优秀的近世代数期末考试总复习(共16页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设ABR(实数集),如果A到B的映射:xx2,xR,则是从A到B的( )A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合AB中含有( )个元素。A、2 B、5 C、7 D、103、在群G中方程ax=b,ya=b, a,bG都有解,这个解是( )乘法来说A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的

2、(两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数( )A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的( )A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合;,则有-。2、若有元素eR使每aA,都有ae=ea=a,则e称为环R的-。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换,则称R是一个-。4、偶数环是-的子环。5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个-。6、每一个有限群都有与一个置换群-。7、全体不等于0的有理数

3、对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是-,元a的逆元是-。8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么-。9、一个除环的中心是一个-。三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换和分别为:,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)是不是群,为什么?四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、设是群。证明:如果对任意的,有,则是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环,F是一个包含R的域,那么F包含R的一个商域

4、。近世代数模拟试题二1、 单项选择题2、 1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集( )是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法 C、G为有理数集合,*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?( )A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),=(1324),则=( )A、 B、 C、 D、5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。A

5、、不可能是群B、不一定是群C、一定是群 D、 是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说:任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于-。4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=-。6、若映射既是单射又是满射,则称为-。7、叫做域的一个代数元,如果存在的-使得。8、是代数系统的元素,对任何均成立,则称为-。9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭;结合律成立、-。1

6、0、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P是-。三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群,H是G的子群,H=I,(1 2),写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合,“”是数的乘法,则“”是E中的运算,(E,)是一个代数系统,问(E,)是不是群,为什么?3、a=493, b=391, 求(a,b), a,b 和p, q。四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、若是群,则对于任意的a、bG,必有惟一的xG使得a*xb。2、设m是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系:ab当且仅当mab。近世代数模拟试题

7、三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。A、2阶B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶2、设G是群,G有( )个元素,则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N,) B、(Z,) C、(2,3,4,6,12,|(整除关系) D、 (P(A),)5、设S3(1),(12),(13),(23),(123),(132),那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有( )A、(1),(123),(132) B、12),(13),(2

8、3) C、(1),(123) D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的,每个元素的逆元素是-的。2、如果是与间的一一映射,是的一个元,则-。3、区间1,2上的运算的单位元是-。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。5、环Z8的零因子有 -。6、一个子群H的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-。9、设群中元素的阶为,如果,那么与存在整除关系为-。三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

9、1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?2、S1,S2是A的子环,则S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗?3、设有置换,。1求和;2确定置换和的奇偶性。四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群,证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那

10、么,A与B的积集合AB中含有( )个元素。A.2 B.5 C.7 D.102.设ABR(实数集),如果A到B的映射:xx2,xR,则是从A到B的( )A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3(1),(12),(13),(23),(123),(132),那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有( )A.(1),(123),(132)B.(12),(13),(23)C.(1),(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有( )个。A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是( )A.整系数多项式

11、全体Zx关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”:m, nZ, mn0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”:m, nZ, mn1二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设“”是集合A的一个关系,如果“”满足_,则称“”是A的一个等价关系。7.设(G,)是一个群,那么,对于a,bG,则abG也是G中的可逆元,而且(ab)1_。8.设(23)(35),(1243)(235)S5,那么_(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9.如果G是一个含

12、有15个元素的群,那么,根据Lagrange定理知,对于aG,则元素a的阶只可能是_。10.在3次对称群S3中,设H(1),(123),(132)是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H_。11.设Z60,1,2,3,4,5是以6为模的剩余类环,则Z6中的所有零因子是_。12.设R是一个无零因子的环,其特征n是一个有限数,那么,n是_。13.设Zx是整系数多项式环,(x)是由多项式x生成的主理想,则(x)_。14.设高斯整数环Ziabi|a,bZ,其中i21,则Zi中的所有单位是_。15.有理数域Q上的代数元+在Q上的极小多项式是_。三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30

13、分)16.设Z为整数加群,Zm为以m为模的剩余类加群,是Z到Zm的一个映射,其中:kk,kZ,验证:是Z到Zm的一个同态满射,并求的同态核Ker。17.求以6为模的剩余类环Z60,1,2,3,4,5的所有子环,并说明这些子环都是Z6的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系,并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题(本大题共3小题,第19、20小题各10分,第21小题5分,共25分)19.设Ga,b,c,G的代数运算“”由右边的运算表给出,证明:(G,)作成一个群。abcaabcbbcaccab20.设 已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明:I是R的一个子环,但

14、不是理想。21.设(R,)是一个环,如果(R,)是一个循环群,证明:R是一个交换环。近 世 代 数 试 卷一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“”,错的打“”;每小题1分,共10分)1、设与都是非空集合,那么。 ( )2、设、都是非空集合,则到的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要是到的一一映射,那么必有唯一的逆映射。 ( )4、如果循环群中生成元的阶是无限的,则与整数加群同构。 ( )5、如果群的子群是循环群,那么也是循环群。 ( )6、群的子群是不变子群的充要条件为。 ( )7、如果环的阶,那么的单位元。 ( )8、若环满足左消去律,那么必定没有右零因子。 ( )9、中满足条

15、件的多项式叫做元在域上的极小多项式。 ( )10、若域的特征是无限大,那么含有一个与同构的子域,这里是整数环,是由素数生成的主理想。 ( )二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分)1、设和都是非空集合,而是到的一个映射,那么( )集合中两两都不相同;的次序不能调换;中不同的元对应的象必不相同;一个元的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算( )在整数集上,; 在有理数集上,;在正实数集上,;在集合上,。3、设是整数集上的二元运算,其中(即取与中的最大者),那么在中( )不适合交换律;不

16、适合结合律;存在单位元;每个元都有逆元。4、设为群,其中是实数集,而乘法,这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是( )0和; 1和0; 和; 和。5、设和都是群中的元素且,那么( ); ; ; 。6、设是群的子群,且有左陪集分类。如果6,那么的阶( )6; 24; 10; 12。7、设是一个群同态映射,那么下列错误的命题是( )的同态核是的不变子群; 的不变子群的逆象是的不变子群;的子群的象是的子群; 的不变子群的象是的不变子群。8、设是环同态满射,那么下列错误的结论为( )若是零元,则是零元; 若是单位元,则是单位元;若不是零因子,则不是零因子;若是不交换的,则不交换。9、下列

17、正确的命题是( )欧氏环一定是唯一分解环; 主理想环必是欧氏环;唯一分解环必是主理想环; 唯一分解环必是欧氏环。10、若是域的有限扩域,是的有限扩域,那么( ); ; 。三、填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。每空1分,共10分)1、设集合;,则有 。2、如果是与间的一一映射,是的一个元,则 。3、设集合有一个分类,其中与是的两个类,如果,那么 。4、设群中元素的阶为,如果,那么与存在整除关系为 。5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。6、给出一个5-循环置换,那么 。7、若是有单位元的环的由生成的主理想,那么中的元素可以表达为 。8、若是一个有单位元的

18、交换环,是的一个理想,那么是一个域当且仅当是 。9、整环的一个元叫做一个素元,如果 。10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域,如果 。四、改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分,更正错误2分。每小题3分,共15分)1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律,那么在里,元的次序可以掉换。 2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。 3、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么。 4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子,若和都是和的最大公因子,那么必有。 5、叫做域的一个代

19、数元,如果存在的都不等于零的元使得。 五、计算题(共15分,每小题分标在小题后)1、给出下列四个四元置换组成的群,试写出的乘法表,并且求出的单位元及和的所有子群。2、设是模6的剩余类环,且。如果、,计算、和以及它们的次数。六、证明题(每小题10分,共40分)1、设和是一个群的两个元且,又设的阶,的阶,并且,证明:的阶。2、设为实数集,令,将的所有这样的变换构成一个集合,试证明:对于变换普通的乘法,作成一个群。3、设和为环的两个理想,试证和都是的理想。4、设是有限可交换的环且含有单位元1,证明:中的非零元不是可逆元就是零因子。 测验题一、 填空题(42分)1、设集合与分别有代数运算与,且,则当

20、时,也满足结合律;当 时,也满足交换律。2、对群中任意元素= ;3、设群G中元素a的阶是n,n|m则= ;4、设是任意一个循环群,若,则与 同构;若,则与 同构;5、设G=为6阶循环群,则G的生成元有 ;子群有 ;6、n次对称群的阶是 ;置换的阶是 ;7、设,则 ;8、设,则 ;9、设H是有限群G的一个子群,则|G|= ;10、任意一个群都同一个 同构。二、证明题(24)1、 设G为n阶有限群,证明:G中每个元素都满足方程。2、 叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件,并证明群G的任意两个子群H与K的交仍然是G的一个子群。3、 证明:如果群G中每个元素都满足方程,则G必为交换群。三、解答题(34)1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算作成群。2、写出三次对称群的所有子群并写出关于子群H=(1),(23)的所有左陪集和所有右陪集。专心-专注-专业

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