学 既 不 在 同 一 行，也 不 在 同 一 列 的 概 率311111133332229921140AC C CC C CPA.17.【解析】（1）32（6 分）（2）38573（12 分）18.【解析】（1）取PA的中点F，连结EF，BF因为E是PD的中点，所以EFAD，12EFAD，由90BADABC得BCAD，又12BCAD，所以 EFBC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF又BF平面PAB，CE平面PAB，故 CE 平面PAB（5 分）（2）由已知得BAAD，以 A为坐标原点，A
15、B的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,1,3P，(1,0,3)PC，(1,0,0)AB，设,01Mx y zx，则1,(,1,3)BMxy zPMx yz，因为 BM 与底面 ABCD所成的角为45，而0,0,1n是底面ABCD的法向量，-6-所以cos,sin 45BM n，222221zxyz，即22210 xyz 又 M 在棱 PC上，设PMPC，则,1,33xyz 由解得212162xyz(舍去)，212162xyz所以26(1,1,)22M，从而26(1,1,)22AM（9 分）设000,xyzm
16、是平面 ABM 的法向量，则0,0,AMABmm即0000(22)260,0,xyzx所以可取(0,6,2)m于是10cos,5m nm nm n，因此二面角MABD的余弦值为105.（12 分）19.【解析】（1）在圆 E中，令 y0 可得 x3，所以由题意可得c3，由圆的方程可得圆的半径为47，所以由题意可得|PF1|27，连接 PF2，因为 F2在圆上，所以PF2F1F2，又有|F1F2|2c23，则|PF2|,211244922121FFPF由题意的定义可得：2a|PF1|+|PF2|，可得 a2，b2a2c21，所以椭圆的方程为：42x+y2 1；（4 分）（2）Q（2，2），设 A
17、（x，y），B（x，y），直线 l 的方程：xty2（t+1），联立椭圆的方程整理得：（4+t2）y24t（t+1）y+4t（t+2）0 038,0t，y+y2414ttt)(，yy2424ttt)(，（6 分）设点 C（c，c），由 A，C，N 三点共线点：22xycc，所以 c22yxy，（8 分）则 k1k222222222222222/ytytyyyxxyyyxyyxyxyccxy422/yyyyttyy441424242424222ttttttttttt)()()()(41，所以k1k2为定值41（12分）20.【解析】（1）由频率分布直方图得指标值不小于85 的产品中，85k，90
18、)的频率为 0.0850.4，90k，95)的频率为 0.0450.2，95k，100 的频率为 0.0250.1，利用分层抽样抽取的7 件产品中，85k，90)的有 4 件，-7-90k，95)的有 2 件，95k，100)的有 1 件，从这 7 件产品中，任取3 件，质量指标值90k，95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，35372(0)7CP XC，1225374(1)7C CP XC，2125371(2)7C CP XC，（4 分）X的分布列为：X0 1 2 P2747172416()0127777E X（5 分）（2）设事件A的合格率为P（A），则根据概率分布直方图得：一件产品为
19、合格或合格以上等级的概率为1(0.040.02)50.7p，事件A发生的概率P（A）973030703033.C（7 分）（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值k 与利润y（元)的关系与表所示(14)t，质量指标值k10090k9085k8580k8075k7570k利润ytet2t4t3tP0.3 0.4 0.15 0.1 0.05 每件产品的利润：0.30.40.30.40.150.31.25ttyettttet，(14)t，则0.31.25tye，令0.31.250tye，解得256tln，当25(1,)6tln时，0y，函数0.31.25tye单调递增，当25(6tln，4)时，
20、0y，函数0.31.25tyet，单调递减，（10 分）当256tln时，y取最大值2562532550.31.25(2523)0.561064lnelnlnlnln，生产该产品能够实现盈利，当251.46tln时，每件产品的利润取得最大值为0.5 元（12 分）21.【解析】（）由题设可得定义域0,x，11kxfxkxx01当0k，10fxkx恒成立，fx在0,上单调递减；02当0k，11kxkfxkxx，10,xk，0fx，故fx在10,k单调递减；1,xk，0fx，故fx在1,k单调递增.（5 分）（）方法一：()f x有两个零点1212,()x xxx，则ln xkx有两解，令ln x
21、g xx，21 ln xgxx，0,e,0,e,0 xgxxgx，-8-则max1g xg ee，120,xexe，（7 分）由题意可得，11ln0.(1)kxx22ln0.(2)kxx1221211lnln1ln1lnekxexxekxekxx又120,xexe,所以1ln1,x故121ekxex转化为：只需证明2ln11xek,设22ln1F xxek（9 分）由(2)式可得22ln xkx，22222lnln1ln1xF xxekxex；2222222221ln(1 ln)1xxexFxexxx，22221 ln,x,xxexe，2210exx，,xe恒成立，20,xee20Fx，故F
22、x在,e上单调递增，211lnF xF ex，即2212lnln1lnxxexx，整理可得121ekxex.（12 分）方法二：由（1）知，()fx有两个零点12,xx，则0k且1()1ln0fkk，得10ke，则1ek，12xx21xek，又11ekeek，（7 分）且()()0ekekekf ekeekk ee，又1()0fx，即1()()ekf efx，又()fx在1(0,)k上单调递减，（9 分）111(0,),(0,)ekexkk10ekxe，又2xe，121ekekxeexe，所以原命题成立.（12 分）22.【解析】（1）将22(1)(1)3xy改为222210 xyxy，化为极坐标方程为22cos2sin10；（4 分）（2）将3代入22cos2sin10得，2(31)10，（6 分）以为21(31)482 30，所以方程2(31)10有 2 个不同的根1，2，所以直线l与曲线C相交，公共弦的长为1282 3.（10 分）23.【解析】(1)当1a时，21xxxf)(212123112xxxxx,（2 分）令4)(xf，解得2325-x，即解集为：23，25-x（5 分）-9-(2)当1a，可得1121121212-21）1（-xaxaxaxaxaxaxf),()(,)(),()(，（7 分）)(xf的图像与x轴围城的三角形面积等于6，2a（10 分）