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1、高级中学高三数学（理科）试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1、已知集合x2，x21，则A（ ） A、1，1 B、2，2 C、1，0，1 D、2，1，0，1，2【答案】C 解：根据题意，22x2，则x2=2x2， x211x1，则x21=1，0，1，则A1，0，1；故选：C 2、若复数 （aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ） A、3 B、3 C、0 D、 【答案】A 解： = 是纯虚数，则 ，解得：3故选A3、命题“x 0R， ”的否定是（ ） A、 xR，x2x10 B、 xR，x2x10C、 x0R， D、 x0R， 【答案】A 解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命
2、题“x0R， ”的否定为：xR，x2x10故选：A4、张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ） A、18 B、20 C、21 D、25 【答案】C 解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=305+ d，解得 最后一天织的布的尺数等于5+295+29 =21故选：C5、已知二项式的展开式中常数项为32，则（ ） A、8 B、8 C、2 D、2【答案】D 解：二项式（x ）4的展开式的通项为1=（a）44 r，令4 =0，解得3，（a）3C4
3、3=32，2，故选：D6、函数（ x ）的大致图象是（ ） A、 B、 C、 D、【答案】A 解：在（0， ）上，是减函数，是减函数，且函数值y0， 故排除B、C；在（ ，0）上，是增函数，是增函数，且函数值y0，故排除D，故选：A7、 若数列满足，且及的等差中项是5， 等于( B ) （A） （B） （C） （D）8、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A、1 B、 C、 D、【答案】B 解：由三视图知几何体是一个四棱锥， 四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱及底面垂直，且侧棱长为1，四棱锥的体积是 故选B9、设a0
4、，b0，若2是2a及2b的等比中项，则 的最小值为（ ） A、8 B、4 C、2 D、1 【答案】C 解：2是2a及2b的等比中项， 2a24，2， （）=1，而a0，b0， =（ ）（ + ）=1+ + 1+2 =2，当且仅当1时取等号故选：C10、若函数f（x）=2（ ）（2x10）的图象及x轴交于点A，过点A的直线l及函数的图象交于B、C两点，则（ + ） =（ ） A、32 B、16 C、16 D、32 【答案】D 解：由f（x）=2（ ）=0可得 6k2，kZ，2x10 4即A（4，0） 设B（x1 ， y1），C（x2 ， y2）过点A的直线l及函数的图象交于B、C两点B，C 两点
5、关于A对称即x12=8，y12=0则（ + ） =（x12 ， y12）（4，0）=4（x12）=32故选D11、已知双曲线 =1（a0，b0）的右顶点为A，若双曲线右支上存在两点B，C使得为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ） A、（1，2）B、（2，+）C、（1， ）D、（ ，+）【答案】C 【解析】【解答】解：如图，由为等腰直角三角形，所以45， 设其中一条渐近线及x轴的夹角为，则45，即1，又上述渐近线的方程为 x，则 1，又 ，1e ，双曲线的离心率e的取值范围（1， ），故选C12、已知函数f（x），若kZ，且k（x1）f（x）对任意的x1恒成立，则k的最大值为（
6、 ） A、2 B、3 C、4 D、5【答案】B 解：由k（x1）f（x）对任意的x1恒成立， 得：k ，（x1），令h（x）= ，（x1），则h（x）= ，令g（x）2=0，得：x2，画出函数2，的图象，如图示：g（x）存在唯一的零点，又g（3）=130，g（4）=24=2（12）0，零点属于（3，4）；h（x）在（1，x0）递减，在（x0 ， +）递增，而3h（3）= 4， h（4）= 4，h（x0）4，kZ，k的最大值是3二、 填空题：（每小题5分，共20分）13、若x，y满足 则2y的最大值为 【答案】2 解：由足约束条件 作出可行域如图， 由2y，得 + 要使z最大，则直线 + 的截距
7、最大，由图可知，当直线 + 过点A时截距最大联立 ，解得 ，A（0，1），2y的最大值为0+21=2故答案为：2 14、已知向量 =（1，2）， （ + ），则向量 在向量 方向上的投影为 【答案】 解：由 （ + ），则 （ + ）=0，即 2+ =0，则 =丨 丨2 ， 向量 在向量 方向上的投影为 =丨 丨= = ，故答案为： 15、斜率为k（k0）的直线l经过点F（1，0）交抛物线y2=4x于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则 【答案】2 【解析】【解答】解：S2S ， 2 ， 设的方程为1（m0），及y2=4x联立消去x得y244=0，4m，4由可得 ，2 。16、定义在上的函数对
8、任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是 .【解析】不妨设，则由，知，即，所以函数为减函数因为函数的图象关于成中心对称，所以为奇函数，所以，所以，即因为，而在条件下，易求得，所以，所以，所以，即.三、解答题：17、（本小题满分12分）已知函数 （其中0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 (1)求（x）的单调递增区间； (2) 在中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2ba），则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断的形状 （1） 解： ， = ，f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为 ， ，=1， 得： ，函数f（x）单调增区间为
9、；（2）解：（2ba），由正弦定理， 得（2）2（），（）（B）0，2，（21）=0， ，0C， ， ， ，根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值1，此时 ，即 ， ，为等边三角形。18、（本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为0，10，分为五个级别，T0，2）畅通；T2，4）基本畅通；T4，6）轻度拥堵；T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵早高峰时段（T3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图 （）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（）据此估计
10、，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望解：（）（0.2+0.16）150=18，这50路段为中度拥堵的有18个 （）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，事件B 至少一个路段严重拥堵”，则P =（1P（A）3=0.729P（B）=1P（ ）=0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271（）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X30364260P0.10.440.360.1E（X）=300.1+36
11、0.44+420.36+600.1=39.96此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟 19、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱A1B1C1中，侧面1A1是边长为2的正方形，直角三角形边满足，E是1上的点，且平面1 （）求证：平面1C；（）求二面角B1C的平面角的余弦值证明：在直三棱柱A1B1C1中， 1平面，1，直角三角形边满足，又1 ， 平面1C（）解：以C为原点，为x轴，为y轴，1为z轴，建立空间直角坐标系，侧面1A1是边长为2的正方形，直角三角形边满足，22=4，解得 ，B（0， ，0），A（ ），B1（0， ，2），C（0，0，0），=（ ， ，2）， = ，设平面1的法向
12、量 =（x，y，z），则 ，取 ，得 =（1，1，0），设平面1C的法向量 =（a，b，c），取 ，得 =（0， ，1），设二面角B1C的平面角为， = = 20、已知A（x0 ， 0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且1，若动点P（x，y）满足 (1)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程； (2)一条纵截距为2的直线l1及曲线C交于P，Q两点，若以直径的圆恰过原点，求出直线方程； (3)直线l2：1及曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2 ， 使的面积为 ？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由 （1）解：因为 ，所以 ，所以 ，又因为1
13、，所以 ，即： ，即 ，所以椭圆的标准方程为 （2）解：直线l1斜率必存在，且纵截距为2，设直线为2联立直线l1和椭圆方程 ，得：（3+4k2）x2+164=0，由0，得 （*），设P（x1 ，y1），Q（x2 ，y2），则 （1）以直径的圆恰过原点，所以， ，即x1x21y2=0，也即x1x2+（1+2）（2+2）=0，即（12）x1x2+2k（x12）+4=0，将（1）式代入，得 +4=0，即4（12）32k2+4（3+4k2）=0，解得 ，满足（*）式，所以 所以直线方程为 2（3）解：由方程组 ，得（3t2+4）y2+69=0（*） 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则 所
14、以 ，因为直线l：1过点F（1，0），所以S 1y2 2 = 令= =2 ，则 不成立，故不存在直线l满足题意。 21、已知函数f（x）2（a为实常数） (1)若2，3，求f（x）的单调区间； (2)若0，且a2e2 ， 求函数f（x）在1，e上的最小值及相应的x值； (3)设0，若存在x1，e，使得f（x）（2）x成立，求实数a的取值范围 （1）解：2，3时，f（x）=223x，定义域为（0，+）， ，当x（0，2）时，f（x）0，当x（2，+）时，f（x）0，所以函数f（x）的单调增区间为（2，+）；单调减区间为（0，2）；（2）解：因为0，所以f（x）2，x1，e，2x22，2e2，（i
15、） 若a2，f（x）在1，e上非负（仅当2，1时，f（x）=0），故函数f（x）在1，e上是增函数，此时f（x）（1）=1；（）若2e2a2，20，2e20，x1，e，当 时，f（x）=0， ，当 时，f（x）0，此时f（x）是减函数；当 时，f（x）0，此时f（x）是增函数故 ；（3）解：0，f（x）2不等式f（x）（2）x， 即2（2）x可化为a（x）x22x因为x1，e，所以1x且等号不能同时取，所以x，即x0，因而 （x1，e），令 （x1，e），又 ，当x1，e时，x10，1，220，从而g（x）0（仅当1时取等号），所以g（x）在1，e上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=1，
16、所以实数a的取值范围是1，+）。请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22、（本题满分10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为 （t为参数）在极坐标系（及直角坐标系取相同的长度单位且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=6(1)求圆C的直角坐标方程； (2)设圆C及直线l交于点A，B若点P的坐标为（1，2），求的最小值 （1）解：由=6得2=6，化为直角坐标方程为x22=6y，即x2+（y3）2=9（2）解：将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（）t7=0 由=（22）2+470，故可设t1 ， t2是上述方程的两根，所以 又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得 所以的最小值为 23（本题满分10分）设函数f（x）22|2|（）求不等式f（x）2的解集；（）若 xR，f（x）t2 t恒成立，求实数t的取值范围 解：（）函数f（x）22|2 ， 当x1时，不等式即x42，求得x6，x6当1x2时，不等式即3x2，求得x ， x2当x2时，不等式即42，求得x2，x2综上所述，不等式的解集为 或x6（）由以上可得f（x）的最小值为f（1）=3，若xR，f（x）t2 t恒成立，只要3t2 t，即2t2760，求得 t2。第 8 页