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1、辽宁省葫芦岛市普通高中2020届高三上学期学业质量监测（期末）试题数学（理）一、选择题(本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.A=x|x-10,B=x|x2x6 0，则 A B=A.-2,1)B.2,3 C.(1,3 D.1,3)2.已知i是虚数单位，复数52-i=Ai-2 Bi+2 C-2 D2 3.在等比数列 an 中，a4,a6是方程x2+5x+1=0的两根，则a5=A.1 B.1 C.52 D.524.已知a,b均为单位向量，则|a2b|=|2a+b|是a b的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充
2、分也不必要条件5.2018年辽宁省正式实施高考改革。新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正
3、确的A样本中的女生数量多于男生数量B样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C样本中的男生偏爱物理D样本中的女生偏爱历史6.函数f(x)=ex+exx2的图像大致为7.在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，B=30，a+c=2b，ABC的面积为32，则b=A.13B.132C.232D.238.函数f(x)=ln(x2ax3)在(1,+)单调递增，求a的取值范围A.a2 B.a2 C.a2 D.a 2 9.若1eab1,0c1,则下列不等式不成立的是A.logaclogbcB.alogbcblogac C.abcbacD.ac3时，不等式f(-k-sin-1)f(k2s
4、in2)对任意的k1,0 恒成立,则的可能取值是A.3B.43C.2D.56第卷（选择题，共90分）二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，第 15 题为两空题，第一空2 分，第二空3 分。）13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_14.周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方”的钱币及用统计概率得到圆周率 的近似值的方法 具体做法如下：现有“外圆内方”的钱币(如图)，测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为 2 cm,“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边长为1 cm，在圆内随机取点，
5、若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p，则圆周率 的近似值为 .15.(1+ax2)(x3)5的展开式中x7系数为 2，则a的值为 _,x5的系数为 _.16.已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左，右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，PF1F2的内切圆与x轴切于点（2,0），且直线y=2x经过线段PF1的中点且垂直于线段PF1，则双曲线C的方程为 _.三、解答题（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.(本小题满分12 分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD平面ABCD，E为PD的中
6、点，/AD BC,CDAD，24BCCDAD，.（1）求证：/CE平面PAB；（2）求二面角P AC E的余弦值.18.(本小题满分12 分)已知数列 an 其前n项和Sn满足:Sn=2(n+1)an+1(nN*),a1=0.（1）求数列 an 的通项公式;（2）当 n=1时，c1=1,当n 2且nN*时，设 cn=2n+1nan,求cn 的前 n项和 Tn.19.(本小题满分 12分)冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄弱、补短板、堵漏洞，进一步推动五
7、大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100 人，并将这100 人按年龄分组：第1 组15,25)，第 2 组25,35)，第 3 组35,45)，第 4 组45,55)，第 5 组55,65)，得到的频率分布直方图如图所示（1）求这 100 人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第4,5 组中用
8、分层抽样的方法抽取8 人，再从这8 人中随机抽取3 人进行问卷调查，求第4 组恰好抽到2 人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3 人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望20.(本小题满分12 分)椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的上顶点为A，点B(1，-32)在椭圆E上，F1,F2分别为E的左右焦点，F1AF2=120.（1）求椭圆E的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作x2+y2=b2的切线交椭圆于C，D两点,且 C,F2,D 不共线,问：CF2D的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.21.(本小题满
9、分12 分)已知函数f(x)=xlnx+kx，kR.（1）求y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;（2）若不等式f(x)x2+x恒成立，求k的取值范围;（3）求证：当*nN 时，不等式2212ln(41)21ninnin成立.请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时就写清题号。22(本小题满分10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为002222xxtyyt(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=25sin.（1）求圆C的直角坐标方程及直线l的斜率；（2）直线l与圆C
10、交于M,N两点，MN中点为Q，求Q点轨迹的直角坐标方程.23(本小题满分10 分)选修 4-5：不等式选讲设a,b是正实数,求证:（1）若a+2b=1，求a2+b2的最小值;（2）若a2+4b2=1，求3a+2b的最大值.一、选择题CBBCD AACBD AD 二、填空题13.16 14.14 1p 15.2；181（本小题第一空2 分，第二空3 分）16.x24y216=1 三、解答题17（本小题满分12 分）解：（1）如图，取PA中点 F，连结 EF,BF.因为 E为 PD中点，AD=4，所以 EFAD，EF=12AD=2.又因为 BC AD，BC=2，所以 EF BC，EF=BC，所以四
11、边形EFBC为平行四边形.2 所以 CE BF.又因为 CE 平面 PAB,BF 平面 PAB，所以 CE平面 PAB 4 （2）取 AD中点 O，连结 OP，OB.因为PAD为等边三角形，所以PO OD.又因为平面PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD=AD，所以 PO 平面 ABCD.因为 OD BC，OD=BC=2，所以四边形BCDO 为平行四边形.因为 CD AD，所以 OB OD.6 如图建立空间直角坐标系O xyz，则 A(0,2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,3),P(0,0,23)所以AC=(2,4,0),AE=(0,3,3).AP=(0,
12、2,23)设平面 ACE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1AE=0n1AC=0即2x1+4y1=03y1+3z1=0令 x1=2，则n1=(2,1,3)，8 显然，平面ACP的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，则n2AP=0n2AC=0即2y2+23z2=02x2+4y2=0令 z2=1，则n2=(23,3,1)，10 所以 cos=n1?n2|n1|n2|=6322 4=368.由题知，二面角P AC E为锐角，所以二面角P AC E的余弦值为368.12 18.（本小题满分12 分）解：(1)当 n=1 时，a1=S1=2 2a2=0,得 a2=12 当 n 2 时，a
13、n=SnSn 1=nan(n+1)an+1,即(n+1)an+1=(n1)an,因为 a20，所以an+1an=n 1n+14ana2=a3a2a4a3anan 1=1324n 2n=2(n1)n,an=2(n1)n综上所述，an=0 n=12(n1)n n26 (2)当 n=1 时,T1=1 8 当 n 2 时,cn=(n1)2n Tn=1+22+2 23+(n1)2n 2Tn=2+23+(n 2)2n+(n1)2n+1 Tn=3+23+2n(n1)2n+110=3+23(12n-2)1 2(n1)2n+1=5(n2)2n+1 Tn=5+(n2)2n+1综上所述，Tn=5+(n2)2n+1
14、12 19.（本小题满分12 分）解：(1)由 10(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1，得 a=0.035，1 平均数为20 0.1+300.15+400.35+500.3+600.1=41.5岁；2 设中位数为x，则 10 0.010+100.015+(x35)0.035=0.5，x 42.1 岁 3(2)第 4,5 组抽取的人数分别为6 人，2 人设第 4组中恰好抽取2 人的事件为A，则 P(A)=C26 C12 C38=1528 6(3)从所有参与调查的人中任意选出1 人，关注交通道路安全的概率为P=45，8 X的所有可能取值为0,1,2,3，P(x=0)=C03
15、(145)3=1125，P(x=1)=C13(45)1(145)2=12125,P(x=2)=C23(45)2(145)1=48125,P(x=3)=C33(45)3=64125，10 所以 X的分布列为：XB(3,45)，E(X)=345=12512 20.（本小题满分12 分）解：(1)由F1AF2=120，得ba=12,B点(1，32)代入椭圆方程得14b234b2 1,由得a2=4,b21，所以椭圆E的方程为x24y21.4（2）由题意,设 CD的方程为y=kx+m(k0),CD与圆 x2+y2=1 相切,|m|1+k2=1,即 m2=1+k2,由y=kx+mx24y21得(1+4k2
16、)x2+8kmx+4m24=0,0 设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=8km 1+4k2,x1x2=4m24 1+4k26|CD|=1+k2|x1x2|=1+k2(x1+x2)24x1x2=1+k2(8km 1+4k2)244m24 1+4k2=43k1+k2 1+4k2=43km 1+4k28 X 0 1 2 3 P 1125121254812564125又|CF2|2=(x13)2+y2=(x13)2+1x12414(3x14)2 ,|CF2|=12(43x1)10 同理|DF2|=12(43x2),|CF2|+|DF2|=4-32(x1+x2)=4+43km 1+4
17、k2|CD|+|CF2|+|DF2|=4 即CF2D的周长为定值.12 21.（本小题满分12 分）解：(1)函数 y=f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1+lnx+k,f(1)=1+k,f(1)=k,函数 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y k=(k+1)(x1),即 y=(k+1)x1 3(2)设 g(x)=lnxx+k 1,g(x)=1x1,x(0,1),g(x)0,g(x)单调递增，x(1,+),g(x)0，lnxx+k 1 0,g(x)max=g(1)=k2 0 即可，故k 26 (3)由（2）可知：当k=2 时，lnxx 1 恒成立，令x=14i2-1,由于iN*
18、，14i2-10.故，ln14i2-11-14i2-1变形得：ln(4i2-1)1-1(2i+1)(2i-1)，即：ln(4i2-1)1-12(12i-1-12i+1)i=1,2,3 ,n时，有 ln31-12(1-13)ln51-12(1-13)ln(4n2-1)1-12(12n-1-12n+1)两边同时相加得：21ln(41)niin-12(1-12n+1)=2n22n+12n2-n2n+1所以不等式在nN*上恒成立.22.（本小题满分10 分）解：(1)由=25sin 得 x2+y2-25y=0,即圆 C的直角坐标方程为x2+(y-5)2=5.2 由直线 l 的参数方程可得y-y0 x-
19、x0=1,故直线 l 的斜率为1.4(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),中点Q(x,y),将M,N代入圆方程得：x12+y12-25y1=0,x22+y22-25y2=0,得:(x1x2)(x1+x2)+(y1y2)(y1+y225)=0 6 化简得 2x+(2y-25)y2y1x2x1=0 因为直线l2的斜率为1，所以上式可化为x+y-5=08 代入圆的方程x2+y2-25y=0，解得 x=102所以Q点的轨迹方程为x+y-5=0，x102,102 10 23.（本小题满分10 分）解：（1）法一：由a=1 2b0b0得，0b12，于是 a2+b2=(12b)2+b2=5b24b+1,当 b=25时，a2+b2取得最小值为155 法二：(a2+b2)(12+22)(a+2b)2=1,当且仅当a=b2时等号成立，此时 a2+b2的最小值为155（2）法一：(3a+2b)2a2+(2b)2(3)2+12=4,当且仅当a3=2b时等号成立，因为 a，b 是正实数，所以3a+2b的最大值为210 法二：设a=cos,b=12sin,02,3a+2b=3cos+sin=2sin(+3),3+356,当+3=2时 sin(+3)max=1,3a+2b的最大值为2 10