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1、HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数第五章第五章 贝塞尔函数贝塞尔函数5.1 贝塞尔方程的导出 设有半径为设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热，的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。规律。问题归结为求解如下定解问题：问题归结为求解如下定解问题：HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令：令：HUST HUST 数学物理方程与特殊函数
2、数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数n阶贝塞尔方程 周期特征值问题周期特征值问题 的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为 令令 HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程(n为任意实数或复数为任意实数或复数)令：5.2 贝塞尔方程的求解假设假设由于由于，所以有，所以有HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数当当c=-n时，令时，令
3、 于是于是,得到贝塞尔方程的另一个特解得到贝塞尔方程的另一个特解(称为称为-n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数)显然显然线性无关，于是线性无关，于是n阶阶贝塞尔方程的通解为贝塞尔方程的通解为(称为n阶第二类贝塞尔函数(诺依曼函数)如果取如果取,则得到方程的另则得到方程的另一个与一个与线性无关的特解线性无关的特解于是于是n阶阶贝塞尔方程的通解又可表示为贝塞尔方程的通解又可表示为HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数情形2 n为整数此时此时线性相关。令线性相关。令可以证明可以证明线性无关的特解，线性无关的特解，是贝塞尔方程的与是贝塞尔
4、方程的与于是，此时于是，此时n阶阶贝塞尔方程的通解为贝塞尔方程的通解为情形3 n为半奇数(类似讨论)HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数A、B为任意常数，n为任意实数HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质3 递推性 HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例1 求下列微积分HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数
5、学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质4 初值 性质5 零点 有无穷多个对称分布的零点 和 的零点相间分布 的零点趋于周期分布，HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质7 大宗量近似 HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质8 正交性称称 n阶贝塞尔函数系阶贝
6、塞尔函数系 在区间在区间(0,R)上带权函数上带权函数r正交：正交：其中其中 为为n阶贝塞尔函数的零点，即阶贝塞尔函数的零点，即为为n阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数 的的模模。HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例2：证明 的解为 HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数5.4 傅立叶-贝塞尔级数定理定理 如果 在(0,R)内分段连续,且积分 的值有限，则 能展成傅立叶贝塞尔级数：并且
7、在 的连续点,级数收敛于；而在 的间断点，级数收敛于，其中 HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例例3 3：将：将1 1在在 区间内展成区间内展成 的级数形式的级数形式.解解，其中，其中由于由于从而从而于是有于是有HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例4：将x在0 x2区间内展成 的级数形式 解解，其中，其中由于由于从而从而于是有于是有HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例5：将 在0 x1区间内展成 的级数形
8、式 解解，其中，其中由于由于从而从而于是有于是有HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令：HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数 设有半径为设有半径为R的圆形薄膜，圆周沿垂直于的圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，初始
9、速度为，初始速度为，试求该薄膜的振动规律。试求该薄膜的振动规律。问题归结为求解如下定解问题：问题归结为求解如下定解问题：例例2:求解圆形薄膜轴对称振动问题求解圆形薄膜轴对称振动问题HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数从而，原问题有形式级数解从而，原问题有形式级数解HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令令设设为为1阶贝塞尔函数的非负零点，即阶贝塞尔函数的非负零点，即则有则有(见课后练习见课后练习)HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数