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1、甘肃省张掖市 2019-2020学年高二下学期期中考试（理）（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）测试范围：选修 2-2、选修 2-3 第一章一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知i为虚数单位，若复数1i1iaz（aR）的实部为3，则|z（）A10B2 3C13D52下列关于求导叙述正确的是A若sinfxx，则cosfxxB若lnfxxx，则1xfxxC若24fxx，则4fxxD若exfxx，则01f3甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说：“乙去我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.”丙说：“无论丁
2、去不去，我都去.”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”则以下推论可能正确的是()A乙、丙两个人去了B甲一个人去了C甲、丙、丁三个人去了D四个人都去了4函数()f x 的导函数()fx，满足关系式2()2(2)lnf xxxfx，则(2)f的值为（）A6B6C72D725用数学归纳法证明：“1221 3 521nnnnnnnNLL”时，从nk到1nk，等式的左边需要增乘的代数式是()A 21kB211kkC231kkD2 21k6若613xax的展开式中3x 的系数为-45，则实数a的值为（）A23B2C14D137正切函数是奇函数，2tan2fxx是正切函数，因此2tan2fxx是奇函数，
3、以上推理（）A结论正确B大前提不正确C小前提不正确D以上均不正确8已知()21f xx，若10()()fx dxf a，则a的值为（）AaB32C12D19从 A，B，C，D，E 5 名学生中选出4 名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为()A24B48C72D12010我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，则ABC的面积222221()42abcSab.根据此公式，若cos3cos0aBbcA，且2222abc，则ABC的面积为A2B2 2C6D2 31
4、1如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FBAB时，其离心率为512，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于（）A512B512C51D5112已知函数2()lnf xaxxx有两个不同的极值点1x，2x，若不等式12122fxfxxxt有解，则t的取值范围是（）A(,2ln 2)B,2ln 2C(,112ln 2)D,112ln 2二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13 已知定义在R上的奇函数fx满足当0 x时，3lnfxxx，则曲线yfx在点1,1f处的切线斜率为_.14设复数z满足341zi，则z的最大值是 _.
5、15在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该 6 名教师表演的节目的不同编排顺序共有_种.（用数字填写答案）16已知 P 是曲线3133:22Cyxxx上的点，Q 是曲线2C上的点，曲线1C与曲线2C关于直线24yx对称，M 为线段 PQ 的中点，O 为坐标原点，则|OM的最小值为_三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）关于复数z的方程230zai ziaR.（1）若此方程有实数解，求a的值；（2）证明：对任意的实数a，原方程不可能有
6、纯虚数根.18（12 分）观察下列等式:311；33123；3331236；3333123410；333331234515；(1)猜想第 n(n N*)个等式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.19.（12 分）设函数3fxx的图象上一点1,1Pf处的切线l与3fxx的图象的另一交点为Q（1）确定点Q的坐标；（2）求函数yfx与切线l围成的封闭图形面积20（12 分）已知正项数列na满足112a，且231322nnnaaa，设11(2)nnnnbaaa（1）求证：1nnaa；（2）求证：12112lnln.ln2ln(2)nnnbbbaaaa；（3）设nS为数列nb的前n项和，求证：14nS.2
7、1（12 分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量根据调查数据，该昆虫的数量y（万只）与时间x（年）（其中*xN）的关系为2xye为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayMxx（其中a为常数，且0a）来进行生态环境分析（1）当1a时，求比值M取最小值时x的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M不超过4e时不需要进行环境防护为确保恰好3年不需要进行保护，求实数a的取值范围（e为自然对数的底，2.71828e）22（12 分）已知函数322111ln342fxxxxx，设fx的导函数为g x（1）求证：0g x；（2）设g x的极大值点为0 x，求证：2014e
8、g x（其中271828e）参考答案123456789101112CBCDDDCCCAAC1341461524162 5517（本小题满分10 分）【解析】（1）设zmR，带入原方程得230mai mi，即2310mammi，则23010mamm，故12ma.（2）证明:假设原方程有纯虚数根，设zni（nR，且0n），则有230niai nii，整理可得2310nnani，则23010nnan，对于230nn，判别式112110，则方程230nn无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.18（本小题满分12 分）【解析】（1）猜想第n个等式为333311232n n
9、n.（2）证明：当1n时，左边1，右边1，故原等式成立；设nk时，有333311232k kk，则当1nk时，23333331123112k kkkk22212111422kkkkkkk1112kk故当1nk时，命题也成立，由数学归纳法可以原等式成立.19（本小题满分12 分）【解析】（1）点1,1P，23fxx，故13f，所以切线l的方程为131yx，即32yx.联立332yxyx，得3320 xx，解得2x或1x（舍去），所以点2,8Q（2）由图，设函数()yf x与切线l围成的封闭图形面积为S，则12342121327322424Sxxdxxxx，所以所求面积为27420（本小题满分12
10、 分）【解析】（1）0na，23132nnnaaa，32132nnnnnaaaaa23102nnnaaa，1nnaa（2）猜想212nnnnbaaa要证212nnnnbaaa，只需证212nnnaba，112nnnnbaaa，只需证112nnnnaaaa，只需证2121nnnaaa，又23132nnnaaa，且2232321nnnnaaaa，2121nnnaaa，212nnnnbaaa累乘法可得2212112121.4.nnnnb bbaaaaaa，2212112121.lnln 4.nnnnbbbaaaaaa12112lnln.ln2ln 2nnnbbbaaaa（3）112nnaa，2131
11、22nnnnaaaa112nnaa22111324nnnnnnbfaaa aa，而21214nnaa12.nnSbbb222123.4naaa211143114414na.21（本小题满分12 分）【解析】（1）当1a时，22(1)1xeMxxx，222121xxxeMxx列表得：20单调减极小值单调增M在1,2上单调递减，在2,上单调递增M在2x时取最小值；（2）22212(0)1xa xxeMaxx根据（1）知：M在1,2上单调减，在2,上单调增确保恰好3 年不需要进行保护43444122372413MeeaeMeaeMe，解得：13722ea答：实数a的取值范围为13 7,22e22（本
12、小题满分12 分）【解析】（1）由已知()f x 的导函数为2()g xxxxlnx要证()0g x，只需要证明10 xlnx设()1xxlnx，则1()xf xx故()h x在(0,1)递减，在(1,)递增，故110h xxlnx h（2）证明：因为2()g xxxxlnx，所以()22gxxlnx 令()22h xxlnx，则12()12()2xh xxx可知，当1(0,)2x时，()h x单调递减，当1(2x，)时，()h x单调递增又2()0h e，1()02h，10h，所以()h x在1(0,)2有唯一零点0 x，在1(2，)有唯一零点1且当0(0,)xx，()0h x，当0(xx，1)，()0h x，所以0 xx是()g x的唯一的极大值点，故00220 xlnx，20(xe，1)2所以2200000001()()4maxg xg xxxx lnxxx因为11(0,)2e，显然120()()g xg ee故201()4eg x