四升五暑假讲义.docx

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1、四升五火箭班1. 数的整除性的复习与提高32. 质数、合数和分解质因数73. 最大公因数、最小公倍数134. 同余问题195. 奇偶性266. 行程问题（一）327. 列方程解应用题428. 不定方程469. 牛吃草问题5010. 逻辑推理53H.抽屉原理627112. 多边形的面积6613. 用等量代换求面积1.数的整除性的复习与提高一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。即a是b的倍数，而b是a的约数（因数）。2、常用符号：整除符号I，不能整除符号）；因为符号，所以的符号二、整除判断方法：

2、1 .能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2 .能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3 .能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4 .能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5 .能被1整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6 .能被11整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7 .能被13整除：末三位上数字所组

3、成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1 .如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。2 .如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3 .如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4 .如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。四、基本方法：1、利用整除性解数字谜；2、求一个数除以另一个数的余数（同余法）；3、简单验算。例1四位数7。4b能被18整除，要使这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？解：18=2X9,并且2与9互质，根据前面的性质4,可

4、以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0,2,4,6,8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果b=0,只有a=7,此数是7740；如果b=2,只有a=5,此数是7542；如果b=4,只有a=3,此数是7344；如果b=6,只有a = l,此数是7146；如果b=8,只有a=8,此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶，共口67.9口元，其中口处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把口67.9写成整数679,它应被72整除.72=9X8,9与8又互质.按照

5、前面的性质4,只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b=2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a=3.这笔帐是367.92元.例3在1,2,3,4,5,6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5,组成数的最后一位数字就必须是5,这样就不能被偶数2,4,6整除，也就是不能选2,4,6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5,而选其他五个数字1,2,3,4,6.1+2+3+4+6=16,为了能整除3和6,所用的数字之和要能

6、被3整除，只能再添上一个2,16+2=18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7口4口能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55=5X11,5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.(7+4)-(百位数字+0)要能被11整除，百位数字只能是0,所得四位数是7040.(7+4)-(百位数字+5)要能被11整除，百位数字只能是6(零能被所有不等于零的整数整除)，所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040,7645.例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中

7、，最大的是哪一个？解:为了使这个数最大，先让前五位是98765,设这个七位数是诙舌,要使它被11整除，要满足(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0,1,2,3,4中的两个数，只有b=4, a=0,满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11(参见下页除式).要满足题目的条件，这个数是9876543减6,或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0,1,2,3,4中的两个数字.89786711/9876543/_gg86779588746683764

8、3-6=37,37-11=26,26-11=15,15-11=4,因此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？(答：1023495)例6某个七位数1993口口能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？与上例题一样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9,8,7整除.1+9+9+3=22,要被9整除，十位与百位的数字和是5或14,要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500,1993320,1993680,其中只有1

9、99320能被7整除，因此所求的三位数是320.解二：直接用除式来考虑.2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数是2520,这个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：792520/1993000/1764022900226802200因为2520-2200=320,所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面这个41位数20个520个9能被7整除，中间方格代表的数字是几？解：因为111111=3X7X11X13X37,所以555555=5X111111和999999=9X111111都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的

10、18位数，也都能被7整除.原数=09+550990-5+9-18个523个018右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55口99能被7整除，原数就能被7整除.把55口99拆成两个数的和：55A00+B99,其中口=A+B.因为7 I 55300,7|399,所以口=3+3=6.注意，记住111111能被7整除是很有用的.例8求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763,再去掉14000还余下1763,再去掉1400余下363,再去掉350余13,最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763f 15763f 1763f 363fl 3f 6

11、.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763fl50001000-6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例9检验下面的加法算式是否正确：2638457+3521983+6745785=12907225c分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为8,4,6,8+4+6的九余数为0；和的九余数为1。因为0W1,所以这个算式不正确。例10检验下面的减法算式是否正确：7832145-2167953=5664192。分

12、析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的九余数上加9,然后再减）应当等于差的九余数。如果不等，那么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是3,减数的九余数是6,由（9+3）-6=6知，原题等号左边的九余数是6。等号右边的九余数也是6。因为6=6,所以这个减法运算可能正确。值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见例5）运算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有0,1,2,8九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正

13、确性，只是一种粗略的检验。例11检验下面的乘法算式是否正确：46876X9537=447156412.分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数的九余数是4,乘数的九余数是6,4X6=24,24的九余数是6。乘积的九余数是7。6W7,所以这个算式不正确。说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数X商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验383801+253=1517的正确性，只需检验1517X253=383801的正确性。思维拓展甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约

14、定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜：如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.如果N小于15,当N取哪几个数时，乙能取胜？解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N=5,甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N=l,很明显乙必获胜.如果N=3或9,那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9

15、的整数倍.因此，乙必能获胜.考虑N=7,11,13是本题最困难的情况.注意到1001=7X11X13,乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2,这个六位数，能被7,11或13整除，乙就能获胜.综合起来，使乙能获胜的N是1,3,7,9,11,13.记住，1001=7X11X13,在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.1、 32x5y能同时被2、3、5整除，求所有满足条件的五位数。解：32250,32550,

16、32850。2、 已知72| x931y,求满足条件的五位数。解：39312.提示：注意x, y都是小等于9的数。3、 已知五位数坨立能被8和9整除，求x + y的值。解：8o提不：同样注意x, y小等于9。4、 求能被26整除的六位数xl991y。解:819910,119912,719914,619918。5、 求能被33整除的六位数x8919yo解：489192、789195。6、 王老师为班级买了28个价格相同的圆规，共付人民币1口6.口8元，已知口处的数字相同，问每个圆规多少元？解：4.51元。7、 求同时能够被9、25、8整除的七位数xl992yz。解：6199200.8、 如果六位

17、数1992能被105整除，那么它的最后两位数是多少？解：90o9、 个位是6,而且能被3整除的五位数有多少个？解：3000个。（整除性问题中有部分问题与计数问题结合在一起，下面是两个简单的例子，其中后一个例了中，用到了容斥原理）。10、分母是1001的最简真分数有多少个?解：994个。2.质数、合数和分解质因数基本概念和知识质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数(因数)，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数

18、相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=aJ小”a/，肿 ai.aaa0都是合数N的质因数，且aKaKaKa,互质数：如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。两个不同的质数肯定互质，但两个合数也会互质，比如4和9；还有任意两个连续自然数都是互质的。二、基本方法：1、熟记100以内的所有质数，这是小学数学的基本功：2、100以内的质数的特征：都是6的倍数前后的数；3、分解质因数是重要工具，熟练使用；4、求约数个数的公式：P=(ri+1) X (ra+l) X (rj+l) XX (rn+l)例题例11

19、100这100个自然数中有哪些是质数？分析与解：1既不是质数也不是合数。2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去；3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去：类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去；把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。经过以上的筛选，划去的都是合数，余下26个数，除1外，剩下的25个都是质数。这样，我们便得到了100以内的质数表：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。这些质数同学们应当熟记！细心的同学可能会注意到，以上只划到7的倍数，为什

20、么不继续划去11,13,的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如，100以内11的倍数应该是HXAlOO (其中A为整数)，显然，A 只能取2,3,4,5,6,7,8,9。因为4=2、6=2X3,8=23,9=32,所以 A 必是2,3,5,7之一的倍数。由此推知，11的倍数已全部包含在2,3,5,7的倍数中，已在前面划去了。要判断一个数N是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小到大的自然数2,3,4,5,6,7,8, N-1去除N,其中只要有一个自然数能整除N, N就是合数，否则就是质数。但这样太麻烦，因为除数太多。能不能使试除的数少一点呢？由例1知，只要用从小到大的质数去除

21、N就可以了。例2给出的判别方法，可以使试除的数进一步减少。例2判断269,437两个数是合数还是质数。分析与解：对于一个不太大的数N,要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K：再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N,那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除 N,那么N是合数。因为26917:289。17以内质数有2,3,5,7,11,13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9,所以269不能被2,5整除；2+6+9=17,所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269,所以269是质数。因为43711X 29=3193 X 37=1

22、11,/.所求的最大值是391。例6：自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3,所以它是一个合数。例7：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：5=5,7=7,6=2X3,14=2X7,15=3X5。这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14(=2X7)放在第一组，那么7和6(=2X3)只能放在第二组，继而15(=3X5)只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样，14X15=210=5X6X7。,这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。例8：有三个自然数，最大的比最小的大6,

23、另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560。求这三个自然数。分析先大概估计一下，30X30X30=27000,远小于42560,40X40X40=64000,远大于42560。因此，要求的三个自然数在3040之间。解：42560=26X5X7X19=25X (5X7) X (19X2)=32X35X38(合题意)二要求的三个自然数分别是32、35和38。例9：有三个自然数a、b、c,已知aXb=6, bXc=15, aXc=10求aXbXc是多少？解：V 6=2X3,15=3X5,10=2X5(aXb) X (bXc) X (aXc)=(2X3) X (3X5) X (2X5)/. a2X

24、b2Xc2=22 X 32 X 52(aXbXc)2=(2X3X5)2aXbXc=2X3X5=30在例9中有aWlbXIcJH,其中炉=4,32=9,52=25,像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如：12=1,22=4,32=9,42=16,-,112=121,12二144,其中1,4,9,16,121,144,都叫做完全平方数。下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。例：把下列各完全平方数分解质因数。9,36,144,1600,275625解：9=3236=22X32144=32 X 21600

25、=2, X 5，275625=3? X 6x72可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中，36-62,144=12、1600=4()2,275625=525、例10：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个完全平方数。分析,: a与1080的乘积是一个完全平方数。二乘积分解质因数后，各质因的指数一定全是偶数。解：1080Xa=23X33X5Xa,又；1080=23义33义5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数。/. a必含质因数2、3,5,因此，a最小

26、为2X3X5。/.1080 X a=1080 X 2 X 3 X 5=1080 X 30=32400。答：a的最小值为30,这个完全平方数是32400。例11：360共有多少个约数？分析360=2、X 3? X 5为了求360有多少个约数，我们先来看3X5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别剩以1、2、22即得到23X3?X5(=360)的所有约数。为了求3X5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32,即得到3?bc,且 aXb+c=88,求 a, b, c.17,5,3提示：c小于9,否则aXb+c88。对c=2,3,5,7四种情况逐一试算。16、A是一

27、个质数，而且A+6, A+8, A+12, A+14都是质数。试求出一个满足要求的质数A。5提示：A+6, A+8, A+12, A+14分别与A+l, A+3, A+2, A+4除以5的余数相同。因为自然数除以5只有整除、余1、余2、余3、余4五种情况，原来的四个数都是大于5的质数，不应被5整除,只能是余1、余2、余3、余4,所以A=5。3.最大公因数、最小公倍数一、基础知识：约数和倍数：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。最大公约数：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个

28、自然数的最大公约数。自然数a” az,，a.的最大公约数通常用符号（a” a?,，an）表示，例如，（8,12）=4,（6,9,15）=3。最小公倍数：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a” az,，a”的最小公倍数通常用符号a” az,，aj表示,例如8,12=24,6,9,15=901二、基本性质的性质：1、两个数都除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个臼

29、然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以明5、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。6、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。三、基本方法：1、写出一个数的约数的方法：成对写出；2、求最大公约数基本方法：1）、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来：2）,短除法：先找公有的约数，然后相乘；3）、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数；3、求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法。从两个数的最大公约数出发分析：如果d是a、b的公约数，这d | a, d I bo则d的质因子应是a

30、和b的公有的，而a、b所有公有的质因子构成的数即为最大公约数。那么不难由质因子的互相归属关系得到下面的性质：如果c是a、b的公约数，d是a、b的最大公约数，则c是d的约数性质1不难对最小公倍数也做类似分析，则如果m是a、b的最小公倍数，则m的质因子恰好包括了 a、b的质因子.例1、用辗转相除法求（5890,6327）。答:19。例2、育才中学初一（3）班有男同学27人，女同学18人，全班同学去划船（每条船不超过6人），要保证每条船上男、女同学都分别相等，至少应该租几条船？解：（27,18）=9（条）答：至少要租9条船。例3、有320个苹果，240个橘子，200个梨，用这些水果最多可分成多少份同

31、样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、梨各有多少个？答：最多可分成40份同样的礼物每份礼发挥中有8个苹果，6个橘子，5个梨。例4、某车站有开往甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆，到乙地的汽车每隔20分钟开出一辆，到丙地的汽车每隔50分钟开出一辆。如果三种车的头班车都在早6时开出，那么，最近在什么时间开往这三地的汽车又一次同时从该站发车？答：11时。例5、加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析要使加工生产均衡，各道工序生

32、产的零件总数应是3、10和5的公倍数，要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。（3,10,5）=5X3X2=30/.各道工序也应加工30个零件。30+3=10（人）304-10=3（人）304-5=6（人）答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。例6、有一个数在700到800之间，用15、18和24去除。都不能整除。如果给这个数加1,就能同时被15,18和24整除。这个数是.解：这数加上1,是15,18,24的公倍数，因而是它们的最小公倍数15,18,24=360的倍数。由于这个数加个1在701到801之间，所以这个数是2X3

33、60-1=719。例7、有一盒糖，如果按每4块一堆分开，结果多出1块；按每5块一堆分开，也多出1块；按每6块一堆分开，还是多出1块。问：这盒糖至少有多少块？解：如果从何种拿走一块糖，那么剩下的糖分别按4块、5块、6块一堆分开，都是正好分完，即拿走一块后，剩下的块数，一定是4、5、6的公约数。由于题目的要求至少有多少块糖，所以应该是4、5、6的最小公倍数再加1。也就是说这盒糖至少有61块。例8、在被除数小于100的条件下，在方格中填上适当的数。,44口+口=55.口66解：604-14=44,604-11=55,604-9=66例9、四个连续自然数的最小公倍数是5460,这四个数的和是多少？54

34、600=22x3x5x7x 1312+13+14+15=54例10、两个数的最大公约数是15,最小公倍数是450,求这两个数的所有可能。解：15,45030,22515,15075,90例11用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：酗144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144,180,240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低

35、，所以分装的袋数应尽量多，应是144,180,240的最大公约数。2|1802402| J2901204364560121520所以（144,180,240）=2 X 2 X 3=12,艮晦60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60+12=5（元）。为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。例12用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498,450,414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。498-450=48,450-414=36,498-414=84所求数是（48,36,84）=12。例1

36、3现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？分析与解：只知道三个臼然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是im”入手分析。三个数的和是ini,它们的公约数一定是ini的约数。因为im=ioi X11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101,101和909。所以所求数是101。例14在一个30X24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点

37、（横线与竖线的交叉点）？分析与解：（30,24）=6,说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6X6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30+6） X （244-6）=5X4（个）小方格组成。在6X6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5X4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。所以，对角线共经过格点（30,24）-1=5（个）。例15甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？分析与解：甲、乙、丙走-圈分别需60秒、75秒和90秒，

38、因为要在起点相会，即三人都要走整圈数,所以需要的时间应是60,75,90的公倍数。所求时间为60,75,90=900（秒）=15（分）。例16爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。你知道爷爷和小明现在的年龄吗？分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5,4,3,2,1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6,5,4,3,2的公倍数。6,5,4,3,2=60,爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在小明的年龄=60+（7-1）=10（岁），爷爷的年龄=10X7=70（岁）。