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1、第页1 江苏省盐城市第一中学2020 届高三年级六月第三次模拟考试数学试题2020.06.29第 I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.已知集合 31|xxA，42|xxB，则 AB _2.若复数满足(2)5i z，则在复平面内与复数z对应的点 Z 位于第 _象限.3.袋中共有大小相同的4 只小球，编号为1，2，3，4现从中任取2 只小球，则取出的 2 只球的编号之和是奇数的概率为4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12，13)，13，
2、14)，14，15)，15，16)，16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20 人，则第三组的人数为_5.如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为 _6.设向量 a(1，1)，a2b(k1，2k2)，且 ab，则 k _7.已知等比数列na满足82a，144453aaa，则3a_8.已知双曲线2214xym的渐近线方程为22yx，则m9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术
3、 中 九章算术g商功：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程已知如图堑堵的棱长1,1,2cba，则鳖臑的外接球的体积为10.已知函数2)(xxf，则不等式2(2)()fxf x的解集是11.函数xxy2cos2sin的图像向右平移6得到函数()yf x 的图像，则()f x 在2,0上的增区间为12.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x0 时，xxxfe1)(若关于x 的方程 f(x)m 有解，则实数 m 的取值范围是13.在 ABC 中，
4、coscos3,2 3.ABAB当sinsinAB取最大值时，ABC 内切圆的半径为_.14.已知函数)(xfy是定义域为R的偶函数，当0 x时，,2,4321,20,41)(2xxxxfx若关于x的方程Raaxafxf,0167)()(2有且仅有8 个不同的实数根，则实数a的取值范围第页2 二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分14 分）在 锐 角ABC中，已 知 内 角A、B、C所 对 的 边 分 别 为a、b、c，向 量2(2sin(),3),cos2,2cos12BmACnBu rr，且向量mu
5、 r,nr共线（1）求角B的大小；（2）如果1b，求ABC的面积ABCS的最大值16.（本题满分14 分）如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直，BEAE，点NM,分别是CDAE,的中点（1）求证：MN平面BCE；（2）求证：平面BCE平面ADE17.（本小题满分14 分）NMADBCE第页3 在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别为12(,0)(,0)FcFc、，已知)22,1(和)23,22(都在椭圆上.（1）求椭圆C的方程；（2）过点2F的直线l与椭圆C相交于,P Q两点，且211224QPFFF FQFuuu u r uuu
6、 ruu uu r uuuu r，求直线l的方程18.（本小题满分16 分）某房地产商建有三栋楼宇,A B C，三楼宇间的距离都为2 千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计（1）求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；（2）当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a（单位：元千米，a为常数）记BDE，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值19.（本小题满分16
7、 分）第页4 已知等差数列na和等比数列nb的各项均为整数，它们的前n项和分别为,nnS T，且1122ba，232254,11b SaT.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）求112233nnnMa ba ba ba bL；（3）是否存在正整数m，使得1mmmmSTST恰好是数列na或nb中的项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由.20.（本题满分16 分）已知()lnxf xaxae，xexgx)(，其中常数0a（1）当ae时，求函数()f x的极值；（2）若函数)()(xfxgy有两个零点1212,(0)x xxx，求实数a的范围；（3）设2()(1)()H xxg
8、 xx，在区间(1,)内是否存在区间,(1)m n m，使函数在区间,m n的值域也是,m n？请给出结论，并说明理由.江苏省盐城市第一中学2020 届高三年级六月第三次模拟考试()H x第页5 数学试题2020.06.29第 II 卷（附加题，共40分）21【选做题】本题共2 小题，每小题10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修 42：矩阵与变换（本小题满分10 分）已知矩阵32aAd，若1824A，求矩阵A的特征值B选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分10 分）极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合已知圆 O：cossin和直线 l：
9、2sin()42，(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0，)时，求直线l 与圆 O 公共点的一个极坐标【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22.（本小题满分10 分）第页6 袋中装有黑球和白球共7 个，从中任取2 个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1 个球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止所需要的取球次数(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量 的概率分布和数学期望.23.（本小题满分
10、10 分）如图，已知抛物线2:4ryx焦点为F，过r上一点000(,)(0)xyy作切线1l，交x轴于点T，过点T作直线2l交r于点1122,)(,BC xxyy.（1）证明：2120yyy；（2）设直线AB，AC的斜率为12,k k，ABCV的面积为S，若122kk，求SAF的最小值.江苏省盐城市第一中学2020 届高三年级六月第三次模拟考试第页7 数学试题2020.06.29第 I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.已知集合 31|xxA，42|xxB，则 AB _【答案】)4,1(2
11、.若复数满足(2)5i z，则在复平面内与复数z对应的点 Z 位于第 _象限.【答案】四3.袋中共有大小相同的4 只小球，编号为1，2，3，4现从中任取2 只小球，则取出的2 只球的编号之和是奇数的概率为【答案】324.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20 人，则第三组的人数为_【答案】18【解析】20(0.240.16)0.36185.如图是某算法的伪代码，输
12、出的结果S的值为 _【答案】16 6.设向量 a(1，1)，a2b(k1，2k2)，且 ab，则 k _【答案】57.已知等比数列na满足82a，144453aaa，则3a_【答案】28.已知双曲线2214xym的渐近线方程为，则m【答案】2 9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术 中 九章算术g商功：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵
13、”、“阳马”、“鳖臑”的过程已知如图堑堵的棱长1,1,2cba，则鳖臑的外接球的体积为【答案】610.已知 函数2)(xxf，则不等式2(2)()f xf x的解集是【答案】)1,2(11.函数xxy2cos2sin的图像向右平移6得到函数()yf x 的图像，则()f x 在2,0上的增区间为【答案】247,022yx第页8 12.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x0 时，xxxfe1)(若关于x 的方程 f(x)m 有解，则实数 m 的取值范围是【答案】)1,1(13.在 ABC 中，coscos3,2 3.ABAB当sinsinAB取最大值时，ABC 内切圆的半径为_.【答案】
14、33214.已知函数)(xfy是定义域为R的偶函数，当0 x时，,2,4321,20,41)(2xxxxfx若关于x的方程Raaxafxf,0167)()(2有且仅有8 个不同的实数根，则实数a的取值范围【答案】)916,47(二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分14 分）在 锐 角ABC中，已 知 内 角A、B、C所 对 的 边 分 别 为a、b、c，向 量2(2sin(),3),cos2,2cos12BmACnBu rr，且向量mu r,nr共线（1）求角B的大小；（2）如果1b，求ABC的面积A
15、BCS的最大值16.（本题满分14 分）如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直，BEAE，点NM,分别是CDAE,的中点（1）求证：MN平面BCE；（2）求证：平面BCE平面ADE【解析】证明：（1）取BE中点F，连接,CF MF，又M是AE中点，1/,2MFAB MFAB，又N是矩形ABCD边CD中点，/,MFNC MFNC，四边形MNCF是平行四边形，4 分/MNCF，又MN面BCE，CF面BCE，MN平面BCE分（2）平面ABCD平面ABE，BCAB，BC平面ABE，9 分AE平面ABE，BCAE，10 分又BEAE，BCBEBI，AE平面BCE，而AE平面ADE，
16、平面BCE平面ADE 14 分17.（本小题满分14 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别为12(,0)(,0)FcFc、，NMADBCE第页9 已知)22,1(和)23,22(都在椭圆上.（1）求椭圆C的方程；（2）过点2F的直线l与椭圆C相交于,P Q两点，且211224QPFFF FQFuuu u r uuu ruu uu r uuuu r，求直线l的方程【解析】（1）椭圆的方程为：2212xy（2）由（1）得12(1,0),(1,0)FF，设1122,P x yQ xy，2111221,1,PFxyFQxyu uu u ruuu r，122
17、22(2,0),1,F FQFxyuuuu ruu uu r且21122121212410PFFQF FQFx xy yxxuuu u ru uu ru uuu r uuu u r，验证：当直线l的斜率为0 时，2112254PFFF FQQFuuu u r uu uruu uu r uuuu r不符合题意，设直线l的方程为1xmy，由22121xyxmy，可得222210mymy12122221,22myyy ymm212121212121214xxx xy ym yymy y2222121422mmmmm0，7m，直线l的方程为：710 xy18.（本小题满分16 分）某房地产商建有三栋楼
18、宇,A B C，三楼宇间的距离都为2 千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计（1）求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；（2）当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a（单位：元千米，a为常数）记BDE，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值【解析】（1）因为三楼宇间的距离都为2 千米，所以 AB AC BC2，(1 分)因为楼宇D 对楼宇 B，C 的视角为
19、120，所以 BDC 120，(2 分)在 BDC 中，因为BC2BD2DC22BD DC cosBDC，(3 分)所以 22BD2CD22BD CD cos 120oBD2CD2 BD CD2BD CD BD CD 3BD CD，则 BD CD 43，(4 分)当且仅当BDCD 时等号成立，此时DBC DCB 30，BDCD 1cos 30 233.第页10 区域最大面积S SABC SBCD122 2sin 60 12BD CD sin 120 4 33(平方千米)(7 分)(或者：因为直角三角形ABD，ACD 全等，区域最大面积SSABDSACD2SABD212AB BD433(平方千米
20、)(7 分)（2）当楼宇D与楼宇,B C间距离相等时由（1）得：2 33BDDC则DBCDCB，又因为120BDCo，所以30DBCo，因为等边三角形ABC所以60ABCo，所以2ABDABCDBC在Rt EBD中，BDE，所以2 3cos3cosBDDEBDE2 3tantan3BEBDBDE，则2 32tan3AEABBE所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用2fa EAa ED2 32 32tan233cosaa2 33cossin20,3cos3a23sincos32 sin2 33coscoscossinaf22 32sin13cosa令10sin2f因为0,3，所以60,66,63f-
21、0+f极小值所以当6时，3cossin22 366463cos6affa极小值即：f的最小值为4a答：铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值4a元.19.（本小题满分16 分）已知等差数列na和等比数列nb的各项均为整数，它们的前n项和分别为,nnS T，且1122ba，第页11 232254,11b SaT.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）求112233nnnMa ba ba ba bL；（3）是否存在正整数m，使得1mmmmSTST恰好是数列na或nb中的项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）设数列na的公差为d，数列nb的公比为q，因为1123
22、2222,54,11bab SaT，所以2(33)5412211qddq，即(1)928qddq，解得32qd，或325qd（舍去）.所以121,2 3nnnanb.（2）211 12233123235232123nnnnMa ba ba ba bnL，2131 23323(23)23(21)2 3nnnMnnL，所以21224 333(21)23nnnMnL，13(1 3)24(42)34(44)313nnnnn所以2(1)32nnMn.（3）由（1）可得2nSn，31nnT，所以21121313mmmmmmSTmSTm.因为1mmmmSTST是数列na或nb中的一项，所以21*213,13
23、mmmL LNm，所以2(1)1(3)3mLmL，因为21 0,30mm，所以13L,，又*LN，则2L或3L.当2L时，有213mm，即2113mm，令21()3mmf m.则22211(1)11223(1)()333mmmmmmmf mf m.当1m时，(1)(2)ff；当2m时，10f mf m，即(1)(2)(3)(4)ffff.由1(1)0,(2)3ff，知2113mm无整数解.当3L时,有210m，即存在1m使得2121331 3mmmm是数列na中的第 2 项，故存在正整数1m，使得1mmmmSTST是数列na中的项.第页12 20.（本题满分16 分）已知()lnxf xaxa
24、e，xexgx)(，其中常数0a（1）当ae时，求函数()f x的极值；（2）若函数)()(xfxgy有两个零点1212,(0)x xxx，求实数a的范围；（3）设2()(1)()H xxg xx，在区间(1,)内是否存在区间,(1)m n m，使函数在区间,m n的值域也是,m n？请给出结论，并说明理由.【解析】函数()f x的定义域为(0,)，（1）当ea时，()eelnexfxx，e()exfxx，2 分而e()exfxx在(0,)上单调递增，又(1)0f，当01x时，()(1)0fxf，则()fx在(0,1)上单调递减；当1x时，()(1)0fxf，则()f x在(1,)上单调递增，
25、所以()f x有极小值(1)0f，没有极大值 4 分（2）令axxaxfxgxhln)()()(，xxaxh)(/，因为0a，所以x),0(aa),(a)(/xh0)(xh增减因为)(xh有两个零点，所以0)(ah，所以1a当1a时因为0)(1eh，0)4(2ah，所以)(xh有两个零点.(3)22()(1)()(1)xH xxg xxxe，假设在区间(1,)内是存在区间,(1)m n m，使函数在区间,m n的值域也是,m n，因为2()(1)xHxxe，当1x时()0Hx所以()H x在(1,)上是增函数，所以()()H mmH nn，即22(1)(1)mnmemnen即方程2(1)xxe
26、x有两个大于1的不等实根.上述方程等价于20(1)(1)xxexx设2()0(1)(1)xxu xexx，所以31()0(1)(1)xxu xexx()H x()H x第页13 所以2()0(1)xxu xex在(1,)上是增函数，所以()u x(1,)上至多一个实数根.即()u x(1,)上不可能有两个不等实数根，所以假设不成立，所以不存在区间,m n符合要求.江苏省盐城市第一中学2020 届高三年级六月第三次模拟考试数学试题2020.06.29第 II 卷（附加题，共40分）21【选做题】本题共2 小题，每小题10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修 42：矩
27、阵与变换（本小题满分10 分）已知矩阵32aAd，若1824A，求矩阵A的特征值【解析】因为13168222224aaAdd，所以68224ad，解得21ad，所以2321A，-5分其特征多项式为223()(2)(1)63421f，-8 分令()0f，解得特征值为11，24-10分B选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分10 分）极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合已知圆 O：cossin和直线 l：2sin()42，(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0，)时，求直线l 与圆 O 公共点的一个极坐标【解析】（1）圆 O：cossin，即2coss
28、in，故圆 O 的直角坐标方程为：22xyxy，即220 xyxy，直线l：2sin()42，即sincos1，则直线的直角坐标方程为10 xy（2）由22010 xyxyxy，可得01xy，直线 l 与圆 O 公共点的直角坐标为（0，1），故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1,)2第页14【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22.（本小题满分10 分）袋中装有黑球和白球共7 个，从中任取2 个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到
29、白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止所需要的取球次数(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量 的概率分布和数学期望.【解析】（1）设袋中原有n个白球，由题意知2271112=767672nn nn nCC，所以1=6n n.解得3n(2n，舍去).即袋中原有3 个白球.（2）由题意，X的可能取值为1,2,3,4,5.317P X；4322767P X；4336376535P X；432 33476 5435P X；432 1 3157654335P X.所以，取球次数X的分布列为.X1 2 3 4 5 P3727635335135所以326311234527
30、7353535Ex.23.（本小题满分10 分）如图，已知抛物线2:4ryx焦点为F，过r上一点000(,)(0)xyy作切线1l，交x轴于点T，过点T作直线2l交r于点1122,)(,BC xxyy.（1）证明：2120yyy；（2）设直线AB，AC的斜率为12,k k，ABCV的面积为S，若122kk，求SAF的最小值.【解析】（1）设过点200,4yAy与24yx相切的切线20104:xyylyk，第页15 联立200244yyk xyyx，消去x得0220440kyyyky，由020200201644020ykykkyky，则0220044Tyxkyy，则20,04Ty，因为直线2l的
31、斜率不为0，设直线202:4xmyyl，联立方程20244yxmyyx得02240ymyy，故2120yyy；（2）由（1）得212012,4yyyyym，则2212121224002012044416xmymyymyymyxy yyy22442200001616ymyymy21212122220020044224xmymymyyyyyxym2242222001212010200012124224000000222010144164164212644yyyyy yyyyyyy myxxxkkmxx xyyyyyyyy整理得23000484ymm yy，即00004222ymymymy，当0m时
32、，点,B C在x轴上方，必有120,0kk，与122kk矛盾所以必有00,0ym，则020ym，则0042ymy故0022myy，则222121212|114BCmyymyyy y22220204214412mmymy，点A到BC的距离2220002002220|4142112yyymymydmymm，第页16 22320220000214|22|24,|1224ySBC dAFyyyy，32022200216|24ySAFyy，令202,2yt t，则22222332003332042224822212yytttttttttty，令2,01ppt，则2220023320412yypppy则对于函数23yppp，则2123311ypppp，则函数23yppp在10,3上单调递增，在1,13上单调递减，23max527111333y，222003204532127272yyy，32022200212716166 3|23224ySAFyy，故|SAF的最小值为6 3.