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1、第 1 页 共 16 页2021 年中考数学复习题:考点27 正方形一选择题(共4 小题)1(无锡)如图,已知点 E是矩形 ABCD的对角线 AC上的一动点,正方形 EFGH的顶点 G、H 都在边 AD上,若 AB=3,BC=4,则 tanAFE的值()A等于B等于C等于D随点 E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF AD,由该平行线的性质推知 AEHACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答【解答】解:EF AD,AFE=FAG,AEH ACD,=设 EH=3x,AH=4x,HG=GF=3x,tanAFE=tan FAG=故选:A2(宜昌)如图,正方形 ABCD的边长
2、为 1,点 E,F分别是对角线 AC上的两点,EG ABEIAD,FH AB,FJ AD,垂足分别为G,I,H,J则图中阴影部分的面积等于()第 2 页 共 16 页A1 BC D【分析】根据轴对称图形的性质,解决问题即可;【解答】解:四边形ABCD是正方形,直线 AC是正方形 ABCD的对称轴,EG ABEIAD,FHAB,FJ AD,垂足分别为 G,I,H,J 根据对称性可知:四边形EFHG的面积与四边形 EFJI的面积相等,S阴=S正方形ABCD=,故选:B3(湘西州)下列说法中,正确个数有()对顶角相等;两直线平行,同旁内角相等;对角线互相垂直的四边形为菱形;对角线互相垂直平分且相等的
3、四边形为正方形A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个【分析】根据对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质,可得答案【解答】解:对顶角相等,故正确;两直线平行,同旁内角互补,故错误;对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故错误;对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故正确,故选:B4(张家界)下列说法中,正确的是()A两条直线被第三条直线所截,内错角相等B对角线相等的平行四边形是正方形C相等的角是对顶角D角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平第 3 页 共 16 页分线性质逐个判断即可【解答】解:A、两条平行线被第
4、三条直线所截,内错角才相等,错误,故本选项不符合题意;B、对角线相等的四边形是矩形,不一定是正方形,错误,故本选项不符合题意;C、相等的角不一定是对顶角,错误,故本选项不符合题意;D、角平分线上的点到角的两边的距离相等,正确,故本选项符合题意;故选:D二填空题(共7 小题)5(武汉)以正方形ABCD的边 AD 作等边 ADE,则BEC的度数是30 或150【分析】分等边 ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得【解答】解:如图1,四边形 ABCD为正方形,ADE为等边三角形,AB=BC=CD=AD=AE=DE,BAD=ABC=BCD=ADC=90 ,AED=ADE=DAE=60 ,BAE
5、=CDE=150 ,又 AB=AE,DC=DE,AEB=CED=15 ,则BEC=AED AEB CED=30 如图 2,第 4 页 共 16 页ADE是等边三角形,AD=DE,四边形 ABCD是正方形,AD=DC,DE=DC,CED=ECD,CDE=ADC ADE=90 60=30,CED=ECD=(180 30)=75,BEC=360 75 260=150 故答案为:30 或 150 6(呼和浩特)如图,已知正方形ABCD,点 M 是边 BA延长线上的动点(不与点 A 重合),且 AMAB,CBE由DAM 平移得到若过点E 作 EH AC,H为垂足,则有以下结论:点M 位置变化,使得 DH
6、C=60 时,2BE=DM;无论点 M 运动到何处,都有 DM=HM;无论点 M 运动到何处,CHM一定大于 135 其中正确结论的序号为【分析】先判定 MEHDAH(SAS),即可得到 DHM 是等腰直角三角形,进而得出 DM=HM;依据当 DHC=60 时,ADH=60 45=15,即可得到 RtADM 中,DM=2AM,即可得到 DM=2BE;依据点 M 是边 BA延长线上的动点(不与点 A 重合),且 AMAB,可得 AHMBAC=45 ,即可得出 CHM135【解答】解:由题可得,AM=BE,AB=EM=AD,四边形 ABCD是正方形,EH AC,EM=AH,AHE=90 ,MEH=
7、DAH=45=EAH,EH=AH,第 5 页 共 16 页MEHDAH(SAS),MHE=DHA,MH=DH,MHD=AHE=90 ,DHM 是等腰直角三角形,DM=HM,故正确;当DHC=60 时,ADH=60 45=15,ADM=45 15=30,RtADM 中,DM=2AM,即 DM=2BE,故正确;点 M 是边 BA延长线上的动点(不与点A 重合),且 AMAB,AHMBAC=45 ,CHM135,故正确;故答案为:7(青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为 5,点 E、F分别在 AD、DC上,AE=DF=2,BE与 AF相交于点 G,点 H为BF的中点,连接 GH,则GH的长为【分析
8、】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得 BAE=D=90 ,然后利用“边角边”证明 ABE DAF 得ABE=DAF,进一步得AGE=BGF=90 ,从而知 GH=BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案【解答】解:四边形ABCD为正方形,第 6 页 共 16 页BAE=D=90 ,AB=AD,在ABE和DAF中,ABE DAF(SAS),ABE=DAF,ABE+BEA=90 ,DAF+BEA=90 ,AGE=BGF=90 ,点 H 为 BF的中点,GH=BF,BC=5、CF=CD DF=52=3,BF=,GH=BF=,故答案为:8(咸宁)如图,将正方形OEFG 放在
9、平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 E的坐标为(2,3),则点 F的坐标为(1,5)【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G 的坐标,再由正方形的中心对称的性质求得点 F的坐标【解答】解:如图,过点E作 x 轴的垂线 EH,垂足为 H过点 G作 x 轴的垂线EG,垂足为 G,连接 GE、FO交于点 O 四边形 OEFG是正方形,第 7 页 共 16 页OG=EO,GOM=OEH,OGM=EOH,在OGM与EOH中,OGMEOH(ASA)GM=OH=2,OM=EH=3,G(3,2)O (,)点 F与点 O 关于点 O 对称,点 F的坐标为(1,5)故答案是:(1,5)9(江西)在正方形ABCD
10、中,AB=6,连接 AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若 PD=2AP,则 AP的长为2 或 2或【分 析】根 据 正 方 形 的 性 质 得 出AC BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,ABC=90 ,根据勾股定理求出AC、BD、求出 OA、OB、OC、OD,画出符合的三种情况,根据勾股定理求出即可【解答】解:四边形ABCD是正方形,AB=6,AC BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,ABC=DAB=90 ,在 RtABC中,由勾股定理得:AC=6,第 8 页 共 16 页OA=OB=OC=OD=3,有三种情况:点P
11、在 AD 上时,AD=6,PD=2AP,AP=2;点 P在 AC上时,设 AP=x,则 DP=2x,在 RtDPO中,由勾股定理得:DP2=DO2+OP2,(2x)2=(3)2+(3x)2,解得:x=(负数舍去),即 AP=;点 P在 AB上时,设 AP=y,则 DP=2y,在 RtAPD中,由勾股定理得:AP2+AD2=DP2,y2+62=(2y)2,解得:y=2(负数舍去),即 AP=2;故答案为:2 或 2或第 9 页 共 16 页10(潍坊)如图,正方形ABCD的边长为 1,点 A 与原点重合,点 B 在 y 轴的正半轴上,点 D 在 x 轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点 A 逆时针
12、旋转 30 至正方形 ABCD 的位置,BC与 CD相交于点 M,则点 M 的坐标为(1,)【分析】连接 AM,由旋转性质知 AD=AB=1、BAB=30、BAD=60,证 RtADMRtAB M 得DAM=BAD=30,由 DM=ADtanDAM 可得答案【解答】解:如图,连接AM,将边长为 1 的正方形 ABCD绕点 A 逆时针旋转 30 得到正方形 ABCD,AD=AB=1,BAB=30,BAD=60,在 RtADM 和 RtAB M 中,RtADMRtAB M(HL),DAM=BAM=BAD=30,DM=ADtanDAM=1=,点 M 的坐标为(1,),故答案为:(1,)11(台州)如
13、图,在正方形 ABCD中,AB=3,点 E,F分别在 CD,AD上,CE=DF,第 10 页 共 16 页BE,CF相交于点 G若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为 2:3,则BCG的周长为+3【分析】根据面积之比得出BGC的面积等于正方形面积的,进而依据 BCG的面积以及勾股定理,得出BG+CG的长,进而得出其周长【解答】解:阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为 2:3,阴影部分的面积为9=6,空白部分的面积为96=3,由 CE=DF,BC=CD,BCE=CDF=90 ,可得 BCE CDF,BCG的面积与四边形 DEGF的面积相等,均为3=,设 BG=a,CG=b,则ab
14、=,又a2+b2=32,a2+2ab+b2=9+6=15,即(a+b)2=15,a+b=,即 BG+CG=,BCG的周长=+3,故答案为:+3三解答题(共6 小题)12(盐城)在正方形 ABCD中,对角线 BD所在的直线上有两点E、F满足 BE=DF,第 11 页 共 16 页连接 AE、AF、CE、CF,如图所示(1)求证:ABE ADF;(2)试判断四边形 AECF的形状,并说明理由【分析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;(2)四边形 AECF是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;【解答】证明:(1)正方形 ABCD,AB=AD,ABD=ADB,ABE=ADF
15、,在ABE与ADF中,ABE ADF(SAS);(2)连接 AC,四边形 AECF是菱形理由:正方形 ABCD,OA=OC,OB=OD,AC EF,OB+BE=OD+DF,即 OE=OF,OA=OC,OE=OF,四边形 AECF是平行四边形,第 12 页 共 16 页AC EF,四边形 AECF是菱形13(吉林)如图,在正方形ABCD中,点 E,F分别在 BC,CD上,且 BE=CF,求证:ABE BCF【分析】根据正方形的性质,利用SAS即可证明;【解答】证明:四边形ABCD是正方形,AB=BC,ABE=BCF=90 ,在ABE和BCF中,ABE BCF 14(白银)已知矩形ABCD中,E是
16、 AD 边上的一个动点,点F,G,H 分别是BC,BE,CE的中点(1)求证:BGF FHC;(2)设 AD=a,当四边形 EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可;(2)利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可【解答】解:(1)点 F,G,H 分别是 BC,BE,CE的中点,FH BE,FH=BE,FH=BG,第 13 页 共 16 页CFH=CBG,BF=CF,BGF FHC,(2)当四边形 EGFH是正方形时,可得:EF GH且 EF=GH,在 BEC中,点,H 分别是 BE,CE的中点,GH=,且 GHBC,EF BC,ADB
17、C,ABBC,AB=EF=GH=a,矩形 ABCD的面积=15(潍坊)如图,点M 是正方形 ABCD边 CD上一点,连接 AM,作 DE AM于点 E,BFAM 于点 F,连接 BE(1)求证:AE=BF;(2)已知 AF=2,四边形 ABED的面积为 24,求 EBF的正弦值【分析】(1)通过证明 ABF DEA得到 BF=AE;(2)设 AE=x,则 BF=x,DE=AF=2,利用四边形ABED的面积等于 ABE的面积与ADE的面积之和得到?x?x+?x?2=24,解方程求出 x 得到 AE=BF=6,则 EF=x2=4,然后利用勾股定理计算出BE,最后利用正弦的定义求解【解答】(1)证明
18、:四边形 ABCD为正方形,BA=AD,BAD=90 ,DE AM 于点 E,BFAM 于点 F,AFB=90 ,DEA=90 ,第 14 页 共 16 页ABF+BAF=90 ,EAD+BAF=90 ,ABF=EAD,在ABF和DEA中,ABF DEA(AAS),BF=AE;(2)解:设 AE=x,则 BF=x,DE=AF=2,四边形 ABED的面积为 24,?x?x+?x?2=24,解得 x1=6,x2=8(舍去),EF=x 2=4,在 RtBEF中,BE=2,sinEBF=16(湘潭)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与 DF相交于点 O(1)求证:DAF ABE;(2)求 AO
19、D的度数【分析】(1)利用正方形的性质得出AD=AB,DAB=ABC=90 ,即可得出结论;(2)利用(1)的结论得出 ADF=BAE,进而求出 ADF+DAO=90 ,最后用三角形的内角和定理即可得出结论【解答】(1)证明:四边形 ABCD是正方形,DAB=ABC=90 ,AD=AB,第 15 页 共 16 页在DAF和ABE中,DAF ABE(SAS),(2)由(1)知,DAF ABE,ADF=BAE,ADF+DAO=BAE+DAO=DAB=90 ,AOD=180 (ADF+DAO)=90 17(遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点 E、F分别在 AB、BC上(AE BE),且
20、EOF=90 ,OE、DA的延长线交于点 M,OF、AB的延长线交于点 N,连接 MN(1)求证:OM=ON(2)若正方形 ABCD的边长为 4,E为 OM 的中点,求 MN 的长【分析】(1)证OAMOBN即可得;(2)作 OHAD,由正方形的边长为4 且 E为 OM 的中点知 OH=HA=2、HM=4,再根据勾股定理得OM=2,由直角三角形性质知MN=OM【解答】解:(1)四边形 ABCD是正方形,OA=OB,DAO=45,OBA=45 ,OAM=OBN=135 ,EOF=90 ,AOB=90 ,AOM=BON,OAMOBN(ASA),OM=ON;第 16 页 共 16 页(2)如图,过点 O 作 OHAD于点 H,正方形的边长为4,OH=HA=2,E为 OM 的中点,HM=4,则 OM=2,MN=OM=2