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1、2019-2020 学年浙江省温州市十五校联合体高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10 小题）.1直线 xy10 的倾斜角为（）ABCD2已知圆的方程为x2+y2+2x4y0，则圆的半径为（）A3BCD43在 ABC 中，sinA：sinB：sinC2：5：6，则 ABC 的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形4若实数x，y满足，则 x+2y 的最大值是（）A3B4C5D65圆 x2+y24 被直线 yx+2 截得的劣弧所对的圆心角的大小为（）A30B45C90D1206关于 x 的不等式|x1|+|x a|3恒成立，则实数a 的取值范围是（）A（，4 2，+）B（，
2、24，+）C（，3 3，+）D（，24，+）7等差数列的前 n 项和为 Sn，若 a1a20，S5S9，则当 Sn取得最大值时，n（）A5B6C7D88若实数a，b 满足 ab0，则的最小值为（）A2B3C4D59已知正项等比数列an，满足，则 a7的值可能是（）ABCD10已知数列 an满足，若 23a1033，则 a3的取值范围是（）A1a3 2BC2a33D二、填空题（共7 小题）.11已知直线l1的方程为3x+4y2 0，直线l2的方程为6x+8y+10，则直线l1的斜率为，直线 l1与 l2的距离为12 设 数 列 an 满 足a1 7，且，则 数 列中 的 最 小 项为，最大项为（
3、要求写出具体的值）13已知 k R，则直线l：kx+y+10 过定点；若直线l：kx+y+10 与圆 x2+y2r2恒有公共点，则半径r 的取值范围是14已知两圆C1：x2+y22x+10y+10 0 和 C2：x2+y2+2x+2y+1 0交于 A、B 两点，则线段AB 的垂直平分线方程是，公共弦AB 长度为15设数列an满足，若数列 an是单调递增数列，则实数 的取值范围是16设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且 3a?cosC2c?cosA+b，则tan（AC）的最大值为17已知 x0，y0，且 x+3yxy0，若不等式3x+yt26t 恒成立，则实数t 的取值
4、范围三、解答题（共5 小题）.18在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且 b2ac a2+c2（）若a1，c2，求 ABC 的面积；（）若b3，求 ABC 周长的取值范围19在公差不为零的等差数列an中，a1 11，且 a2、a5、a6成等比数列（）求数列an的通项公式；（）求数列|a2n1|的前 n 项和 Tn20已知 m R，函数 f（x）x2+mx+1（）当m2，解不等式f（x）4x+4；（）若对任意的x 1，3，不等式f（x）x2+10+|x24|恒成立，求m 的取值范围21在平面直角坐标系xOy 中，E：（x 1）2+（y1）24（）过点P（3，4）作 E 的切
5、线，求切线的方程；（）过点Q（2，2）作两条互相垂直的直线分别与E 交于 A、C、B、D 四点，求四边形 ABCD 面积的最大值22已知数列 an满足 a12，（）求a2，a3的值，并求数列an的通项公式；（）若bnlog3（an+1），求数列的前 n 项和 Sn；（）若数列的前 n 项和为 Tn，求证：参考答案一、选择题（共10 小题）.1直线 xy10 的倾斜角为（）ABCD【分析】由直线的方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得答案解：直线x y10 的斜率为k1设倾斜角为，0 由斜率和倾斜角的关系可得tan 1，故可得直线x y10 的倾斜角为故选：A2已知圆的方程为x2+y2+2
6、x4y0，则圆的半径为（）A3BCD4【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的半径解：圆的方程为x2+y2+2x 4y0，即（x+1）2+（y2）2 5，故圆的半径为，故选：B3在 ABC 中，sinA：sinB：sinC2：5：6，则 ABC 的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形【分析】利用正弦定理把正弦函数值转化为边的关系，然后利用余弦定理求出C 的余弦值，可求C 为钝角，即可得解解：由正弦定理及sinA：sinB：sinC2：5：6，可得 a：b：c2：5：6，于是可设a2k，b5k，c6k（k0），可得 C 为最大角，由余弦定理可得cosC0，可得 C 为钝
7、角，故ABC 的形状为钝角三角形故选：C4若实数x，y满足，则 x+2y 的最大值是（）A3B4C5D6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 A（1，2），令 zx+2y，化为 y，由图可知，当直线 y过 A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为5故选：C5圆 x2+y24 被直线 yx+2 截得的劣弧所对的圆心角的大小为（）A30B45C90D120【分析】写出x2+y24 的圆心和半径，计算圆心到直线的距离，求出弦长AB 和弦所对的圆心角即可解：圆 C：x2+y24
8、的圆心为C（0，0），半径为r2；直线 l：y x+2 可化为 xy+20，则圆心 O 到直线 l 的距离为d；所以弦长AB2 22；所以 CA2+CB24+48AB2，所以 ACB 90，即直线截得的劣弧所对的圆心角为90故选：C6关于 x 的不等式|x1|+|x a|3恒成立，则实数a 的取值范围是（）A（，4 2，+）B（，24，+）C（，3 3，+）D（，24，+）【分析】由绝对值三角不等式，可得|x1|+|x a|a 1|，然后根据|x1|+|x a|3 恒成立，得到|a 1|3，再解出a 的取值范围解：由绝对值三角不等式可知，|x1|+|xa|（x1）（xa）|a 1|不等式|x1
9、|+|xa|3 恒成立，|a1|3，a4 或 a 2，a 的取值范围为（，2 4，+）故选：D7等差数列的前 n 项和为 Sn，若 a1a20，S5S9，则当 Sn取得最大值时，n（）A5B6C7D8【分析】利用等差数列an的前n 项和公式推导出a1d，d 0，从而Snna1+dnd+d（n7）2由此能求出Sn取得最大值时n 的值解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足 S5S9，且 a1a20，5a1+d9a1+d，解得 a1d，d0，Snna1+dnd+d（n7）2Sn取得最大值时n7故选：C8若实数a，b 满足 ab0，则的最小值为（）A2B3C4D5【分析】由已知结合基本不等式即可
10、直接求解解：因为ab0，则，当且仅当ab 时取等号，23，当且仅当2ab且 ab 时取等号，即ab时取等号，此时取得最小值3故选：B9已知正项等比数列an，满足，则 a7的值可能是（）ABCD【分析】先由基本不等式的性质可知，再结合等比数列的中项公式，可解出 a7的取值范围，对比选项即可得解解：由基本不等式的性质可知，因为 a7 0，所以故选：A10已知数列 an满足，若 23a1033，则 a3的取值范围是（）A1a3 2BC2a33D【分析】利用数列的递推关系式，推出 a2n+22a2n+1 然后得到，说明 a3的范围解：由递推关系可知a2n+2 a2n+1+1，a2n+12a2n，所以
11、a2n+22a2n+1即 a2n+2+12（a2n+1），可得，所以因为 23 a1033，238a3+1533，解得，故选：B二、填空题：本大题共7 小题，多空题每小题6 分，单空题每小题6 分，共 36 分11已知直线l1的方程为3x+4y20，直线 l2的方程为6x+8y+10，则直线l1的斜率为，直线 l1与 l2的距离为【分析】直线l1化为 yx+，得出斜率值；直线 l1化为 6x+8y4 0，计算直线l1与 l2的距离解：直线l1的方程为3x+4y20，所以直线l1可化为 yx+，它的斜率为；又直线 l1可化为 6x+8y40，直线 l2的方程为6x+8y+10，所以直线l1与 l
12、2的距离为d故答案为：，12设数列 an满足a1 7，且，则数列中的最小项为1，最大项为1（要求写出具体的值）【分析】根据题意，分析可得数列an是首项 a1 7，公差为 2 的等差数列，进而可得an2n9，变形可得，结合反比例函数的性质分析可得答案解：根据题意，数列an满足 a1 7，且，则数列 an是首项 a1 7，公差为2 的等差数列，则an（7）+2（n1）2n9，则，则有 0a1a2a3a4，a5 a6a7a8 an 0；数列中的最小项为a4 1，最大项为a51，故答案为：1，113已知k R，则直线l：kx+y+10 过定点（0，1）；若直线l：kx+y+10 与圆x2+y2r2恒有
13、公共点，则半径r 的取值范围是1，+）【分析】将直线化简成点斜式的形式得：y+1 kx，可得直线的斜率为k 且经过定点（0，1），利用定点在圆内或圆上，从而得到答案解：将直线kx+y+1 0化简为点斜式，可得y+1 kx，直线经过定点（0，1），且斜率为k即直线 kx+y+10 过定点（k R）恒过定点（0，1）l 和圆 C：x2+y2 r2恒有公共点，r 1，即半径r 的最小值是1，故答案为：（0，1），1，+）14已知两圆C1：x2+y22x+10y+10 0 和 C2：x2+y2+2x+2y+1 0交于 A、B 两点，则线段AB 的垂直平分线方程是2x+y+30，公共弦AB 长度为【分析
14、】根据配方法将两圆的方程均化为标准方程，并写出圆心坐标和半径，而线段 AB的垂直平分线恰为直线C1C2，利用点斜式即可写出其方程联立两圆的方程可得，线段AB 所在的直线方程为4x 8y9 0，利用点到直线的距离公式可得圆心C2到直线AB的距离 d，于是|AB|解：圆 C1的标准方程为（x1）2+（y+5）216，其中圆心C1（1，5），半径为4；圆 C2的标准方程为（x+1）2+（y+1）21，其中圆心C2（1，1），半径为1而线段 AB 的垂直平分线恰为直线C1C2，其方程为，即 2x+y+3 0联立两圆的方程可得，线段AB 所在的直线方程为4x 8y90，所以圆心C2（1，1）到直线 AB
15、 的距离 d，所以|AB|故答案为：2x+y+30；15 设数列 an满足，若数列 an是单调递增数列，则实数 的取值范围是（，2）【分析】根据数列递增得到an+1an，利用不等式的性质即可得到结论解：?ann+，若an递增，则an+1an，即 n+1+n+，则 n（n+1），n N*，n（n+1）2，则 2，故答案为：（，2）16设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且 3a?cosC2c?cosA+b，则tan（AC）的最大值为【分析】由题意及正弦定理的应用可得tan Atan C，进而可得tan（AC）的表达式，再由题意可得tan C0，及均值不等式可得tan（AC
16、）的最大值解：因 为3a?cosC 2c?cosA+b，所 以3sinAcosC 2sinCcosA+sinB 2sinCcosA+sinAcosC+cosAsinC，所以 2sinAcosC 3sinCcosA，可得 tan Atan C，在三角形中，tan C0所以 tan（AC），当且仅当3tanC，记 tanC时取等号，所以 tan（AC）的最大值为，故答案为：17已知 x0，y0，且 x+3yxy0，若不等式3x+yt26t 恒成立，则实数t 的取值范围（2，8）【分析】根据x+3yxy0，求出 3x+y 的最小值，问题转化为t26t16 恒成立，解出即可解：由 x+3yxy0 得：
17、+1，（3x+y）（+）+102+1016，当且仅当xy4 时“”成立，故不等式3x+yt26t 恒成立，得 t26t16 恒成立，解得：2t8，故答案为：（2，8）三、解答题：本大题共5 小题，满分74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且 b2ac a2+c2（）若a1，c2，求 ABC 的面积；（）若b3，求 ABC 周长的取值范围【分析】（）由已知可得b2a2+c2+ac，由余弦定理可求B 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解；（）由 已 知 利 用 正 弦 定 理，三 角 函 数 恒 等 变 换 的 应 用 可 求
18、a+b+c，结合范围，利用正弦函数的性质可求ABC 周长的取值范围解：（）由b2aca2+c2，得 b2a2+c2+ac，由余弦定理可知若 a1，c2，ABC 的面积为（）若b3，由正弦定理可得由于，2（sinA+cosAsinA）2（sinA+cosA），由于，可得，可得可得 ABC 周长的取值范围19在公差不为零的等差数列an中，a1 11，且 a2、a5、a6成等比数列（）求数列an的通项公式；（）求数列|a2n1|的前 n 项和 Tn【分析】（）设等差数列an的公差为d，由 a2、a5、a6成等比数列列式求解d，则数列an的通项公式可求；（）分类写出数列|a2n1|的通项，当 n3 时
19、，由等差数列的前n 项和公式求数列|a2n1|的前 n 项和 Tn 当 n3 时，由数列 4n15的前 n 项和减去2 倍的前 3 项和得答案解：（）设等差数列an的公差为d0，由 a2、a5、a6成等比数列，得（11+4d）2（11+d）（11+5d）解得 d 2an112（n1）132n；（）|a2n1|132（2n1）|15 4n|当 n 3 时，|a2n1|154n|154n，当 n 3 时，|a2n1|154n|4n15，2n213n+4220已知 m R，函数 f（x）x2+mx+1（）当m2，解不等式f（x）4x+4；（）若对任意的x 1，3，不等式f（x）x2+10+|x24|
20、恒成立，求m 的取值范围【分析】（）m2 时不等式为一元二次不等式，求出解集即可；（）x 1，3时不等式化为mx9+|x2 4|，分离 m，求出对应函数的最小值即可解：（）当m2 时，f（x）x2+2x+1，不等式 f（x）4x+4 化为 x2+2x+14x+4，解得 1x3；所以不等式的解集为（1，3）（）x 1，3时，不等式f（x）x2+10+|x24|，即 x2+mx+1x2+10+|x24|，所以 mx9+|x2 4|，所以 m；当 2x 3 时，当且仅当时取等号；当 1x 2 时，当 x2 时取等号；又，所以；综上所述，m 的取值范围是21在平面直角坐标系xOy 中，E：（x 1）2
21、+（y1）24（）过点P（3，4）作 E 的切线，求切线的方程；（）过点Q（2，2）作两条互相垂直的直线分别与E 交于 A、C、B、D 四点，求四边形 ABCD 面积的最大值【分析】（）需要分类讨论：切线的斜率存在和不存在两种情况；（）设点Q 到直线 AC、BD 的距离分别为d1，d2，根据四边形的面积公式利用基本不等式的性质即可得出解：（）当切线斜率不存在时，易观察直线x3 与圆 E 相切当切线斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y4k（x3），即 kxy+43k 0圆心到切线的距离，解得，切线方程为5x12y+330所以，过点P 的圆的切线方程为x3 和 5x 12y+330（）设点Q
22、 到直线 AC、BD 的距离分别为d1，d2，则有，可求得，当且仅当d1d21 时等号取到四边形 ABCD 面积的最大值为622已知数列 an满足 a12，（）求a2，a3的值，并求数列an的通项公式；（）若bnlog3（an+1），求数列的前 n 项和 Sn；（）若数列的前 n 项和为 Tn，求证：【分析】（）推出数列an+1是以 3 为首项、3 为公比的等比数列即可求解数列的通项公式（）化简bnlog3（an+1）n，通过裂项消项法求解数列的和即可（）利用放缩法结合等比数列求和转化求解证明即可解：（）a2 8由 an+13an+2，可得 an+1+13（an+1），a1+1 30数列 an+1是以 3 为首项、3 为公比的等比数列，数列 an的通项公式为（）若bnlog3（an+1）n，（）证明：，