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1、数学系常微分方程试卷C 及答案1/11 试卷（C）试卷份数考试本科考试科目常微分方程题号一二三四五六七总分分数阅卷人试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷；2、考试所用时间：120 分钟。3、使用班级数计学院数 11 级一、填空题（每小题3 分，本题共 15 分）1方程0dcosdsinyxyxyx所有常数解是2方程02yyy的基本解组是3方程1ddyxy满足解的存在唯一性定理条件的区域是4函数组)(,),(),(21xxxn的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零,是它们在区间I 上线性无关的条件53)(2 yyxy的通解是二、单项选择题（每小题3 分，本题共 15 分）6方程yxydd的奇
2、解是（）（A）xy（B）1y（C）1y（D）0y7.方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解（A）一（B）无数（C）两（D）三8n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+2 密封线数计学院系级班姓名_学号_任课教师审题人数学系常微分方程试卷C 及答案2/11 第 1 页（共5 页）年月日密封线数学系常微分方程试卷C 及答案3/11 第 2 页（共5 页）9、微分方程yyxxln的通解（）A、21lncxxcyB、1ln1xxcyC、xxylnD、211lncxxcy10如果),(yxf，yyxf),(都在xoy平面上连续，那么方程),(dd
3、yxfxy的任一解的存在区间（）（A）必为),(（B）必为),0(（C）必为)0,(（D）将因解而定三、简答题（每小题6 分，本题共 30 分）11.解方程yyxylndd12.解方程xyxyxy2)(1dd数学系常微分方程试卷C 及答案4/11 年月日13.解方程1ddxyxy14.解方程2(e)dd0 xxyxx y15解方程012yyy密封线数学系常微分方程试卷C 及答案5/11 第 3 页（共5 页）年月日密封线数学系常微分方程试卷C 及答案6/11 第 4 页（共5 页）四、计算题（每小题10 分，本题共 20分）16求方程26535xyyyex的通解17求下列方程组的通解yxtyy
4、xtx43dd2dd数学系常微分方程试卷C 及答案7/11 年月日五、综合能力与创新能力测试题（每小题10 分，共 20 分）18一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。19设)(xf在),0上连续，且0)(limxfx，求证：方程)(ddxfyxy的一切解)(xy，均有0)(limxyx密封线数学系常微分方程试卷C 及答案8/11 第 5 页（共5 页）12-13-2 学期期末考试常微分方程C 参考答案及评分标准制卷赵志锟审核一、填空题
5、（每小题3 分，本题共 15 分）1,2,1,0,kky；或,2,1,0,2kkx2xxxe,e30),(2yRyxD，（或不含x 轴的上半平面）4充分532CCxy二、单项选择题（每小题3 分，本题共 15分）6D 7B 8A 9D 10D 三、简答题（每小题6 分，本题共 30 分）11解当0y，1y时，分离变量取不定积分，得Cxyyydlnd（3 分）通积分为xCyeln（6 分）12解令xuy，则xuxuxydddd，代入原方程，得21dduxux（3 分）分离变量，取不定积分，得Cxxuulnd1d2（0C）通积分为：Cxxylnarcsin（6 分）13解对应齐次方程dyydxx的
6、通解为Cxy（2 分）数学系常微分方程试卷C 及答案9/11 令非齐次方程的特解为xxCy)(（3 分）代入原方程，确定出/1()cxx（4 分）再求初等积分得CxxCln)(（5 分）因此原方程的通解为Cxy+xxln（6 分）14解：积分因子为21()2()2ln21()xx eyxdxdxxxyxxxeeex（3 分）取001,0 xy，则原方程的通积分为1012dd)(eCyxxyyxx（5 分）即1eeCxyx（6 分）15解：原方程为恰当导数方程，可改写为1)(yy则1Cxyy（2 分）分离变量，取积分21)d(dCxCxyy（4 分）得原方程的通积分为2212)(2121CCxy
7、（6 分）四、计算题（每小题10 分，本题共 20分）16解：对应的齐次方程为650yyy。我们有212650,1,5，通解为512xxyC eC e，.2 分又由迭加原理，分别求出二方程2653655xxyyyeyyye的特解，数学系常微分方程试卷C 及答案10/11 其中第一个为：13,4xyAxeA；第二个为：221262,1,525yAxBxC ABC，.5 分则，212312624525xyyxexx为原方程的一个特解，其通解为：2512312624525xxxyxexxC eC e。.10 分17解：方程组的特征方程为04321EA即0232（1 分）特征根为11，22（2 分）1
8、1对应的解为tbayxe1111（3 分）其中11,ba是11对应的特征向量的分量，满足0014321111ba（4 分）可解得1,111ba（5 分）同样可算出22对应的特征向量分量为3,212ba（8 分）所以，原方程组的通解为ttttCCyx2221e32eee（10 分）五、综合能力与创新能力测试题（每小题10 分，共 20 分）18解：由物理知识得：)F(为质点受到的合外力为质点的加速度，其中合合amFa1 分根据题意：vktkF21合2 分故：)0(221kvktkdtdvm数学系常微分方程试卷C 及答案11/11 即：(*)(12tmkvmkdtdv5 分(*)式为一阶非齐线性方
9、程，根据其求解公式有)(221cdtetmkeVdtmkdtmk)(22222121cekmketkketmktmktmk7 分又当 t=0 时，V=0，故 c=221kmk9 分因此，此质点的速度与时间的关系为：)(2212212kmtkkekmkVtmk10 分19证明设)(xyy是方程任一解，满足00)(yxy，该解的表达式为0000ede)(e)()(0 xxxxxsxxssfyxy（4 分）取极限0000ede)(limelim)(lim)(0 xxxxxsxxxxxssfyxy=000000de)(,0ee)(limde)(,00)()()(xxsxxxxxxxsssfxfssf若若（10 分）