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1、第 1 页 共 18 页2021 年中考数学复习题：考点26 菱形一选择题（共4 小题）1（十堰）菱形不具备的性质是（）A四条边都相等B对角线一定相等C是轴对称图形D是中心对称图形【分析】根据菱形的性质即可判断；【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B2（哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，BD=8，tanABD=，则线段 AB的长为（）AB2 C 5 D10【分析】根据菱形的性质得出AC BD，AO=CO，OB=OD，求出 OB，解直角三角形求出 AO，根据勾股定理求出AB即可【解答】解：四边形ABCD是菱形，A
2、C BD，AO=CO，OB=OD，AOB=90 ，BD=8，OB=4，tanABD=，AO=3，在 RtAOB中，由勾股定理得：AB=5，故选：C第 2 页 共 18 页3（淮安）如图，菱形ABCD的对角线 AC、BD的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是（）A20 B24 C 40 D48【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且 AOBO，则 AB=5，故这个菱形的周长L=4AB=20 故选：A4（贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是 AC的中点，EF CB，交 AB于点 F，如果
3、 EF=3，那么菱形 ABCD的周长为（）A24 B18 C 12 D9【分析】易得 BC长为 EF长的 2 倍，那么菱形 ABCD的周长=4BC问题得解【解答】解：E是 AC中点，EF BC，交 AB于点 F，第 3 页 共 18 页EF是ABC的中位线，EF=BC，BC=6，菱形 ABCD的周长是 46=24故选：A二填空题（共6 小题）5（香坊区）已知边长为5 的菱形 ABCD中，对角线 AC长为 6，点 E在对角线BD上且 tanEAC=，则 BE的长为3 或 5【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可【解答】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1 所示：菱形 ABCD中，边长为
4、5，对角线 AC长为 6，AC BD，BO=，tanEAC=，解得：OE=1，BE=BO OE=4 1=3，当点 E在对角线交点左侧时，如图2 所示：菱形 ABCD中，边长为 5，对角线 AC长为 6，AC BD，BO=，第 4 页 共 18 页tanEAC=，解得：OE=1，BE=BO OE=4+1=5，故答案为：3 或 5；6（湖州）如图，已知菱形 ABCD，对角线 AC，BD相交于点 O若 tanBAC=，AC=6，则 BD的长是2【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC BD，OA=AC=3，BD=2OB 再解 RtOAB，根据 tanBAC=，求出 OB=1，那么 BD=2【解答
5、】解：四边形ABCD是菱形，AC=6，AC BD，OA=AC=3，BD=2OB 在 RtOAB中，AOD=90，tanBAC=，OB=1，BD=2 故答案为 27（宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2，B 是锐角，AEBC于点 E，M 是AB的中点，连结MD，ME若 EMD=90 ，则 cosB的值为第 5 页 共 18 页【分析】延长 DM 交 CB的延长线于点 H首先证明 DE=EH，设 BE=x，利用勾股定理构建方程求出x 即可解决问题【解答】解：延长DM 交 CB的延长线于点 H四边形 ABCD是菱形，AB=BC=AD=2，ADCH，ADM=H，AM=BM，AMD=HMB，ADMBH
6、M，AD=HB=2，EMDH，EH=ED，设 BE=x，AE BC，AE AD，AEB=EAD=90 AE2=AB2BE2=DE2AD2，22x2=（2+x）222，x=1 或1（舍弃），cosB=，故答案为8（广州）如图，若菱形 ABCD的顶点 A，B的坐标分别为（3，0），（2，0），点 D 在 y 轴上，则点 C的坐标是（5，4）第 6 页 共 18 页【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出 C点坐标【解答】解：菱形ABCD的顶点 A，B 的坐标分别为（3，0），（2，0），点 D 在 y 轴上，AB=5，AD=5，由勾股定理知：OD=4，点 C的坐标是：（5，4）故答
7、案为：（5，4）9（随州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形 OABC的边长为 2，点 A 在第一象限，点 C在 x 轴正半轴上，AOC=60 ，若将菱形 OABC绕点 O 顺时针旋转 75，得到四边形 OA BC，则点 B的对应点 B 的坐标为（，）【分析】作 BH x 轴于 H点，连结 OB，OB ，根据菱形的性质得到 AOB=30 ，再根据旋转的性质得 BOB=75，OB=OB=2，则AOB=BOB AOB=45 ，所以 OBH为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B H=，然后根据第四象限内点的坐标特征写出B 点的坐标第 7 页 共 18 页【解答】解：作 BH x
8、 轴于 H点，连结 OB，OB ，如图，四边形 OABC为菱形，AOC=180 C=60 ，OB平分 AOC，AOB=30 ，菱形 OABC绕原点 O顺时针旋转 75 至第四象限 OA BC 的位置，BOB=75，OB=OB=2，AOB=BOB AOB=45 ，OBH为等腰直角三角形，OH=B H=OB=，点 B 的坐标为（，）故答案为：（，）10（黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件AB=BC或 AC BD使平行四边形 ABCD是菱形【分析】根据菱形的判定方法即可判断【解答】解：当 AB=BC或 ACBD时，四边形 ABCD是菱形故答案为 AB=BC或 ACBD三解答题（共10
9、小题）11（柳州）如图，四边形 ABCD是菱形，对角线 AC，BD相交于点 O，且 AB=2（1）求菱形 ABCD的周长；（2）若 AC=2，求 BD的长第 8 页 共 18 页【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可【解答】解：（1）四边形 ABCD是菱形，AB=2，菱形 ABCD的周长=24=8；（2）四边形 ABCD是菱形，AC=2，AB=2AC BD，AO=1，BO=，BD=212（遂宁）如图，在?ABCD中，E，F 分别是 AD，BC上的点，且 DE=BF，ACEF 求证：四边形 AECF是菱形【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形
10、是菱形即可证明；【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，ADBC，DE=BF，AE=CF，AE CF，四边形 AECF是平行四边形，AC EF，四边形 AECF是菱形13（郴州）如图，在?ABCD中，作对角线 BD的垂直平分线 EF，垂足为 O，分第 9 页 共 18 页别交 AD，BC于 E，F，连接 BE，DF求证：四边形 BFDE是菱形【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出DOE BOF，得到 OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形【解答】证明：在
11、?ABCD中，O为对角线 BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOE BOF（ASA）；OE=OF，又OB=OD，四边形 EBFD是平行四边形，EF BD，四边形 BFDE为菱形14（南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，C=2BADO是四边形 ABCD内一点，且 OA=OB=OD 求证：（1）BOD=C；（2）四边形 OBCD是菱形第 10 页 共 18 页【分析】（1）延长 AO到 E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；（2）连接 OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可【解答】证明：（1）延长 OA到 E，OA=OB，ABO=BAO，又BOE
12、=ABO+BAO，BOE=2 BAO，同理 DOE=2 DAO，BOE+DOE=2 BAO+2DAO=2（BAO+DAO）即BOD=2 BAD，又C=2 BAD，BOD=C；（2）连接 OC，OB=OD，CB=CD，OC=OC，OBC ODC，BOC=DOC，BCO=DCO，BOD=BOC+DOC，BCD=BCO+DCO，BOC=BOD，BCO=BCD，又BOD=BCD，BOC=BCO，BO=BC，又 OB=OD，BC=CD，OB=BC=CD=DO，四边形 OBCD是菱形第 11 页 共 18 页15（呼和浩特）如图，已知A、F、C、D 四点在同一条直线上，AF=CD，ABDE，且 AB=DE
13、（1）求证：ABC DEF；（2）若 EF=3，DE=4，DEF=90 ，请直接写出使四边形EFBC为菱形时 AF的长度【分析】（1）根据 SAS即可证明（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题；【解答】（1）证明：ABDE，A=D，AF=CD，AF+FC=CD+FC，即 AC=DF，AB=DE，ABC DEF（2）如图，连接 AB交 AD 于 O在 RtEFD中，DEF=90 ，EF=3，DE=4，DF=5，四边形 EFBC 是菱形，BE CF，EO=，第 12 页 共 18 页OF=OC=，CF=，AF=CD=DF FC=5=16（内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E
14、，F分别是 AB，BC上的点，AE=CF，并且 AED=CFD 求证：（1）AED CFD；（2）四边形 ABCD是菱形【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论；（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论【解答】（1）证明：四边形 ABCD是平行四边形，A=C在AED与CFD中，AED CFD（ASA）；（2）由（1）知，AED CFD，则 AD=CD 又四边形 ABCD是平行四边形，四边形 ABCD是菱形17（泰安）如图，ABC中，D 是 AB上一点，DEAC于点 E，F是 AD的中点，FG BC于点 G，与 DE交于点 H，若 FG=AF，AG平分 CAB，连接 GE，CD第
15、 13 页 共 18 页（1）求证：ECG GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC 请你帮助小亮同学证明这一结论（3）若 B=30 ，判定四边形 AEGF是否为菱形，并说明理由【分析】（1）依据条件得出 C=DHG=90，CGE=GED，依据 F是 AD的中点，FG AE，即可得到 FG是线段 ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，CGE=GDE，利用 AAS即可判定 ECG GHD；（2）过点 G 作 GP AB 于 P，判定 CAG PAG，可得 AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到 RtECG RtGPD，依据 EC=PD，即可得出 AD=AP+PD=AC+EC；（
16、3）依据 B=30 ，可得 ADE=30 ，进而得到 AE=AD，故 AE=AF=FG，再根据四边形 AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形【解答】解：（1）AF=FG，FAG=FGA，AG平分CAB，CAG=FGA，CAG=FGA，AC FG，DE AC，FG DE，FG BC，DE BC，AC BC，C=DHG=90 ，CGE=GED，F是 AD的中点，FG AE，H是 ED的中点，第 14 页 共 18 页FG是线段 ED的垂直平分线，GE=GD，GDE=GED，CGE=GDE，ECG GHD；（2）证明：过点 G 作 GP AB于 P，GC=GP，而 AG=AG，CAG P
17、AG，AC=AP，由（1）可得 EG=DG，RtECG RtGPD，EC=PD，AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形 AEGF是菱形，证明：B=30 ，ADE=30 ，AE=AD，AE=AF=FG，由（1）得 AE FG，四边形 AECF是平行四边形，四边形 AEGF是菱形18（广西）如图，在?ABCD中，AE BC，AFCD，垂足分别为 E，F，且 BE=DF（1）求证：?ABCD是菱形；（2）若 AB=5，AC=6，求?ABCD的面积第 15 页 共 18 页【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；（2）连接 BD交 AC于 O，利用勾股定理求出对角线的长即可解
18、决问题；【解答】（1）证明：四边形 ABCD是平行四边形，B=D，AE BC，AFCD，AEB=AFD=90 ，BE=DF，AEB AFDAB=AD，四边形 ABCD是平行四边形（2）连接 BD交 AC于 O四边形 ABCD是菱形，AC=6，AC BD，AO=OC=AC=6=3，AB=5，AO=3，BO=4，BD=2BO=8，S平行四边形ABCD=AC BD=2419（扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点 F 是 AB 的中点，连接DF并延长，交 CB的延长线于点 E，连接 AE 第 16 页 共 18 页（1）求证：四边形 AEBD是菱形；（2）若 DC=，tanDCB=3，求
19、菱形 AEBD的面积【分析】（1）由AFD BFE，推出 AD=BE，可知四边形 AEBD是平行四边形，再根据 BD=AD可得结论；（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；【解答】（1）证明：四边形 ABCD是平行四边形，ADCE，DAF=EBF，AFD=EFB，AF=FB，AFD BFE，AD=EB，ADEB，四边形 AEBD是平行四边形，BD=AD，四边形 AEBD是菱形（2）解：四边形 ABCD是平行四边形，CD=AB=，ABCD，ABE=DCB，tanABE=tan DCB=3，四边形 AEBD是菱形，ABDE，AF=FB，EF=DF，tanABE=3，BF=，EF=，DE=3，第
20、 17 页 共 18 页S菱形AEBD=?AB?DE=?3=1520（乌鲁木齐）如图，在四边形ABCD中，BAC=90 ，E是 BC的中点，ADBC，AE DC，EF CD于点 F（1）求证：四边形 AECD是菱形；（2）若 AB=6，BC=10，求 EF的长【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可【解答】证明：（1）ADBC，AE DC，四边形 AECD是平行四边形，BAC=90 ，E是 BC的中点，AE=CE=BC，四边形 AECD是菱形；（2）过 A 作 AHBC于点 H，BAC=90 ，AB=6，BC=10，AC=，第 18 页 共 18 页，AH=，点 E是 BC的中点，BC=10，四边形 AECD是菱形，CD=CE=5，S?AECD=CE?AH=CD?EF，EF=AH=