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1、四川省射洪县射洪中学2020 届高三上学期毕业班第四次大联考试题数学（理）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合|32,|24Ax xnnZBxx，则AB（）A B1,2 C1 D22.i为虚数单位，复数21zi在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3下列命题是真命题的是（）.A命题11,:,11,:2002xRxpxRxp则B命题“若,a b c成等比数列，则2bac”的逆命题为真命题C命题“若(1)10 xxe，则0 x”的逆否命题为：“若0 x，则(1)10 xxe”
2、；D“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；4.二项式2nxxx的展开式中第7 项是常数项，则n的值是（）A8B9C10D115、已知曲线11(0 xyaa且1)a过定点,k b，若mnb且0,0mn，则41mn的最小值为（）.A92B9 C5 D526.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数学九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,n x的值分别为3,3.则输出v的值为（）A.15 B.16 C.47 D.48 7.函数2()1 sin1xf xxe图象的大致形
3、状是（）A B C D 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（）A.5B.6C.7D.229.已知函数2log2fxx，若在1,5上随机取一个实数0 x，则01fx的概率为()A35 B56 C57 D 6710若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为m,则m的范围是（）A2,B 2,C3,D 3,11 椭圆C：)0(12222babyax的左右焦点为1F,2F，过2F作x轴的垂线与C交于A，B两点，AF1与y轴相交于点D，若AFBD1，则椭圆C的离心率等于（）A13 B3 C 12 D 3312已知函数0,415210,2)(xxaxxxf，函数2
4、)(xxg，若函数)()(xgxfy有 4 个零点，则实数a的取值范围为（）A),5(B155,2 C 195,2 D195,2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13.曲线xxyln2在点（1，1）处的切线方程为14.已知抛物线)0(22ppxy的准线与圆16)3(22yx相切，则p的值为15已知三棱锥PABC满足平面PAB平面ABC，ACBC，4AB，030APB，则该三棱锥的外接球的表面积为 .16.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin:sin:sinln 2:ln 4:lnABCt，且2?CA CBmc，有下列结论：28t；229m；4t，ln
5、2a时，ABC的面积为215 ln28；当528t时，ABC为钝角三角形.其中正确的是（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（本小题满分12 分）已知na是等差数列，nb是等比数列，且22b，34b，11ab，65ab.（1）求na的通项公式；（2）设nnncab，求数列nc的前n项和nS.18（本小题满分12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2 cos2cAba（1）求角C；（2）若D是边BC的中点
6、，5,21ACAD.求AB的长；19（本小题满分12 分）如图，在多面体ABCDE 中，AE平面ABC，平面BCD平面ABC，ABC是边长为2 的等边三角形，5BDCD，2AE（1）证明：平面EBD平面BCD；（2）求平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值20（本小题满分12 分）射洪市某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年级一班共有学生30 人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括 175cm）定义为“合格”，成绩在 175cm以下（不包括 175cm）定义为“不合格”女生成绩在165cm以上（包括 165cm）定义为“合格”，成绩在165
7、cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”(1)求五年级一班的女生立定跳远成绩的中位数；(2)在五年级一班的男生中任意选取3 人，求至少有2 人的成绩是合格的概率；(3)若从五年级一班成绩“合格”的学生中选取2 人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望21（本小题满分12 分）已知函数1()sin02f xaxxaaRa，（1）讨论()f x 在0,2上的单调性.（2）当0a时，若()f x 在0,2上的最大值为1，讨论：函数()f x 在(0,)内的零点个数.（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22（
8、本小题满分10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线1C的参数方程为33623xtyt（其中t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos3sin.（1）求1C和2C的直角坐标方程；（2）设点0,2P，直线1C交曲线2C于,M N两点，求22PMPN的值.23（本小题满分10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函数2()8f xxax，()|1|1|g xxx（1）当0a时，求不等式)()(xgxf的解集；（2）若不等式()()f xg x的解集包含1,1，求实数a的取值范围答案一、选择题1-5 BDCBA 6-10
9、 DCBBA 11-12 DB 10钝角三角形三内角A、B、C的度数成等差数列，则3B，23AC，可设三个角分别为3A，3，3A()63A故31sin()cossin3tan322313tansin()cossin322AAAcAmaAAAA又63A，3tan33A 令tantA，且333t，则3(3)2 32 31333ttmttt因为函数2 313mt在3(3，3)上是增函数，2m，11 由题意可得，2(,)bA ca，2(,)bB ca，则点D为1F A的中点，2(0,)2bDa，由1BDF A，得11BDF Akk，即222212bbbaaacc，整理得232bac，223()2aca
10、c，23+230ee解得33e12分段讨论：当0 x时，()2xf x与2()g xx有两个交点(2,4),(4,16)，两个零点.要使()()yf xg x有 4 个零点,则当0 x时115()24f xa x与2()g xx有两个交点即可（如图）.过点115(,)24作2()(0)g xxx的切线，设切点为2(,)(0)m mm,则=2km切，即切线方程为22()ymm xm,把点115(,)24代入切线方程，得52m或32m,又0m，则52m，=2=5km切又1150024a，解得152a，所以实数a的取值范围是15(5,)2二、填空题13.320 xy.14.215【答案】64因为AC
11、BC，所以ABC的外心为斜边AB的中点，因为平面PAB平面ABC，所以三棱锥PABC的外接球球心在平面PAB上，即球心就是PAB的外心，根据正弦定理2sinABRAPB，解得4R，所以外接球的表面积为64.16.【答案】sin:sin:sinln 2:ln 4:lnABCt，:ln2:ln 4:lna b ct，故可设ln 2ak，ln 42 ln2bkk，lnckt，0k.bacba，ln 23 ln 2kck，则28t，当528t时，2220abc，故ABC为钝角三角形.面22ln522cos222222222ckcbaabcbaabCabCBCA，又2?CA CBmc，222222225
12、ln2?5ln21222kcCA CBkmccc.ln 23 ln 2kck，2222222255518ln222ln 2kkkkck，即22255ln 251822kc，229m.当4t，ln2a时，ABC的面积为215ln 24，故四个结论中，只有不正确.填。三、解答题17.【答案】（1）32nan；（2）23212nnn（1）32422bqb，11b即12nnb111ab，6516ab，6136 1aad32nan（2）1322nncn(132)12212nnnnS23212nnn18【答案】（1）3C；（2）19或 7；（1）2 cos2cAba，由正弦定理得2sincos2sinsi
13、nCABA，2sincos2sinsinCAACA（）-，2sincos2sincos2cossinsinCAACACA，2sincosin,sin0ACsAA，1cos2C，(),3CC0，（2）在ACD中，由余弦定理得2222cosADACCDACCDC221255CDCD,2540CDCD，1CD或4CD，当1CD时，2BCABC中，由余弦定理得2222cosABACBCACBCC12542 5221919AB，当4CD时，8BC,2222cosABACBCACBCC1256425 84927AB19AB或7AB.19【答案】（1）见解析（2）55证明：（1）取BC中点O，连结,AO D
14、O，5BDCD，DOBC，222DOCDOC，DO平面BCD，平面DBC平面ABCBC，平面BCD平面ABC，DO平面ABC，AE平面ABC，AEDO，又2DOAE，四边形AODE是平行四边形，EDAO，ABC是等边三角形，AOBC，AO平面ABC，平面BCD平面ABCBC，平面BCD平面ABC，AO平面BCD，ED平面BCD，ED平面EBD，平面EBD平面BCD（2）由（1）得AO平面BCD，AODO，又,DOBC AOBC，分别以,OB AO OD所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，则0,3,0,1,0,0,0,0,2()(,0,)3,2ABDE，平面ABC的一个法向量为0,0,
15、1n，设平面BED的一个法向量为,nx y z，(1,0,2),(1,3,2)BDBE，则20320n BDxzn BExyz，取2x，得2,0,1n，设平面BED与平面ABC所成锐二面角的平面角为，则|15cos5|5m nmn平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值为5520.【答案】(1)166.5cm(2)4255P(3)见解析解：(1)由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为165168166.5cm2(2)设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率：PP AP B，又男生共12 人，其中有8 人合格，从而1248312()P
16、 AC，38312()P BCC，所以4255P(3)因为合格的人共有18 人，其中有女生有10 人合格，男生有8 人合格，依题意，X的取值为0，1，2，则028102185(0)17C CP XC，118102182081021880(1)15328(2)153C CP XCC CP XC，因此，X的分布列如下：X0 1 2 P5178015328153580281368()012171531531539E X（人）或是，因为X服从超几何分布，所以88()2189E X（人）21.【答案】（1）0a，()f x 在02，单调递减；0a时，()f x 在02，单调递增；（1）()(sincos
17、)fxaxxx，当0a，(0)2x，时，()0fx，()f x 单调递减，当0,(0,)2ax时，()0fx，()f x 单调递增，综上得当0a，()fx 在02，单调递减；0a时，()fx 在02，单调递增；（2）由（1）知0a时()f x 的最大值为1()222faa由1122aa得2a，()2 sin1f xxx()f x 在0,2上单调递增；且(0)10f，()102f，()f x在(0,)2内有且仅有1 个零点.当,)2x时令()()2(sincos)g xfxxxx，()2(2cossin)0gxxxx，()g x在(,)2内单调递减，且()202g，()20g，存在0(,)2x，
18、使得0()0g x，0(,)2xx时，()0fx()f x 在0(,)2x单调递增0,)2xx时，()()102f xf()f x在0(,)2x上无零点，当0()xx，时，()0fx()f x 在0(,)x内单调递减；又0()0,()10f xf()f x在0(,)x内有且仅有1 个零点，22【答案】（1）1C:220 xy,2C:23xy（2）90（1）直线1C的参数方程为33623txyt（其中t为参数），消去t可得220 xy；由2cos3sin，得22cos3sin，则曲线2C的直角坐标方程为23xy.（2）将直线1C的参数方程33623xtyt代入23xy，得23 6180tt，设,M N对应的参数分别为12,t t，则121 23 618ttt t，222121 2290PMPNttt t.23【答案】（1）2 2,；（2）5,5.（1）2,1()112,112,1x xg xxxxx x，当0a时，2()8f xx()()f xg x，2821xxx或28211xx或2821xxx，12x或11x或21x，22x，不等式的解集为2 2,；（2）由（1）知，当11x时，()2g x不等式()()f xg x的解集包含1,1，282xax在1,1上恒成立，即260 xax在1,1上恒成立，22(1)60160aa，55a，a的取值范围为5,5