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1、第二第二节节 向量向量组组的的线线性相关与性相关与线线性无关性无关 由若干维数相同的列向量（或行向量）构成的定定义义1向量集合称为向量向量组组.由m个n维向量构成的向量组可记为一：向量一：向量组组的的线线性性组组合、及合、及线线性表示性表示探探讨讨向量和向量向量和向量组组的关系的关系例中标准基以及自身1.定定义义2设是n维向量组,是一组数,则称是向量组的一个线线性性组组合合若向量 满足则称向量 是的一个线性组合或向量 能由线线性表示性表示2.例例1设(1)由所以是,的一个线性组合,或能由,线性表示.(2)易知所以 是,的一个线性组合,或 能由,线性表示.注注:由上不难看到向量组的线性组合形式不
2、止一个有无穷多个),向量组可以线性表示无数多个向量.那么向量组是否能表示所有的同维向量(事实上3.一个向量组到底能表示那些向量,或给出一个向量其是否能由向量组表示具有重要意义.例例 对线性方程组若记向量则方程有解当且仅线性表示当向量 能由向量组4.二二线线性相关与性相关与线线性无关的概念性无关的概念为了研究一个向量组是否能表示给出的向量，要对向量组自身性质进行研究，引入向量组线性相关与我们有必线性无关的概念。探探讨讨向量向量组组自身的性自身的性质质（一）（一）线线性相关与性相关与线线性无关的概念性无关的概念定定义义3对向量组若存在不全不全为为零零的数使得则称向量组M是线线性相关的性相关的，否则
3、称M是线线性无关的性无关的5.注：注：(1)所不同的是：零向量能被向量组用系数向量组线性相关当且仅当(2)对任意向量组肯定存在一组数使得例向量组M是线性相关时不只有不只有使成立向量组M是线性无关时只有只有使成立不全为零线性组合表示。(3)若则线性无关当且仅当6.(4)线性相关当且仅当齐次方程组有非零解；有非零解；线性无关当且仅当齐次方程组仅仅有零解；有零解；则有判断向量组是否线性相关一个方法是：构造齐次方程，向量是系数矩阵的列列（不论向量是列向量然后判定齐次方程是否只有零解。还是行向量)7.例例2讨论向量组的线性相关性 解：设有数使即方程因为由克莱姆法则知道方程有非零解。故向量组线性相关8.例
4、例2*讨论向量组的线性相关性 解：设有数即方程使因为由克莱姆法则知道方程有仅有零解。故向量组线性无关思考思考:证明一个向量的向量组线性相关的充要条件是这个向量是零向量.9.（二）（二）线线性相关或性相关或线线性无关的例子性无关的例子例例3设有数证证明明：使即整理得故有方程组的系数行列式故只能为零,所以10.例例4 证明向量组线性无关 其中证证明明：使设有数即故向量组线性无关11.注注若向量组中的向量作成矩阵的行或列所得矩阵A为阶梯形矩阵,均不为零,则称向量组为阶阶梯形向量梯形向量组组例4结论为“阶阶梯形向量梯形向量组线组线性无关性无关特别地中标准基线性无关因为即是阶梯形向量组例例5 且判断它们
5、相关性12.三三 向量向量组线组线性相关性的一些命性相关性的一些命题题定理定理1 向量组M线线性相关性相关M中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示注注:(1)多余两向量的向量组线性相关能保证向量组有一个能被其余其余向量线性表示.但不能保证每一个向量能被其余向量线性表示.参见例6,则13.例例6 判断向量组M是否线性相关注注(2)能被向量组线性表示,则新新向量组线性相关.反之是否成立?14.定理定理2且表示式是唯一的.而向量组线性相关,则向量 一定能被向量组M 线性表示，注注:定理1、2充分揭示了向量组能否表示给定向量与向量组线性相关性的关系.15.定理定理3 设两向量组M、N满足MN，那
6、么(1)若向量组M线性相关，则向量组N也线性相关(2)若向量组N线性无关，则向量组M也线性无关 可简述为：子向量组相关,则向量组也相关；向量组无关，则子向量组也无关。推推论论1 含有零向量的向量组是线性相关的 定理定理4 两个向量构成的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应坐标成比例16.四四 阶阶梯形矩梯形矩阵阵在在线线性相关性性相关性问题问题中的中的应应用用(一一)向量向量组组与矩与矩阵阵的关系的关系1 向量向量组组矩矩阵阵m维列向量组可构造两个矩阵向量作成矩阵的列向量作成矩阵的行(1)(2)显然17.例例向量组可构造矩阵18.2 矩矩阵阵向量向量组组矩阵(1)矩阵对应两个向量列列
7、组(A)矩矩阵阵的列的列构成一个列向量组称为矩矩阵阵列向量列向量组组,它是一个m维向量组,有个n向量(B)矩阵的行行构成一个列列向量组称为矩矩阵阵行向量行向量组组,它是一个n 维向量组,有m个向量.19.例例矩阵矩阵的列向量组为矩阵的行向量组为20.2 矩矩阵阵向量向量组组矩阵(2)矩阵对应两个向量行行组(A)矩矩阵阵的列的列构成一个行向量组它是一个m维行向量组,有个n向量(B)矩阵的行行构成一个行行向量组它是一个n 维行向量组,有个m向量21.例例矩阵(A)矩矩阵阵的列的列构成一个行向量组(B)矩阵的行行构成一个行行向量组22.(二二)矩矩阵阵初等初等变换变换与向量与向量组组的的线线性性组组
8、合合把矩阵的每一行(列)看作一个向量，用向量观点重新认识矩阵初等行(列)变换.矩阵初等行(列)变换就是:对对矩矩阵阵的行的行(列列)向量向量组组不断地不断地进进行行对调对调、倍乘和倍加、倍乘和倍加也就是不断地把矩也就是不断地把矩阵阵的行的行(列列)向量的向量的线线性性组组合加到合加到另一个行另一个行(列列)向量上去的向量上去的过过程程 的的过过程，程，23.例例24.通过初等行变换把矩阵化阶梯形矩阵后,(1)若矩阵A的阶梯形矩阵中有零行零行，则意味着A的零行所对应向量是其余行向量的线性组合这时矩阵A的行向量行向量组线组线性相关性相关。(2)反之，若矩阵A的行向量行向量组线组线性相关性相关，则A
9、的某个行向量是其余行向量的线性组合。对矩阵A施行相应的初等行变换，从而A的的阶阶梯形矩梯形矩阵阵中必有零行中必有零行基于矩阵初等变换与向量组合的关系有:该行就会变成零行。25.定理定理5:设向量组用M中向量作为行向量构造矩阵经过初等行行变换把A化为阶梯形矩阵B,则向量组M线性相关充分必要条件是阶梯形矩阵B有零行行.注注:向量组M线性无关充分必要条件是阶梯形矩阵B无零行26.例例8 讨论向量组的线性相关性注注:注意比较用定义和用阶梯形矩阵判别两种方法区别.推推论论2 n个n维向量的向量组线性相关的充分必要条件是此向量组构成矩阵的行列式为零推推论论3n阶方阵A可逆当且仅当A的n个n维列(行)向量线性无关注注:(2)此方法向量可以作成行也可以作成列(1)该方法的适用范围27.例例由知道线性相关由知道线性相关向量作成列的向量作成行的28.