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1、第1章 概述第第1章章 概述概述 1.1 控制系统简介控制系统简介 1.2 MATLAB 6.X中的控制产品集中的控制产品集1.3 数学准备数学准备第1章 概述1.1 控制系统简介控制系统简介 1.1.1 控制理论的发展 进入20世纪以来,现代科学技术的发展对自动控制的精度、速度和适应能力的要求越来越高,从而推动了自动控制理论和控制技术的迅速发展。特别是20世纪60年代以来,计算机技术的迅猛发展,奠定了自动控制理论和控制技术的物质基础。于是,现代控制理论逐步形成了一门现代科学分支。第1章 概述 控制理论的发展过程是由简单到复杂、由量变到质变的辩证发展过程。从发展的不同阶段来看,控制理论的发展大
2、致经历了经典控制理论和现代控制理论两个阶段。经典控制理论主要研究简单的单输入单输出（SISO）系统,所涉及的系统大多是线性时不变（LTI）系统,即使是用于解决非线性系统问题的相平面法，也只能处理两个状态变量的情况。常接触到的系统,如电机的位置和速度控制、冶炼炉的温控系统都被简化成SISO线性定常系统来处理。第1章 概述 控制系统设计的常用方法包括频域法、根轨迹法、奈奎斯特稳定判据、期望对数频率特性综合等。这些方法在精确度、准确度不高的情况下是完全适用的。经典控制理论是与生产过程的局部自动化相适应的,具有明显的依靠手工进行分析和综合的特点。这个特点是与4050年代生产发展的状况以及计算机技术的发
3、展水平尚处于初期阶段密切相关的。第1章 概述第1章 概述 （2）经典控制理论是在一类特定的输入情况下分析输出的响应。在综合问题上,是根据给定的某种指标来设计系统的校正网络的。（3）经典控制理论的控制器即校正装置,是由能实现典型控制规律的调节器构成的。而现代控制理论的控制器则是能实现任意控制规律的数字机。（4）经典控制理论的基本内容有时域法、频域法、根轨迹法、描述函数法、相平面法、代数与几何判据、校正网络设计等,研究的主要问题是稳定性问题。第1章 概述 1.1.3 现代控制理论 现代控制理论以线性代数为数学工具,用状态空间方法描述系统内部的动力学性能,研究系统的稳定性、能控性、能观性等问题,用极
4、点配置、最优控制、状态方块等理论研究设计控制系统。现代控制理论是在经典控制理论的基础上发展起来的,主要有以下特点：（1）现代控制理论是以多变量、线性及非线性系统为研究对象的。在近代的工业过程控制、飞行器控制等许多领域中,被控对象变得日益复杂,其中包括了多变量耦合问题、参数时变问题和非线性问题。现代控制理论正是为了处理这样的复杂控制系统而发展起来的。第1章 概述 （2）现代控制理论以时域中的状态空间方法对系统进行数学描述,并在此基础上对系统进行各种定性和定量的分析以及希望的控制规律设计。（3）现代控制理论以现代数学方法为主要分析手段,如线性代数、微分方程和微分几何等现代数学理论在最优控制、非线性
5、系统的控制问题中都有广泛的应用,甚至像模糊数学、混沌及神经网络等最新的数学方法也已经在许多控制领域得到应用。第1章 概述第1章 概述 1.1.4 控制系统的计算机辅助设计 控制系统计算机辅助设计是一门以计算机为工具进行的控制系统设计与分析的技术。大部分从事科学研究和工程应用的技术人员常常遇到并为之困扰的是,当计算涉及矩阵运算或画图时,利用FORTRAN和C 语言进行程序设计是一件比较麻烦的事情。不仅需要对所利用的算法有深刻的了解,还需要熟练掌握程序语言的编程方法。有时这种编程并不是一件容易的事情。第1章 概述 从事控制系统分析和设计的技术人员则常常会为系统分析和设计带来的巨大、繁琐的计算工作量
6、而苦恼。例如,在进行校正器设计时,经常需要绘制系统对数频率响应曲线；在采用根轨迹方法配置系统期望极点时,也需要首先绘制出系统的根轨迹图。而如果借助计算机本身强大的计算和绘图功能,这些问题都可以很容易地解决,从而极大地提高了系统分析和设计的效率。第1章 概述第1章 概述1.2 MATLAB 6.X中的控制产品集中的控制产品集 1.2.1 概述 MATLAB 6.X 控制产品集支持控制设计过程的每一个环节,可以用于不同的领域，如汽车、航空航天、计算机和通讯等领域。MathWorks 提供的控制产品集,提供了如下能力：使用 MATLAB 高级编程语言,只需花很短的时间就可以开发出控制算法、强大的绘图
7、能力以对数据、方程和结果进行显示,如根轨迹、Bode图、响应和谱等。第1章 概述第1章 概述 结合有限状态机、状态转移图和流程图多种技术手段,Stateflow 使用户能够建立复杂响应式系统的清晰、简明的描述。通过 Simulink 和 Stateflow,可以在单一的集成环境下对包括顶层控制逻辑、物理对象和控制器的整个系统进行建模与仿真。RealTime Workshop 和 Stateflow Coder 直接从Simulink 模型和 Stateflow 图中生成高质量的代码,并自动地编译、链接和下载可执行文件到目标处理器上。通过将 MathWorks代码生成工具与先进的实时系统集成,用
8、户可以快速、方便地实现快速控制原型,实时地仿真和分析自己的设计。第1章 概述 1.2.2 控制系统工具箱简介 控制系统工具箱（Control System Toolbox）是MATLAB软件包中专门针对控制系统工程设计的函数和工具的集合。该工具箱主要采用M文件形式，提供了丰富的算法程序以完成一般控制系统的设计、分析和建模。第1章 概述第1章 概述 通过控制系统工具箱,用户可以创建线性时不变（LTI）系统的传递函数、零极点-增益模型或状态空间模型。既可以操作连续时间系统,也适用于离散时间系统,并且可以实现不同模型间的相互转换。用户还能够轻松绘制系统的时域或频域响应和开环系统的根轨迹图。其中的控制
9、系统设计函数能够快速完成系统的极点配置、最优控制器设计等。MATLAB本身提供的开放式环境可以让用户通过M文件建立自己的控制模型和控制算法。第1章 概述 随着MATLAB的发展,控制系统工具箱本身也得到不断升级。随MATLAB 6.1一起发行的是最新的Control System Toolbox 5.1,它的主要组成和特点包括：(1)LTI 观测器（LTI Viewer）,用于分析和仿真LTI系统的交互式图形环境。(2)单输入单输出系统设计工具（SISO Design Tool）,用于SISO系统分析和仿真的交互式图形环境。(3)可以控制系统的时域和频域绘图属性,例如曲线颜色和类型等。第1章
10、概述 (4)采用专门的数据结构来表示系统的各类模型,称之为LTI对象。(5)支持MIMO系统、连续时间和采样系统、具有时间延迟的系统。(6)用户复杂框图操作的函数和运算,例如串联、并联和反馈连接等。(7)可以采用不同方法实现连续-离散模型之间的转换。第1章 概述 (8)通常只需要一条指令即可实现系统的时域和频域仿真。(9)大量基于经典控制理论和现代控制理论的控制系统设计工具,例如根轨迹设计、极点配置和LQR/LQG最优设计等。第1章 概述 1.2.3 Simulink 4.1产品介绍 Simulink 4.1（如图1.1所示）是用来建模、分析和仿真各种动态系统的交互环境,包括连续系统、离散系统
11、和混杂系统。Simulink提供了采用鼠标拖放的方法建立系统框图模型的图形交互界面。通过Simulink提供的丰富的功能块,可以迅速地创建系统的模型,不需要书写一行代码。Simulink还支持Stateflow,用来仿真事件驱动过程。第1章 概述第1章 概述 1.交互建模 Simulink提供了大量的功能块以方便用户快速地建立动态系统模型。建模时只需使用鼠标拖放库中的功能块并将它们连接起来。你可以通过将块组成子系统来建立多级模型。对块和连接的数目没有限制。2.交互仿真 Simulink框图提供了交互性很强的非线性仿真环境。可以通过下拉菜单执行仿真,或使用命令行进行批处理。仿真结果可以在运行的同
12、时通过示波器或图形窗口显示。有了Simulink,可以在仿真的同时,采用交互或批处理的方式,方便地更换参数来进行“Whatif”分析。第1章 概述 3.能够扩充和定制 Simulink的开放式结构允许用户扩展仿真环境的功能：（1）用MATLAB、FORTRAN和C代码生成自定义块库,并拥有自己的图标和界面。（2）将用户原有FORTRAN或C语言编写的代码连接进来。4.与MATLAB和工具箱集成 由于Simulink可以直接利用MATLAB的数学、图形和编程功能,用户可以直接在Simulink下完成诸如数据分析、过程自动化、优化参数等工作。工具箱提供的高级的设计和分析能力可以通过Simulink
13、的屏蔽手段在仿真过程中执行。第1章 概述 5.专用模型库（Blocksets）Simulink的模型库可以通过专用元件集进一步扩展。DSP Blockset可以用于DSP算法的开发。FixedPoint Blockset扩展了Simulink,用于建立和模拟数字控制系统和数字滤波器。MATLAB 6.X中的Simulink及相关模块如表 1.1 所示。第1章 概述第1章 概述 1.2.4 其它控制相关产品 MATLAB中的控制系统工具箱（Control System Toolbox）主要是运用经典控制理论（包括时域和频域方法）处理线性时不变（LTI）系统的函数集合。除了Control Syst
14、em Toolbox,MathWorks公司还在MATLAB 6.X软件包中集成了控制系统分析和设计的其它相关工具箱和软件包,这些工具箱有的是作为Control System Toolbox的补充,有的是独立的软件包,主要以控制系统为研究对象。第1章 概述 借助这些工具箱和软件包,用户可以完成诸如系统辨识、系统建模、仿真以及鲁棒控制、模糊控制和神经网络控制等系统设计的任务。所包含的内容几乎涉及到现代控制理论的所有内容,使MATLAB广泛运用于控制系统设计和制造的各个领域。关于这些工具箱和软件包的简要说明如表1.2所示。第1章 概述第1章 概述表 1.2 MATLAB 6.X中的其它控制系统相关
15、工具箱 第1章 概述 1.2.5 MATLAB 6.X开发控制系统流程 采用MATLAB 6.X进行控制系统的辅助设计和仿真一般分为建模、分析、仿真和实现等四个部分,针对每个部分MATLAB 6.X都提供了强有力的辅助工具,其良好的交互界面、强大的计算功能使控制系统的设计和实现轻松快捷,极大地提高了系统开发的速度和效率。图1.2显示了利用MATLAB 6.X进行控制系统开发的不同阶段以及相应的MATLAB工具。第1章 概述图 1.2 基于MATLAB 6.X控制系统开发流程第1章 概述1.3 数学准备数学准备 1.3.1 微分方程的求解 多变量连续动态系统一般可以采用微分方程或微分方程组来描述
16、。线性非齐次微分方程的一般形式可以写成(1.1)第1章 概述 对于某个时间段内的连续函数ai(t)和g(t),方程对下面的初始条件存在唯一的解析解：(1.2)要得到唯一的微分方程解,必须有n个初始条件。已知n个初始条件对微分方程进行求解的问题称为n阶初值问题（IVP）。非齐次方程的一般解的形式由齐次方程的解再加上满足方程（1.1）的特殊解组成：(1.3)第1章 概述 其中齐次方程的解是指当g(t)=0 时方程（1.1）的解。将方程的初始条件代入一般解的形式中,可以求出方程（1.1）的唯一解的形式。对于系数时变的系统,求出它的解析解的形式一般是很困难的。但是对于简单的常系数方程而言,可以通过下面
17、的方法来确定方程的齐次解。设齐次方程为(1.4)第1章 概述 定义解的形式为(1.5)将式（1.5）代入式（1.4）,得到net+an-1n-1et+a0et=0n+an-1n-1+a0=0 (1.6)假设 ,可以对方程（1.4）构造一般解的形式（对于不同解的情况），即(1.7)第1章 概述 例 1.1 求解下面微分方程的解。初始条件为 解：假设方程一般解的形式为 首先求方程的齐次解,将y=et代入原微分方程,得到2+2=0,1,2=i。方程齐次解可以写成 第1章 概述 然后求方程的一个特解，将yh(t)=k1 sin(0t)+k2 cos(0t)代入原方程,得到解得 因此,原微分方程一般解的
18、形式为最后将初始条件代入上式,得到第1章 概述 例 1.2对于g(t)=Csin(t),重新求解例1.1的微分方程。解：这个问题与例1.1有相同的齐次解。但是这里的输入函数与齐次解的形式有相同的函数形式。因此,可以选择下面的特殊解形式。yp(t)=k1t sin(t)+k2t cos(t)最终得到原方程的解为 第1章 概述 将上式代入原微分方程，得到得到方程的一般解的形式为 将初始条件（参见例1.1）代入上式,得第1章 概述 1.3.2 差分方程的解 离散系统的动态行为可以用差分方程来描述。线性非齐次差分方程的解的一般形式为 y(k+n)+an-1(k)y(k+n-1)+a0(k)y(k)=g
19、(k)(1.8)与连续系统的情况类似,非线性齐次方程的解的一般形式可以由齐次方程的解加上特殊解构成，即 y(k)=yh(k)+yp(k)(1.9)并且定常系数的线性差分方程具有相对简单的齐次解的形式。假定齐次方程为 z(k+n)+an-1 z(k+n-1)+a0z(k)=0 (1.10)第1章 概述 假定解的形式为 z(k)=k (1.11)将其代入式（1.10）,得 k+n+an-1k+n-1+a0k=0 n+an-1n-1+a0=0 (1.12)式（1.12）称为差分方程的特征方程。最后,假定zi(k)=ki,可以构造方程（1.10）的解的形式，即(1.13)第1章 概述 例 1.3求解下
20、面的差分方程的解。y(k+1)-2ay(k+1)+a2y(k)=brk 初始条件为 y(0)=0 y(1)=0 解：定义y(k)=k,由2-2a+a2=0得到1,2=a（重根）。使用参数变量方法,定义y2(k)=u(k)y1(k),其中u(k)=k,将其代入原来的齐次方程,得到下面的关系：(k+2)ak+2-2a(k+1)ak+1+a2kak=0 kak+2+2ak+2-2kak+2-2ak+2+kak+2=0 因此 yh(k)=C1ak+C2kak第1章 概述 特解计算：假定yp(k)=C3rk,将其代入非齐次方程,得到 将上述齐次解与特解结合起来,得到原差分方程的一般解的形式为 将初始条件
21、代入，得 第1章 概述 最终得到的非齐次差分方程的解为 第1章 概述 1.3.3 矩阵代数与矩阵运算 表1.3列出了常用的矩阵代数运算。表 1.3 常用的矩阵代数及其分量表示 第1章 概述 1）矩阵的特征值和特征根 如果在代数方程描述的标准系统中定义b=x,则有 Ax=x (1.14)如果存在非零向量x满足式（1.14）,则这里的称为n维矩阵A的特征值。x称为对应于特征值的特征向量。式（1.14）也经常写成 det(A-I)=0 (1.15)式（1.15）又称为矩阵A的特征方程。特征多项式的根表示n个特征值（又可能有重根）。一旦确定矩阵的n个特征值,将=i代入特征方程即可求出对应的每个特征值。
22、第1章 概述 矩阵的特征值与特征向量对于描述动态系统十分重要。如果一个线性集中参数系统的所有特征值和特征向量均已确定,则一般可以完全仿真该系统的时域和频域特性,包括系统稳态特性、对输入参数变化的敏感性等系统特征也可以被确定。事实上,根据系统矩阵的特征值和特征向量,我们可以描述和分析这类动态系统几乎所有的方面。矩阵与其相似矩阵具有相同的特征值。两个矩阵A和B如果满足下面的相似变换,则称它们为相似矩阵。B=C-1 AC (1.16)第1章 概述 一种特殊的相似变换是矩阵的对角化。对于任何无重根的nn维矩阵,有 D=M-1 AM (1.17)或者 A=MDM-1 (1.18)矩阵D为对角矩阵,其对角
23、元素为矩阵A的n个不同的特征根。矩阵M的每一列对应于矩阵A的特征向量。通常将这些矩阵表示成 M=e1e2en (1.19)第1章 概述 2）矩阵微积分 假定 矩阵A的微分表示为 积分表示为(1.20)(1.21)乘法规则(1.22)(1.23)第1章 概述 逆矩阵的微分(1.24)3）矩阵指数的公式 一些具有解析解的动态系统可以写成所谓的矩阵指数的形式。矩阵指数eAt定义成无穷Taylor展开式：(1.25)第1章 概述 对于A矩阵为常数矩阵的情况,有下面的运算(式(1.26)和(1.27)。(1)求导(1.26)证明：只要对其中的每一项进行求导，即有第1章 概述 (2)积分证明：设F=A-1
24、 eAt,则故(1.27)第1章 概述 4）方阵函数 除了式（1.25）所定义的eAt无穷序列展开多项式外,我们还可以获得矩阵指数的封闭解形式。事实上,这个封闭解的结果可以从任何方阵的多项式函数获得。这将用到下面介绍的Sylvester定理。第1章 概述 【Sylvester定理（无重根）】：如果P(A)是方阵A的任何多项式,并且i是矩阵A的n个不同特征值之一,则(1.28)或者(1.29)第1章 概述 例 1.4对于 解：首先确定矩阵的特征值。计算eAt。解之可得 运用Sylvester定理,有第1章 概述第1章 概述 【Sylvester定理（重根）】：如果P(A)是方阵A的任何多项式,矩阵A具有s个相同的特征值,则所有的 特征值 其中(1.30)(1.31)如果所有的特征值都相等,则s()=1。第1章 概述 例 1.5 对于 解：首先计算特征值。计算eAt。解之可得 1,2=4由Sylvester定理 第1章 概述 显然s=1,有将=s=4代入上式，得 对表达式关于 进行一次求导，得