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1、用心 爱心 专心1【三维设计】2013 高考数学一轮复习第 5 节 数列的综合问题我来演练一、选择题1(2012长沙模拟)设an、bn 分别为等差数列与等比数列，a1b14，a4b4 1，则下列结论正确的是()Aa2b2B a3b5D a6b6解析：设 an的公差为d，bn 的公比为q，由题可得d 1，q322，于是a23b2232.答案：A 2已知等差数列an的前n项和为Sn，S9 36，S13 104，等比数列 bn中，b5a5，b7a7，则b6的值为()A42 B 42 C42 D无法确定解析：依题意得，S99a5 36?b5a5 4，S1313a7 104?b7a7 8，所以b642.
2、答案：A 3(2012青岛模拟)已知等差数列 an的前n项和为Sn，且S2 10，S555，则过点P(n，an)和Q(n2，an2)(nN)的直线的一个方向向量的坐标可以是()A(2,4)B.13，43C.12，1D(1，1)解析：由S2 10，S555，得2a1d10,5a110d55，解得a13，d4，可知直线PQ的一个方向向量是(1,4)，只有 13，43与(1,4)平行，故选 B.答案：B 4已知数列 an，bn 满足a11且an，an1是函数f(x)x2bnx 2n的两个零点，则b10等于()A24 B32 C48 D64 用心 爱心 专心2 解析：依题意有anan1 2n，所以an
3、1an2 2n1，两式相除得an2an2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而a11，a2 2，所以a1022432，a1112532，又因为anan1bn，所以b10a10a1164.答案：D 5(2011上海高考)设 an 是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai1的矩形的面积(i1,2，)，则 An 为等比数列的充要条件为()Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是 等比数列，且公比相同解析：Aiaiai1，若
4、An为等比数列，则An1Anan1an2anan 1an2an为常数，即A2A1a3a1，A3A2a4a2，.a1，a3，a5，a2n1，和a2，a4，a2n，成等比数列，且公比相等反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则An1Anan2anq，从而 An为等比数列答案：D 二、填空题6数列 an 中，a16，且anan1an1nn1(n N，n2)，则数列的通项an_.解析：由已知等式得nan(n1)an1n(n1)(nN，n2)，则ann1an1n1，所以数列 ann1是以a123 为首项，1 为公差的等差数列，即ann1n2，所以an(n 1)(n2)答案：(n1)(
5、n2)7(2011陕西高考)植树节某班20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10 米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_(米)解析：当放在最左侧坑时，路程和为2(0 1020 190)；当放在左侧第2 个坑时，路程和为2(10 01020 180)(减少了 360 米)；当放在左侧第3 个坑时，路程和为 2(20 100 1020 170)(减少了 680 米)；依次进行，显然当放在中间的用心 爱心 专心3 第 10、11 个坑时，路程和最小，为2(90 80 010 20 100)2 000 米
6、答案：2 000 三、解答题8(2011浙江高考)已知公差不为0 的等差数列 an的首项a1为a(aR)，且1a1，1a2，1a4成等比数列(1)求数列 an 的通项公式；(2)对nN，试比较1a21a221a231a2n与1a1的大小解：(1)设等差数列 an的公差为d，由题意可知1a221a11a4，即(a1d)2a1(a13d)，从而a1dd2.因为d0.所以da1a.故通项公式anna.(2)记Tn1a21a221a2n，因为a2n 2na，所以Tn1a1212212n1a12112n1121a112n.从而，当a0 时，Tn1a1；当a 0 时，Tn1a1.9流行性感冒(简称流感)是
7、由流感病毒引起的急性呼吸道传染病某市去年11 月份曾发生流感，据资料统计，11 月 1 日，该市新的流感病毒感染者有20 人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50 人由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30 人，到 11 月 30 日止，该市在这30 天内感染该病毒的患者总共有8 670 人，则 11 月几日，该市感染此病毒的新 患者人数最多？并求这一天的新患者人数解：设从 11 月 1 日起第n(nN，1n30)日感染此病毒的新患者人数最多，则从 11 月 1 日至第n日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这
8、个等差数列的首项为 20，公差为50，前n日的患者总人数即该数列前n项之和Sn20nnn125025n2 5n.用心 爱心 专心4 从第n1 日开始，至11 月 30 日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为20(n1)50 3050n60，公差为 30，项数为(30 n)，(30 n)日的患者总人数为T30n(30 n)(50n60)30n29n2(30)(30n)(65n495)65n22 445n 14 850.依题意有SnT30n 8 670，即(25n25n)(65n22 445n14 850)8 670.化简整理得n261n 5880，所以n12，n49，又
9、 1n30，所以n12.所以第 12 日的新患者人数为20(12 1)50 570，所以 11 月 12 日该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天新患者人数为570 人10已知函数f(x)ax的图像过点1，12，且点n1，ann2(nN)在函数f(x)ax的图像上(1)求数列 an 的通项公式；(2)令bnan112an，若数列 bn 的前n项和为Sn，求证：Sn5.解：(1)函数f(x)ax的图像过点1，12，a12，f(x)12x.又点n1，ann2(nN)在函数f(x)ax的图像上，从而ann212n1，即ann22n1(nN)(2)由bnn122nn22n2n12n得，Sn325222n12n，则12Sn3225232n12n2n12n 1，两式相减得12Sn32 212212312n2n12n1，Sn52n52n(n N)，Sn5 用心 爱心 专心5