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1、北京市石景山区2020 届高三下学期统一测试（一模）试题数学第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.设集合 4321，P，,3|RxxxQ，则QP等于A.1B.1,2 3，C.3 4，D.3,2,1,0,1,2,32.在复平面内，复数5+6i,3-2i对应的点分别为A,B.若 C为线段 AB的中点，则点C 对应的复数是A.8+4iB.2+8iC.4+2iD.1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间0,上单调递减的是A.22yxB.2xyC.lnyxD.1yx4.圆2228130 xyxy的圆心到直线1
2、0axy的距离为1，则aA.43B.34C.3D.25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A.36B.64C.72D.816.如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A.2B.4C.5D.87.函数cos6fxx（0）的最小正周期为，则fx满足A.在0,3上单调递增B.图象关于直线6x对称11.已知向量13(,)22BA，3 1(,)22BC，则ABC_12.已知各项为正数的等比数列na中，11a，其前n项和为*nSnN，且123112aaa，则4S_C.332fD.当512x时有最小值
3、18.设na是等差数列，其前n项和为nS.则“132+2SSS”是“na为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设()f x是定义在R上的函数，若存在两个不等实数12,x xR，使得1212()()()22xxf xf xf，则称函数()f x具有性质P，那么下列函数：10()00 xf xxx；2()f xx；2()|1|f xx；具有性质P的函数的个数为A.0B.1C.2D.310.点MN，分别是棱长为2的正方体1111ABCDA BC D中棱1,BC CC的中点，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动.若1PA面AMN，则
4、1PA的长度范围是A.2,5B.3 2,52D1C1B1A1NMCDABPC.3 2,32D.2,313.能够说明“设,a b是任意非零实数，若“ab，则11ab”是假命题的一组整数,a b的值依次为 _14.已知F是抛物线C:24yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，则FN_15.石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13 名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：有中学高级教师；中学教师不多于小学教师；小学高级教师少于中学中级教师；小学中级教师少于小学高级教师；支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中
5、学中级、中学高级；无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_、_三、解答题共6 小题，共85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题14 分）如图，在正四棱锥PABCD中，2 2ABPB，ACBDOOPCDAB（）求证：BO面PAC；（）求二面角APCB的余弦值17.（本小题14 分）2020 年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考
6、方案待确定例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案某校为了解高一年级840 名学生选考科目的意向，随机选取60 名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有16 人16 16 8 4 2 2 选考方案待确定的有12 人8 6 0 2 0 0 女生选考方案确定的有20 人6 10 20 16 2 6 选考方案待确定的有12 人2 8 10 0 0 2()估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？()从选考方案确定的16 名男生中随机选出2 名，求
7、恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（）从选考方案确定的16 名男生中随机选出2 名，设随机变量两名男生选考方案相同两名男生选考方案不同10，求的分布列和期望.18.（本小题14 分）已知锐角ABC，同时满足下列四个条件中的三个：3A13a15c1sin3C()请指出这三个条件，并说明理由；()求ABC的面积.19.（本小题15 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点为(1,0)F，离心率为22.直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两个交点,A B，线段AB的中点为M.（）求椭圆C的方程；（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四
8、边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率20.（本小题14 分）已知函数2()(0),()ln(0)f xxxg xax a（）若()()f xg x恒成立，求实数a的取值范围；（）当1a时，过()f x上一点1 1（，）作()g x的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由21.（本小题14 分）有限个元素组成的集合,21naaaA，*Nn，记集合A中的元素个数为()card A，即()card An.定 义|,AAxy xA yA，集 合AA中 的 元 素 个 数 记 为(+)card A A,当(1)(+)=2n ncard A A时，称集合A具有性质P.()7,4,1A，8,4,
9、2B，判断集合BA,是否具有性质P，并说明理由；（）设集合2020,321aaaA，2020321aaa且)3,2,1(*iNai，若集合A具有性质P，求321aaa的最大值；（）设集合,21naaaA，其中数列na为等比数列，),2,1(0niai且公比为有理数，判断集合集合A是否具有性质P并说明理由.一、选择题：本大题共10 个小题，每小题4 分，共 40 分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B C D A A B D C C B 二、填空题：本大题共5 个小题，每小题5 分，共 25 分116；1215；1321，-；答案不唯一143；15.小学中级三、解答题：本大题共6
10、 个小题，共85 分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题14 分）（）证明：联结PO在正四棱锥PABCD中，PO底面ABCD因为BO平面ABCD，所以POBO 3 分在正方形ABCD中，BOAC，又因为POACO，所以BO面PAC 6 分（）解：由（）知，PO，AO，BO两两垂直，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.7 分在正方形ABCD中，因为2 2AB，所以2AO又因为2 2PB，所以2PO所以点P的坐标为(0,0,2)P，点C的坐标为(2,0,0)C，点B的坐标为(0,2,0)B 8 分则(2,0,2)PC，(2,2,0)CB 9 分由（）知，BO平面PAC所以平面
11、PAC的一个法向量为1(0,2,0)nOB 10 分设平面PBC的一个法向量2(,)nx y z则220,0,nPCn CB即220,220.xzxy令1y，则1x，1z故平面PBC的一个法向量2(1,1,1)n 13 分1212123cos,3|nnnnnn所以二面角APCB的余弦值为33 14 分17.（本小题14 分）解：()由数据知，60 人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20=28 人 1 分所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有3926028840人 4 分 ()选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8 人。5 分设“恰好有一人选物理、化学、生物”
12、为事件A 6 分158)(2161818CCCAp 8 分（）由数据可知，选考方案确定的男生中有8 人选择物理、化学和生物；有 4 人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治.9 分的可能取值为10，.107)0(216121214141818CCCCCCCP103)1(21622222428CCCCCP 12 分所以的分布列为：0 1 P10710310310311070E 14 分18.（本小题14 分）解：（）ABC同时满足，3 分理由如下：若ABC同时满足，则在锐角ABC中，11sin32C，所以06C又因为3A,所以A+32C所以2B,这与ABC是
13、锐角三角形矛盾，所以ABC不能同时满足,，6 分所以ABC同时满足，.7 分因为ca所以CA若满足则6AC,则2B,这与ABC是锐角三角形矛盾故ABC不满足.9 分故ABC满足，（）因为2222cosabcbcA，1 0 分所以222113152152bb解得8b或7b 12 分当7b时，22271315cos02713C所以C为钝角，与题意不符合，所以8b 13 分所以ABC的面积1sin30 32SbcA 14 分19.（本小题15 分）解：（）由已知1c，22cea，2 分又222abc，解得2,1ab 4 分所以椭圆方程为2212xy.5 分（）设直线l的方程为(1)(0)yk xk联
14、立22(1)(120)ykkxxy消去y得2222(21)4220kxk xk，不妨设1122(,),(,)A x yB xy 7 分则2122421kxxk，因为M为线段AB的中点所以21222221Mxxkxk，2(1)21MMkyk xk 8 分所以12MOMMykxk 9 分所以1122OMlkkkk为定值.10 分（）若四边形OAPB为平行四边形,则OAOBOP 12 分所以2122421Pkxxxk12121222(1)(1)(2)21Pkyyyk xk xk xxk 13 分因为点P在椭圆上，所以2222242()2()22121kkkk 14 分解得212k即22k所以当四边形
15、OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为22k.15 分20.（本小题14 分）.解：（）令2(=()()ln(0)h xf xg xxax x）1 分所以222()=2axah xxxx令222()=0 xah xx，解得2ax.3 分当x变化时，(),()h xh x 的变化情况如下表：x(0,)2a2a(,)2a()h x0+()h x减极小值增 5 分所以在(0,)的最小值为()lnln222222aaaaaaha 6 分令()02ah解得02ae.所以当02ae时，()0h x恒成立，即()()f xg x恒成立.7 分（）可作出2 条切线.8 分理由如下：当1a时，()lng xx.
16、设过点1 1（，）的直线l与()lng xx相切于点00(,)P xy，9 分则0001()1yg xx即000ln111xxx整理得000ln210 xxx 10 分令()ln21m xxxx，则()m x在(0,)上的零点个数与切点P的个数一一对应.()ln1m xx，令()ln10m xx解得xe.11 分当x变化时，(),()m xm x 的变化情况如下表：x(0,)ee(,)e()mx0+()m x减极小值增所以()m x在(0,)e 上单调递减，在(,)e上单调递增.且2222211124()ln110meeeee()ln2110m eeeee2222()ln2110m eeee
17、13 分所以()m x在21(,)ee和2(,)e e上各有一个零点，即ln210 xxx有两个不同的解.所以过点1 1（，）可作出lnyx的 2 条切线.14 分21.（本小题14 分）解：()集合A不具有性质P，集合B具有性质P.14,11,8,5,2AA,3(3 1)(+)=52card A A不具有性质P;16,12,10,8,6,4BB,3(31)(+)=62card B B,具有性质P.3 分（）若三个数cba,成等差数列，则,cbaA不具有性质P，理由是bca2.因为2020321aaa且)3,2,1(*iNai所以20193a，要使321aaa取最大，则20193a；20182
18、a，易知,20202018,2019不具有性质P，要使321aaa取最大，则20172a；20161a，要使321aaa取最大，检验可得20131a；6049)max321aaa（8 分（）集合A具有性质P.设等比数列的公比为为q，所以)0111aqaann（且q为有理数，假设当jlki时有lkjiaaaa成立，则有1ilikijqqq 10 分因为q为有理数，设),(*Nnmnmq且（nm,互质），因此有1)()()ilikijnmnmnm（即ijljilkjikijnnmnmm（1），（1）式左边是m的倍数，右边是n的倍数，又nm,互质，显然lkjiaaaa不成立.12 分所以2)1()(21nnCCAAcardnn，所以集合A具有性质P.14 分