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1、北京市昌平区2020 届高三下学期第二次统一练习（二模）试题数学第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合21,2,1,0,1,2AxxB，则集合AB（A）0（B）10，（C）0,1（D）1,0,1（2）在复平面内，复数i(i)a对应的点的坐标为(12)，则实数a（A）1（B）1（C）2（D）2（3）在52x的展开式中，2x的系数为（A）40（B）40（C）80（D）80（4）已知向量(,1)ta，(1,2)b.若ab，则实数t的值为（A）2（B）2（C）12（D）12（5）设0.30.51
2、2,(),ln 22abc，则（A）cba（B）cab（C）abc（D）bac（6）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是俯视图左视图主视图2222（A）4（B）8（C）2 6（D）4 6（7）已知点P是双曲线22:14yCx的一条渐近线(0)ykx k上一点，F是双曲线C的右焦点，若OPF的面积为5，则点P的横坐标为（A）5（B）5（C）2 5（D）2 5（8）已知函数()sin(0)f xx，则“函数()f x 在 2,63上单调递增”是“02”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）点 P 在函数exy的图象上.
3、若满足到直线yxa的距离为2的点 P 有且仅有3 个，则实数a 的值为（A）2 2（B）2 3（C）3（D）4（10）一次数学考试共有8 道判断题，每道题5 分，满分40 分.规定正确的画，错误的画.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m的值为题号学生1 2 3 4 5 6 7 8 得分（A）35（B）30（C）25（D）20第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。(11)已知1a，则4+1aa的最小值为 _.（12）设na是等差数列，且13a，12nnaa，则数列na的前 n 项和nS（13）已知点M在抛物线24yx上，若以点M为圆
4、心的圆与x轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为 _.（14）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点(,1)Mx在角的终边上.若1sin3，则sin_；x_.（15）曲线C:2222(1)(1)3xyxy,点P在曲线C上给出下列三个结论：曲线C关于y轴对称；曲线C上的点的横坐标的取值范围是 2,2；若(1,0)A,(1,0)B，则存在点P,使PAB的面积大于32.其中，所有正确结论的序号是_注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5 分，不选或有错选得0 分，其他得3分。三、解答题共6 小题，共85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
5、。（16）（本小题 14 分）甲30 乙25 丙25 丁m 在ABC中，3 cossin.aBbA（）求B；（）若2b，2ca,求ABC的面积.(17)（本小题14 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，2PAADCD，3BC，2 3PC，E为PB中点，_，求证：四边形ABCD是直角梯形，并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.从CDBC；/BC平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.EDCBAP（18）（本小题 14 分）为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上
6、指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100 名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在2,3)3,4)4,5)8,9)9,10)，（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.频率/组距小时/天00.32a0.180.10.050.030.021098765432（）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在5,6)的概率；（）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现
7、从抽取的100 名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在2,3)和8,9）的人中任选3 人，求其中在8,9)的人数X的分布列和数学期望；（III）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100 名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）（19）（本小题 15 分）已知椭圆:M22221(0)xyabab的离心率为55，椭圆M与y轴交于,A B 两点(A在下方)，且|4AB过点(0,1)G的直线l与椭圆M交于,C D 两点（不与A重合）（）求椭圆M的方程；（）证明：直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值（20）（本小题 14 分）已
8、知函数31(),.3f xxaxa aR（）当1a时，求曲线()yf x在点(0 1)，处的切线方程；（II）求函数()yf x的单调区间；（III）当(0,2)x时，比较()f x与|1|a的大小.（21）（本小题 14 分）已知有限数列na，从数列 na中选取第1i 项、第2i 项、第mi项12()miii，顺次排列构成数列 kb，其中kkiba，1km，则称新数列kb为 na的长度为m的子列规定：数列na的任意一项都是 na的长度为 1 的子列若数列na的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列na为完全数列设数列 na满足,125,nannn*N.（）判断下面数列na的两个子列是否为完全
9、数列，并说明由；数列：3,5,7,9,11；数列：2,4,8,16（）数列na的子列 kb长度为m，且 kb为完全数列，证明：m的最大值为6；（）数列na的子列 kb长度5m，且 kb为完全数列，求1234511111bbbbb的最大值一、选择题（共10 小题，每小题4 分，共 40 分）二、填空题（共5 小题，每小题5 分，共 25 分）（11）5（12）24nSnn（13）5（14）13；2 2（15）（注：第 14 题第一空3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得5 分，不选或有错选得0分，其他得3 分.）三、解答题共6 小题，共85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（16
10、）（本小题满分14 分）解：（）在ABC中，由正弦定理，因为3 cossinaBbA，所以3sincossinsin.ABBA.2分因为sin0A，所以3 cossin.BB所以tan3.B.4分因为0B，所以3B.6分（）因为2b，2ca，由余弦定理2222cosbacacB可得22144222aaaa.8分所以2 34 3,.33ac.12 分所以112 343323sin223323ABCSacB.14分（17）（本小题满分14 分）解 1；选择因为PA平面ABCD，所以PAAD，PACD.1分因为2PAADCD，所以2 2PD.因为2 3PC，所以222CDPDPC.所以CDPD.4分
11、因为PAPDP，所以CD平面PAD.6分所以CDAD.因为CDBC，所以/ADBC.7分所以四边形ABCD是直角梯形.解 2；选择因为PA平面ABCD，所以PAAD，PACD.1分MzyxPABCDE因为2PAADCD，所以2 2PD.因为2 3PC，所以222CDPDPC.所以CDPD.4分因为PAPDP，所以CD平面PAD.所以CDAD.6分因为/BC平面PAD，BC平面ABCD，平面PAD平面=ABCD AD，所以/BCAD.所以四边形ABCD是直角梯形.7分过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD，所以,PAAM PAAD.8分如图建立空间直角坐标系Axyz.9分则(0,0,
12、0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)ACDP.因为E为PB中点，所以1(1,1)2E.所以1(1,1),(2,2,2),(0,2,2)2AEPCPD.10分设平面PCD的法向量为(,)nx y z，则0,0.n PCn PD即2220,220.xyzyz.11分令1,y则1,0zx.于是(0,1,1)n.12分设直线AE与平面PCD所成的角为，所以11 1 122sin|cos,|36|22n AEn AEnAE.所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为26.14分(18)（本小题满分14 分）解：（）因为(0.05+0.1+0.18+0.320.10.030.02)11a，所
13、以0.2a.2分因为0.2 1 100=20，所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在5,6)的学生有20人.3 分所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在5,6)的概率为20=0.2100.5分（）由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在2,3)和8,9)的人分别有5 人和3人.6分所以X的所有可能取值为0,1,2,3.7分35385(0)28CP XC，21533815(1)28C CP XC,12533815(2)56C CP XC，33381(3)56CP XC.9 分所以X的分布列为X0123P52815281556156所以X的期望51
14、51519()0123282856568E X.11分（III）样本中的100 名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在5,6).14 分(19)（本小题满分15 分）解：（）由题意得2225,524,cababc解得5,2,1.abc.3分即椭圆的方程为22154xy.5分（）法一由题意，直线l的斜率存在.当0k时，直线l的方程为1y.代入椭圆方程有152x.则1515(,1),(,1)22CD.所以216216,.1515151522ACADkk所以6612.51515ACADkk.8分当0k时，则直线l的方程为1ykx由221,154ykxxy，得22(45)10150kxkx.
15、9分设11(,)C xy，22(,)D xy，则1212221015,4545kxxx xkk 10 分又(0,2)A，所以112ACykx，222ADykx.11分因为1212121222(3)(3)ACADyykxkxkkxxx x21212123()9k x xk xxx x212123()9k xxkx x222222103()93036451245.1515545kkkkkkkk即直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值.15分法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为1ykx.6分由221,154ykxxy，得22(45)10150kxkx.7分设11(,)C xy，22(,)D x
16、y，则1212221015,4545kxxx xkk.9分又(0,2)A，所以112ACykx，222ADykx.11分因为1212121222(3)(3)ACADyykxkxkkxxx x21212123()9k x xk xxx x212123()9k xxkx x222222103()93036451245.1515545kkkkkkkk即直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值.15分(20)（本小题满分14 分）解：（）当1a时，31()1.3f xxx因为2()1fxx，.1分所以(0)1f.2分所以曲线()yf x在点(01)，处的切线方程为10 xy.4分（II）定义域为R.因
17、为2(),.fxxa aR当0a时，()0fx恒成立.所以函数()yfx在(-,+)上单调递增.5分当0a时，()0fx恒成立.所以函数()yfx在(-,+)上单调递增.6分当0a时，令()0fx，则xa或xa.7分所以当()0fx时，xa或xa；当()0fx时，axa.8分所以函数()yfx在(,)a和)a（，上单调递增，在(,)aa上单调递减.9分综上可知，当0a时，函数()yf x在(-,+)上单调递增；当0a时，函数()yf x在(,)a和)a（，上单调递增，在(,)aa上单调递减.（III）法一：由（）可知，（1）当0a时，函数()yf x在(-,+)上单调递增；所以当(0,2)x时
18、，min()(0).fxfa因为|1|=(1)1aaa，所以()|1|f xa.10分（2）当0a时，函数()yf x在(,)a和)a（，上单调递增，在(,)aa上单调递减.当01a，即01a时，|1|0a.所以当(0,2)x时，函数()yf x在(0,)a上单调递减，2)a（，上单调递增，min()()fxfa31()+3aa aa2(+1)03aa所以()|1|f xa.11分当12a，即14a时，|1|=10aa.由上可知min()()fxfa2(1)3aa，因为22(1)(1)2133aaaaaa，设2()21,(14)3xxg xxx.因为()20g xx，所以()g x在(1,4)
19、上单调递增.所以1()(1)03g xg.所以22(1)(1)21033aaaaaa所以()|1|f xa.13分当2a，即4a时，|1|=10aa.因为函数()yf x在(0,)a上单调递减，所以当(0,2)x时，min8()(2)13fxfaa.所以()|1|f xa.综上可知，当(0,2)x时，()|1|f xa.14分（III）法二：因为()(|1|)()|1|f xaf xa，当1a时，因为(0,2)x，所以axx.所以3311()|1|=()11133f xaf xaxaxxx.10分当1a时，()|1|=()1fxaf xa331121(2)133xaxaxax因为(0,2)x，
20、所以(2)(2)axx.所以333111()|1|(2)1(2)11333f xaxaxxxxx.11分设31()13g xxx.因为2()1(1)(1)gxxxx，所以当()0gx时，1x或1x，当()0gx时，11x.12分所以()g x在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增.13 分所以min1()(1)03gxg.所以当(0,2)x时，()|1|f xa.14分(21)（本小题满分14 分）解：（）数列不是na的完全数列；数列是na的完全数列.2分理由如下：数列：3,5,7,9,11 中，因为3+9=5+7=12，所以数列不是na的完全数列；数列：2,4,8,16 中，所有项的
21、和都不相等，数列是na的完全数列.4分（）假设数列kb长度为7m，不妨设7m=，各项为1237bbbb 考虑数列 kb的长度为 2,3,7 的所有子列，一共有7217120个记数列 kb的长度为 2,3,7 的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a，最大值为A.所以12abb，12122524232221115Abbbb所以其中必有两个子列的所有项之和相同所以假设不成立再考虑长度为6 的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意.所以子列 kb的最大长度为6.9分（）数列 na的子列 kb长度5m，且 kb为完全数列，且各项为1235bbbb 所以，由题意得，这5 项中任意 i(
22、15)i项之和不小于21i即对于任意的15i，有1221iibbb，即1121242iibbb.对于任意的15i，112(1)(2)(20iibbb-)，设12iiicb（(1,2,3,4,5)i），则数列 ic的前 j 项和0jD(1,2,3,4,5)j下面证明：12345111111111124816bbbbb因为123451111111111)(24816bbbbb()12345111111111(1)()()()(24816bbbbb)351241234541612824816bbbbbbbbbb3243541211234524816DDDDDDDDDbbbbb5123412233445511111111()()()()02244881616DDDDDbbbbbbbbb，所以123451111111113112481616bbbbb，当且仅当12iib(1,2,3,4,5)i时，等号成立所以1234511111bbbbb的最大值为3116.14分