优秀的近世代数期末考试总复习.pdf

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1、近世代数模拟试题一近世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设 ABR（实数集)，如果 A 到 B 的映射：xx2，xR，则是从 A到 B 的（）A、满射而非单射C、一一映射B、单射而非满射D、既非单射也非满射2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素,那么，A 与 B 的积集合 AB 中含有（）个元素.A、2B、5C、7D、103、在群 G 中方程 ax=b，ya=b，a,bG 都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B

2、、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数()A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合；，则有-.2、若有元素 eR 使每 aA，都有 ae=ea=a，则 e 称为环 R 的-.3、环的乘法一般不交换。如果环 R 的乘法交换,则称 R 是一个-。4、偶数环是-的子环.5、一个集合A 的若干个-变换的乘法作

3、成的群叫做 A 的一个-。6、每一个有限群都有与一个置换群-。17、全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是-，元 a 的逆元是-.8、设和是环的理想且,如果是的最大理想，那么-。9、一个除环的中心是一个-。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分)1、设置换和分别为：，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合，定义中运算“”为 ab=（a+b)(modm），则（,）是不是群，为什么?四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分，共 2

4、5 分）1、设是群。证明：如果对任意的,有，则是交换群。2、假定 R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含 R 的域，那么 F 包含 R的一个商域。近世代数模拟试题二近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G 的子集（)是子群。A、B、C、D、2、下面的代数系统（G,*)中，（）不是群A、G 为整数集合，*为加法B、G 为偶数集合,*为加法C、G 为有理数集合，*为加法D、G 为有理数集合，为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的?（）A、a*b=a-bB、a*b=maxa，b C、a*b=a+2bD、ab=a-b|4、设、是三

5、个置换，其中=（12)（23）（13），=（24）（14)，=(1324),则=（）A、B、C、D、5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）.A、不可能是群B、不一定是群2C、一定是群D、是交换群二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分.1、凯莱定理说:任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群中的元素的阶等于 50，则的阶等于-.4、a 的阶若是一个有限整数 n，那么 G 与-同构。5、A=1.2。3B=2。5.6 那么 AB=-。6、若映射既是单射又是满射,则称为-。7、叫做域的一个

6、代数元，如果存在的-使得。8、是代数系统的元素,对任何均成立,则称为-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭;结合律成立、-.10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群,则 P 是-.三、解答题（本大题共 3 小题,每小题 10 分，共 30 分）1、设集合A=1，2，3G 是 A 上的置换群,H 是 G 的子群,H=I,(1 2）,写出H 的所有陪集。2、设 E 是所有偶数做成的集合,“”是数的乘法，则“”是E 中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493,b=391,求(a,b）,a,b 和 p,q。四、证明题（本大

7、题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若是群,则对于任意的 a、bG，必有惟一的 xG 使得 axb。2、设 m 是一个正整数，利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系:ab 当且仅当mab。近世代数模拟试题三近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）。3A、2 阶B、3 阶C、4 阶D、6 阶2、设 G 是群，G 有（）个元素,则不能肯定 G 是交换群。A、4 个B、5 个C、6 个D、7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（)。A、偶数B、奇数C、4 的倍数D、2 的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,

8、)B、（Z,）C、(2,3,4，6,12，（整除关系）D、(P（A)，）5、设 S3(1)，（12),(13），（23），(123），（132)，那么，在 S3 中可以与(123）交换的所有元素有（)A、(1），(123),(132)B、12），（13)，(23）C、（1）,（123）D、S3 中的所有元素二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分.1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则-。3、区间1，2上的运算的单位元是-。4、可换群 G 中a=6,x|=8，则ax=-。5、环

9、 Z8的零因子有-。6、一个子群 H 的右、左陪集的个数-.7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的-.9、设群中元素的阶为，如果,那么与存在整除关系为-.三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?42、S1，S2是 A 的子环，则 S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。1求和；2确定置换和的奇偶性.四、证明题（本大题共 2 小题,第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有

10、两个理想就是零理想和单位理想。2、M 为含幺半群，证明b=a1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题四近世代数模拟试题四一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1515 分分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分在题后的括号内。错选、多选或未选均无分.1.设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么,A 与 B 的积集合AB 中含有（)个元素.A。2C.7B

11、。5D.10：xx2，xR，则是从 A 到 B 的（）A.满射而非单射C。一一映射B.单射而非满射D。既非单射也非满射2。设 ABR（实数集),如果 A 到 B 的映射3.设 S3（1)，(12），（13)，（23），(123），(132），那么，在 S3中可以与(123)交换的所有元素有（)A.（1）,（123),(132)C.(1),(123）B.(12)，（13），(23)D.S3中的所有元素4.设 Z15是以 15 为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有(）个.5A。2C。6B。4D。85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）A.整系数多项式全体 Zx关于多项式的加法与乘法B。有理

12、数域 Q 上的 n 级矩阵全体 Mn（Q)关于矩阵的加法与乘法C。整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“”：m，nZ，mn0D。整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“：m，nZ，mn1二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 1010 小题，每空小题，每空 3 3 分，共分，共 3030 分分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设“”是集合A 的一个关系，如果“”满足_,则称“”是A的一个等价关系。7。设(G,)是一个群,那么，对于 a,bG，则 abG 也是 G 中的可逆元,而且（ab)1_。8。设（23)(35）,（

13、1243）(235）S5，那么_(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9.如果 G 是一个含有 15 个元素的群,那么，根据 Lagrange 定理知，对于 aG，则元素 a 的阶只可能是_。10.在 3 次对称群 S3中，设H（1),（123),(132)是 S3的一个不变子群，则商群 G/H 中的元素(12)H_。11。设 Z60，1，2，3，4，5 是以 6 为模的剩余类环,则 Z6中的所有零因子是_.12。设 R 是一个无零因子的环，其特征 n 是一个有限数，那么，n 是_。13。设 Zx是整系数多项式环，（x）是由多项式 x 生成的主理想，则（x）_。14。设高斯整数环 Zia

14、bia，bZ，其中i21,则 Zi中的所有6单位是_。15。有理数域 Q 上的代数元+在 Q 上的极小多项式是_。三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 1010 分，共分，共 3030 分）分）16.设 Z 为整数加群,Zm为以 m 为模的剩余类加群,是 Z 到 Zm的一个映射，其中：kk,kZ，验证：是 Z 到 Zm的一个同态满射，并求的同态核 Ker。17。求以 6 为模的剩余类环 Z60，1，2，3，4，5 的所有子环，并说明这些子环都是 Z6的理想。18。试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题

15、（本大题共四、证明题（本大题共3 3 小题，第小题，第 1919、2020 小题各小题各 1010 分分,第第 2121 小题小题 5 5 分，共分，共2525 分分)19。设 Ga，b，c，G 的代数运算“”由右边的运算表给出，证明:(G，）作成一个群。abcaabcbbcaccab20。设已知 R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I 是 R 的一个子环，但不是理想。21。设(R，)是一个环，如果(R，)是一个循环群，证明：R 是一个交换环。近近 世世 代代 数数 试试 卷卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“”,错的打“”；每小题 1 分,共 10 分）1、设与都是非空集

16、合，那么。（）3、只要是到的一一映射,那么必有唯一的逆映射。（）72、设、都是非空集合,则到的每个映射都叫作二元运算。（）4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。()5、如果群的子群是循环群,那么也是循环群.（)6、群的子群是不变子群的充要条件为。（）7、如果环的阶,那么的单位元。()8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。（）9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。（）10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想.(）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择

17、者，该题无分。每小题1 分，共10 分）1、设和都是非空集合,而是到的一个映射，那么（）集合中两两都不相同；的次序不能调换；中不同的元对应的象必不相同；一个元的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（）在整数集上，；在有理数集上，;在正实数集上，；在集合上，。3、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者)，那么在中（）不适合交换律；不适合结合律；存在单位元;每个元都有逆元。4、设为群，其中是实数集,而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（)0 和;1 和 0;和；和。5、设和都是群中的元素且,那么（）；;。6、设是群的子群，且有左陪集分类。如果 6，那么的阶（

18、）6；24;10；12。87、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）的同态核是的不变子群;的不变子群的逆象是的不变子群;的子群的象是的子群；的不变子群的象是的不变子群。8、设是环同态满射，,那么下列错误的结论为（)若是零元，则是零元;若是单位元，则是单位元；若不是零因子，则不是零因子；若是不交换的,则不交换。9、下列正确的命题是（）欧氏环一定是唯一分解环；主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环；唯一分解环必是欧氏环。10、若是域的有限扩域,是的有限扩域，那么(）;；;。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空 1 分,共 10 分）1、设集合；

19、，则有.2、如果是与间的一一映射,是的一个元,则.3、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么。4、设群中元素的阶为，如果,那么与存在整除关系为。5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。6、给出一个 5-循环置换，那么。7、若 是 有 单 位 元 的 环 的 由 生 成 的 主 理 想,那 么 中 的 元 素 可 以 表 达为。8、若是一个有单位元 的交换环,是的一个理想,那么是一个域当且仅当是。9、整环的一个元叫做一个素元，如果。10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预9备的横线上面。指出错误 1 分，更正错误

20、2 分。每小题 3 分，共 15 分)1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里,元的次序可以掉换。2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么.4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有.5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得.五、计算题(共 15 分,每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换组成的群，试写出的乘法表,并且求出的单位元及和的所有子群.2、设是模 6 的剩余类环，且。如果、，计算、和以及它们的次数.六、证明

21、题（每小题 10 分,共 40 分）1、设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶.2、设为实数集，,令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。3、设和为环的两个理想，试证和都是的理想。4、设是有限可交换的环且含有单位元 1，证明:中的非零元不是可逆元就是零因子。测验题一、填空题(42 分)1、设集合与分别有代数运算与,且，则当时，也满足结合律；当时，也满足交换律.2、对群中任意元素=；3、设群 G 中元素 a 的阶是 n，n|m 则=；104、设是任意一个循环群，若,则与同构；若,则与同构；5、设 G=为 6 阶循环群，则 G 的生成元有;子群有；6、n 次对称群的阶是；置换的阶是；7、设,则；8、设，则；9、设 H 是有限群 G 的一个子群，则|G=；10、任意一个群都同一个同构。二、证明题(24）1、设 G 为 n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程。2、叙述群 G 的一个非空子集 H 作成子群的充要条件,并证明群 G 的任意两个子群 H 与 K 的交仍然是 G 的一个子群。3、证明:如果群 G 中每个元素都满足方程，则 G 必为交换群。三、解答题（34）1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集 Z 对运算作成群。2、写出三次对称群的所有子群并写出关于子群 H=（1)，（23)的所有左陪集和所有右陪集。11