《吃透中考数学29个几何模型26 其他型解直角三角形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吃透中考数学29个几何模型26 其他型解直角三角形.docx（51页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学专题26 其他型解直角三角形一、单选题 1如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）（参考数据：，）A76.9mB82.1mC94.8mD112.6m【答案】B【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB【详解】解：如图，由题意得，ADF28，CD45，BC6
2、0，在RtDEC中，山坡CD的坡度i1：0.75，设DE4x，则EC3x，由勾股定理可得CD5x，又CD45，即5x45，x9，EC3x27，DE4x36FB，BEBC+EC60+2787DF，在RtADF中，AFtan28DF0.538746.11，ABAF+FB46.11+3682.1，故选：B【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提二、解答题2如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡AB的坡度，米，广告牌CD的高度为3米求点B距水平面AE的
3、高度BH；求楼房DE的高度测角器的高度忽略不计，结果保留根号【答案】（1）3米；（2）（）米【分析】（1）在RtABH中，通过解直角三角形求出BH；（2）过B作BGDE于G，设AE=x米，用x表示出BG、CG、CE，然后表示出DE的长，在ADE根据三角函数列出方程，解方程后即可求出楼房DE的高度【详解】解：（1）RtABH中，i=tanBAH= ，BAH=30，BH= AB=3米；（2）如图，过B作BGDE于G，设AE=x米，BHHE，GEHE，BGDE，四边形BHEG是矩形由（1）得：BH=3，AH= ，BG=AH+AE=（+x）米，EG= BH=3，RtBGC中，CBG=45，CG=BG=
4、+x，CE=CG+EG=3+x，DE=CE-CD=3+x-3=+x，RtADE中，DAE=60， ，DE =+ = .答：楼房DE的高度为（）米【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键3如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上已知军港C在军港B的北偏西60方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号）（1）求出此时点A到军港C的距离；（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶
5、去，当到达A时，测得军港B在A的南偏东75的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离【答案】（1）海里；（2）海里【分析】（1）延长BA，过点C作CDBA延长线于点D，在中利用利用三角函数即可求解；（2）过点A作ANBC于点N，可证AB平分CBA，根据角平分线的性质、三角函数即可求解【详解】解：（1）延长BA，过点C作CDBA延长线于点D由题意可得：CBD，BC=120则DC=60故解得：AC=答：此时点A到军港C的距离为海里；（2）过点A作ANBC于点N可得1=，BAA=则2=，即AB平分CBA设AA=x，则AE=故CA=2AN=答：此时“昆明舰”的航行距离为海里【点睛】此题主要考查方向角的应用，
6、灵活运用三角函数是解题关键4如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上（1）求的距离；（2）小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向求点与点之间的距离（上述两小题的结果都保留根号）【答案】（1）海里；（2）海里【分析】（1）过点作于点,利用余弦定义解出AP、AD的长，再由直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半解得PD的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可； （2）过点作于点，根据直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半
7、，解得BF的长，在中，由勾股定理解得BC的长即可【详解】解：（1）如图，过点作于点，在中，在中，海里（2）如图，过点作于点，在中，在中，在中，海里点与点之间的距离为海里【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键5如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的稳定性和其他保密性原则，使得边沿AD的长度是边沿BC长度的三倍，且它们所在的直线互相平行，检测员王刚参与了前期零件的基础设计，知道ABC45，边沿CD所在直线与边沿BC所在
8、直线相交后所成的锐角为30（即P在BC的延长线上，DCP30），经测量BC的长度为7米，求零件的边沿CD的长（结果保留根号）【答案】【分析】过点B作BMAD，交DA的延长线于点M，过点D作DNBC，交BC的延长线于点N，从而构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，用DP表示CN，MA，再根据矩形的性质，求出DP的长，进而求出CD的长【详解】如图，过点B作BMAD，交DA的延长线于点M，过点D作DNBC，交BC的延长线于点N，BCAD，ABCMAB45，又MBA90ABC45，MAMBDN，又AD3BC，BC7，AD21，在RtCDN中，DCN30，CD2DN，CNDN，由MDBN得，DN+2
9、17+DN，解得，DN7+7，CD2DN（米）【点睛】考查了解直角三角形的应用，解题关键掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，利用方程求解是解决问题的基本方法6有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长，拉杆的伸长距离最大时可达，点、在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒，与水平地面切于点，在拉杆伸长至最大的情况下，当点距离水平地面时，点到水平面的距离为，设AFMN（1）求的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在端拉旅行箱时，为，求此时拉杆的伸长距离（精确到，参考数据：，）【答案】（1）圆形滚轮的半径的长是；（2）拉杆BC的伸长距
10、离为【分析】（1）作BHAF于点K，交MN于点H，则ABKACG，设圆形滚轮的半径AD的长是xcm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x的值；（2）求得CG的长，然后在直角ACG中，求得AC即可解决问题；【详解】（1）作于点，交于点.则，.设圆形滚轮的半径的长是.则，即，解得：.则圆形滚轮的半径的长是；（2）在中，.则AC=80(cm).【点睛】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，关键把实际问题转化为数学问题加以计算7如图，一艘渔船正以海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏
11、东30（1）求小岛C到航线AB的距离（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？【答案】（1）小岛C到航线AB的距离为16海里；（2）这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能；渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区【分析】（1）作CDAB于D，由题意得出CABACB30，从而得出ABCB，在RtBCD中，求得CD的长即可（2）利用勾股定理得出MD的长进而得出答案【详解】（1）作CDAB交AB于点D，如图1所示由题意可知：CAB90-6030，CBD90-30
12、60ACBCBD-CAB30CABACBABCB在RtCBD中小岛C到航线AB的距离为16海里；（2）CD1620这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能设M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示：即CMCN20CDABDMDN在RtCMD中DMMN2DM24可穿过危险区的时间为：小时即分钟渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区【点睛】本题考查了方位角、勾股定理、等腰三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌方位角、握勾股定理、等腰三角形、三角函数的性质，从而完成求解8我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船观测到，同时，巡逻船观测到，两巡逻船相距63海里，求此
13、时巡逻船与落水人的距离？（参考数据：，）【答案】巡逻船与落水人的距离为39海里【分析】过点作，垂足为设海里，在中，可得AC=，在中，可得，再根据，可解得x的值，最后根据可得出答案【详解】解：如图所示，过点作，垂足为设海里，在中，在中，解得，（海里）巡逻船与落水人的距离为39海里【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，找到合适的直角三角形是解题的关键9课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来如图所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK，古树长在一个小坡上，
14、经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角JHL30，窗口高EF1.2米，树干底部KC0.9m，A点距墙根G为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为4.5m，请根据上面的信息，计算出树项到地面的距离DL的长度【答案】6.8米【分析】由题意直接根据相似三角形的性质求出树冠DK，根据坡角求出CL，进而即可求出树高DL【详解】解：连接EF，过点B作BMDL，垂足为M，交EF于点N，由题意可知，BNAG1.5，MNIC4.5，由EF/DK,则BEFBKD得：，即，解得：KD4.8，斜坡HJ长2.2米，坡角JHL30，CLHJ1.1，DLDK+KC+CL4.8+0.9+1.16.8（米），答：树项到地面的距离DL的
15、长度为6.8米【点睛】本题考查解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于对应高的比是解决问题的关键10图1是一款折叠式跑步机，由支杆AE（点A、E固定），滑动杆PF和底座AD组成，AC为滑槽，图2是其侧面简化示意图，忽略跑步机的厚度，已知AE=60cm ，AC=120cm，收纳时，当滑动端点P向右滑至点C时，滑动杆PF恰好与滑槽AC重合（1）如图3，当滑动端点P滑至AC的中点B时，求点F到底座AD的距离；（2）当滑动端点P从点B向左滑动到点Q，PF与AD的夹角是70时，小明观察点F处的仪表盘视角为最佳，求此时滑动端点P继续向左滑动的距离BQ的长（参考数据：，结果保留
16、一位小数）【答案】（1）约103.5cm；（2）为cm【分析】（1）连接AF，由题意可知AB=AE=BE=EF=60，可得ABF是直角三角形，利用勾股定理求解即可；（2）过点作，垂足为M，设，则，根据求解即可【详解】解：（1）如图1，连接AF，由题意可知AB=AE=BE=EF=60， ABF是直角三角形，且 （cm）（2）如图2所示，过点作，垂足为M，设，则，在中， ，即，解得（cm）此时滑动的距离BQ约为cm【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题11如图1是某小型汽车的侧
17、面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为70时，箱盖ADE落在ADE的位置（如图2）已知AD100厘米，点D到地面距离为110厘米求点D离地面的高度（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75）【答案】204厘米【分析】过点D作DHMN，垂足为点H，交AD于点F，易得DAD70，然后用解直角三角形直接进行求解即可【详解】过点D作DHMN，垂足为点H，交AD于点F，如图所示 由题意，得：ADAD100四边形ABCD是矩形，ADBC，AFDMHD90，DAD70在RtADF中，DFADsinDAD10
18、0sin701000.94=94点D到地面距离为110厘米，FH110，DHDF+FH94+110=204厘米 ，答：点D离地面的高度为204厘米【点睛】本题主要考查解直接三角形的应用，关键是构造直角三角形利用三角函数值进行求解线段的长12定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”（1）如图1，在四边形中，对角线平分求证：是四边形的“相似对角线”；（2）如图2，已知是四边形的“相似对角线”，连接，若的面积为，求的长【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可
19、；（2）由题可证的，得到，过点E作，可得出EQ，根据即可求解；【详解】（1）证明：，平分，是四边形ABCD的“相似对角线”（2）是四边形EFGH的“相似对角线”，三角形EFH与三角形HFG相似又，过点E作，垂足为则，【点睛】本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键13如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），连结，交于点（1）若点为中点，求的长（2）若，求的值（3）若点在线段上，且，连结、，四边形的面积为，的面积为，求的最大值【答案】（1）；（2）2；（3）【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，通过证明ABFEDF，可得，
20、可求AF的长；（2）由正方形的性质可得，AOBD，AOBOCODOAB，由锐角三角函数可求，即可求解；（3）分别求出S1，S2，再根据二次函数的性质即可求解【详解】解：（1）四边形是正方形，点为中点，；， ， ，且， （2）如图1，连接，四边形是正方形， ， （3）如图2，设，则， ，四边形的面积，当时，的最大值为【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键14有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度图2是这种升降熨烫台的平面示意图，和是两根相
21、同长度的活动支撑杆，点是它们的连接点，表示熨烫台的高度（1）如图2-1，若，求的长(结果保留根号) ；（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为时，两根支撑杆的夹角是，求该熨烫台支撑杆的长度 (参考数据：)【答案】（1）；（2）【分析】（1）过点O作BEAC于E，根据等腰三角形的性质得到AOE=60，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）过点B作BFAC于F，根据等腰三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论【详解】（1）过点作，垂足为，在中，答：的长为；（2）过点作，垂足为，则，在中，(cm)，答：支撑杆长【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题
22、的关键15如图所示的是-款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座（1）若上臂与水平面平行，计算点到地面的距离（2）在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图2，计算这时点到地面的距离与图1状态相比，这时点A向前伸长了多少?【答案】（1）；（2）点A到地面的距离为cm，与图1状态相比，点向前伸长了【分析】（1）如图1，过点作，垂足为M，则所求点到地面的距离即为DM的长，解RtMCB可得CM和BM的长，进一步即可求出结果；（2）如图2，过点作垂直于地面，垂
23、足为，分别过点作的垂线，垂足分别为，先由已知求出的度数，然后分别解RtBCF和RtABE可依次求出BF、CF、AE和BE的长，然后计算即为点到地面的距离；由图1可知，点距底座的距离为，然后计算即为点向前伸长的距离【详解】解：如图1，过点作，垂足为M，则在RtMCB中，点到地面的距离为；如图2，过点作垂直于地面，垂足为，分别过点作的垂线，垂足分别为，点到地面的距离为；由图1可知，点距底座的距离为，点向前伸长的距离为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键16为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造已知四边形为矩形，其
24、坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度（结果精确到，参考数据：，）【答案】斜坡AF的长度为20.61米【分析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度【详解】，其坡度为，在中，解得四边形ABCD为矩形斜坡的坡度为在中，（m）斜坡的长度为20.61米【点睛】本题考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键17如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离，在河的岸边与平行的直线上取两点A，B，测得，量得长为70米求C，D两点间的距离（参考数据：，）【答案】40+10【分析】过点C作C
25、HAB，垂足为点H，过点D作DGAB，垂足为点G，,先求出CH的长，然后在RtBCH中求得BH的长，则CD=GH=BH+BG即可求出【详解】解：过点C作CHAB，垂足为点H，过点D作DGAB，垂足为点G，在ACH中，tanA，得AH=CH，同理可得BH=CH，AH+BH=AB，CH+CH=70解得CH30，在BCH中，tanABC=，即，解得BH=40，又DG=CH=30，同理可得BG=10，CD=GH=BH+BG=40+10（米），答：C、D两点之间的距离约等于40+10米【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算18如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所
26、学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45居民楼AB的顶端B的仰角为55已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m求居民楼AB的高度（精确到1m）（参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43）【答案】约为30m【分析】过点N作EFAC交AB于点E，交CD于点F，可得AE=MN=CF=1.6，EF=AC=35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度【详解】解：过点N作EFAC交AB于点E，交CD于点F则AEMNCF1.6，EFAC35，BENDF
27、N90，ENAM，NFMC，则DFCDCF16.61.615在RtDFN中，DNF45，NFDF15ENEFNF351520在RtBEN中，tanBNE，BEENtanBNE20tan55201.4328.6ABBEAE28.61.630答：居民楼AB的高度约为30m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义192018年9月21日“盐城大铜马“顺利回归，如图，小丽和小明决定用所学的知识测量大铜马AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小明测得基座下部BE长为1.8米，基座BC高为6.12米，在E点处测得点F的仰角为80.72，小丽沿直线BE步行到
28、达点D处测得点A和点F的仰角分别为60.18和50.75，若A、B、C、D、E、F在同一平面内且B、E、D和A、C、B分别在同一直线上，请分别求出CF和大铜马AB的高度（结果精确到0.01米，参考数据sin80.720.987，cos80.720.161，tan80.726.12，sin60.180.868，cos60.180.497，tan60.181.74，sin50.750.774，cos50.750.663，tan50.751.224）【答案】10.09【分析】过点F作FGBD于点G，求出GE1，则可求出CF的长由锐角三角函数求出DG，BD的长，则可求出答案【详解】解：过点F作FGBD
29、于点G，BCFG6.12m，tanFEG，GE1CFBGBEEG，CF1.810.8（m），tanFDE，DG5（m）BDDG+BG，BD5+0.85.8（m），tanADB，tan60.18，AB5.81.7410.09210.09（m）答：CF长为0.8m，大铜马AB的高度为10.09m【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键20实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分
30、影子落在坡上，如图所示已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面
31、分析可得；（3）过点F作FGCE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FHAB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，由题意可得：，解得：x=120，经检验：x=120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm；（2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；（3）如图，AB为高圆柱，
32、AF为太阳光，CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FGCE于点G，由题意可得：BC=100，CF=100，斜坡坡度，设FG=4m，CG=3m，在CFG中，解得：m=20，CG=60，FG=80，BG=BC+CG=160，过点F作FHAB于点H，同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，FGBE，ABBE，FHAB，可知四边形HBGF为矩形，AH=200，AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，故高圆柱的高度为280cm.【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考
33、常考题型21如图，在中，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且（1）求证：BF是的切线；（2）若的直径为4，求【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明ABF90；（2）过点C作于点H，求得AC、BF的长度，证出，根据相似三角形的性质求得CH、HF的长度，根据求得BH的长度，代入求解即可【详解】（1）（1）证明：如图，连接AEAB是的直径，即AB是的直径，直线BF是的切线 （2）解：过点C作于点H，的直径为4， ，即， 【点睛】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质
34、、勾股定理、相似三角形的性质和判定、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点22如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，测角仪高AF=2米，先在A处测得古树顶端H的仰角HFE为45，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走20米到达B处（AB=20米），又测得教学楼顶端G的仰角GED为60点A、B、C三点在同一水平线上（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高（结果保留根号）【答案】（1）22米；（2）【分析】（1）HFE=，则FEH是等腰直角三角形，HE=EF,则HB=BE+EF（2）设DE=x，由三角函数及DF=DG建立方程即可解出【详解】（1）BH=BE+EH=A
35、F+EF=2+20=22（米）(2)设DE=x,则GD=tan60DE=,DF=x+20GD=DF=x+20【点睛】本题考查了三角函数和等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键23郑州大学(ZhengzhouUniversity)，简称“郑大”，是中华人民共和国教育部与河南省人民政府共建的全国重点大学，首批“双一流”世界一流大学、“211工程”某学校兴趣小组3人来到郑州大学门口进行测量，如图，在大楼AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE4米，坡角DEB41，小红在斜坡下的点E处测得楼顶A的仰角为60，在斜坡上的点D处测得楼顶A的仰角为45，其中点B，C，E在同一直线上求大楼A
36、C的高度(结果精确到整数参考数据：1.73，sin410.6，cos410.75，tan410.87)【答案】大楼AC的高度约为13米【分析】设CEx，根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出BE，根据正切的定义用x表示出AC，根据等腰直角三角形的性质列方程，解方程得到答案【详解】解：如图：设CEx，在RtDEB中，sinDEB，DBDEsinDEB40.62.4，cosDEB，BEDEcosDEB40.753，在RtAEC中，tanAEC，ACCEtanAECx，ADF45，FAFD，x2.4x+3，解得，x，ACx13，答：大楼AC的高度约为13米【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰
37、角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键三、填空题24如图，梯形是拦水坝的横断面图，（图中是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），拦水坝的横断面的面积是_（结果保留三位有效数字，参考数据：，）【答案】52.0【分析】过点A作于点F，利用特殊角的锐角三角函数值和坡度求出AF、BF、CE的长，把整个梯形分成两个三角形和一个矩形去计算面积【详解】解：如图，过点A作于点F，故答案是：52.0【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用，解题的关键是掌握利用特殊角的锐角三角函数值解直角三角形的方法25如图，是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡
38、，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为_【答案】【分析】延长CB、AD交于F点，作，由题意得：，设，则，解出即可得出答案【详解】解：延长CB、AD交于F点，作小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为在中，又坡面的坡度为则设，则，解得：（米）故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形的应用，根据俯角、坡度的定义得出角的关系，利用特殊的三角函数值、构造直角三角形是解题的关键，属于中考常考题型26某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37，测得点C处的俯角为45又经过人工测得操控者A和教学楼BC距离为57米，
39、则教学楼BC的高度为_米（注：点A，B，C，D都在同一平面上参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）【答案】13【分析】作DEAB于点E，作CFDE于点F，由tan37=0.75求得AE=40，由AB=57知BE=17，再根据四边形BCFE是矩形知CF=BE=17由CDF=DCF=45知DF=CF=17，从而得BC=EF=30-17=13【详解】解：过点D作DEAB于点E，过点C作CFDE于点F由题意得，AB=57，DE=30，A=37，DCF=45在RtADE中，AED=90，tan37=0.75AE=40，AB=57，BE=17四边形BCFE是矩形，CF=BE
40、=17在RtDCF中，DFC=90，CDF=DCF=45DF=CF=17，BC=EF=30-17=13故答案为：13【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键27如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，斜坡长，斜坡的坡比为125为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过50时，可确保山体不滑坡如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移_时，才能确保山体不滑坡（取）【答案】10【分析】如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得HAD=50，过点H作HFAD于点F，根据AB及AB的坡比，计算出BE和AE的长
41、度，再根据HAF=50，得出AF的值即可解答【详解】解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得HAD=50，过点H作HFAD于点F，AB=26，斜坡的坡比为125，则设BE=12a，AE=5a，解得：a=2，BE=24，AE=10，HF=BE=24，HAF=50，则，解得：AF=20，BH=EF=20-10=10，故坡顶B沿至少向右移10时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键微信公众号：数学三剑客微信公众号：数学第六感微信公众号：ABC数学如需查看更多内容，请微信扫上方二维码获取更多见QQ群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher