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1、2019-2020 学年浙江省温州市新力量联盟高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10 小题）.1不等式x23x100 的解集是（）A（2，5）B（5，2）C（，5）（2，+）D（，2）（5，+）2若（1，2），（1，1），则等于（）A（1，2）B（2，1）C（0，3）D（0，3）3已知 ab，则下列不等式成立的是（）AB2a2bCa2b2Dacbc4已知数列 an满足 a21，a36，且数列 an+n为等比数列，则a4的值为（）A23B32C36D405 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 b3，c 2，则a（）ABC4D6等差数列 an中，a36，a816，Sn是数
2、列 an的前 n 项和，则（）ABCD7设 ABC 的三个内角为A，B，C，向量（sinA，sinB），（cosB，cosA），若2cosC，则 C 的值为（）ABCD8已知，则（）ABCD9已知平面向量，且满足|2，若为平面单位向量，则|+|的最大值（）A3BC4D10设 a 为正实数，数列an满足 a1 a，an+1an+2（n N*），则（）A任意 a0，存在 n2，使得 an 2B存在 a0，存在 n2，使得 anan+1C任意 a0，存在 m N*，使得 amanD存在 a0，存在 m N*，使得 anan+m二、填空题（共7 小题）.11已知角的终边经过点（4，3），则 sin；c
3、os（+）12设实数x，y 满足约束条件，则zx+y 的最大值为，最小值为13已知 ，都是锐角，sin，cos（+），则 sin 14在 ABC 中，ACB 90，BC2，AC，点 M 在 BC 边上，且，则 sinBMA；AM15设数列 an的前 n 项和为 Sn，满足（n N*），则 a1；S316已知正实数x，y 满足 x2+4y2+6xy2，则 x+2y 的最小值是17已知，是不共线的两个平面向量，与所成角为60，4，若对任意的m，n R，|+m|的最小值为，则|（1 n）+|的最小值是三、解答题：本大题共5 题，共 74 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程18已知函数，x R（
4、）求f（x）的单调递增区间；（）若，求 f（x）的值域19已知，是同一平面内的三个向量，其中（1，2）（）若|3，且，求的坐标；（）若|2，且（+）（2），求与的夹角 的余弦值20在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若（b a）sinB+asinAcsinC，且 c2（）求角C 的度数；（）求 ABC 面积的最大值21已知数列 an满足：a11 且 an+12an+1（）证明数列an+1为等比数列；（）记数列的前 n 项和 Tn，证明 Tn222已知函数f（x）x2+bx+5（）若对于任意的x（1，2），f（x）0 恒成立，求实数b 的取值范围；（）记f（x）在 1，2内
5、的最大值为M，最小值为m，若 nMm 有解，求n 的取值范围参考答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1不等式x23x100 的解集是（）A（2，5）B（5，2）C（，5）（2，+）D（，2）（5，+）【分析】不等式化为（x+2）（x5）0，求出解集即可解：不等式x23x10 0 化为（x+2）（x5）0，解得 2x5，所以该不等式的解集是（2，5）故选：A2若（1，2），（1，1），则等于（）A（1，2）B（2，1）C（0，3）D（0，3）【分析】利用向量的坐标运算即可得出解：（1，2），（1，1），（1，1）（1，2）（
6、0，3）故选：D3已知 ab，则下列不等式成立的是（）AB2a2bCa2b2Dacbc【分析】给实数a，b 在其取值范围内任取2 个值 a 3，b 1，代入各个选项进行验证，A、C 都不成立，当c0 时 D 不成立解：实数a，b 满足 ab，若 a 3，b1，则A、C 都不成立，当 c0 时 D 不成立；故只有 B 成立，故选：B4已知数列 an满足 a21，a36，且数列 an+n为等比数列，则a4的值为（）A23B32C36D40【分析】由题意利用等比数列的定义和通项公式，求出a4的值解：数列 an满足 a21，a36，且数列 an+n为等比数列，公比 q3，故 a4+4（a3+3）?q9
7、327，则 a423，故选：A5 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 b3，c 2，则a（）ABC4D【分析】由已知利用余弦定理即可求解解：b3，c2，cos（A）cosA，cosA，由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA32+22232（）16解得 a4故选：C6等差数列 an中，a36，a816，Sn是数列 an的前 n 项和，则（）ABCD【分析】等差数列an的公差设为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，由等差数列的求和公式可得Sn，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和解：等差数列an的公差设为d，由 a36，a816，可得 a1+2d6，a1+
8、7d 16，解得 a1 d2，可得 Sn 2n+n（n1）2n（n+1），则，可得则1+1故选：D7设 ABC 的三个内角为A，B，C，向量（sinA，sinB），（cosB，cosA），若2cosC，则 C 的值为（）ABCD【分析】利用向量的坐标表示求出向量的数量积，结合2cosC，转化求解C解：ABC 的三个内角为A，B，C，向量（sinA，sinB），（cosB，cosA），sinAcosB+sinBcosAsin（A+B）sinC，又因为2 cosC，所以sinC2cosC，所以sinC+cosC 2（sinCcos+sincosC）2sin（C+）2，因为 0C，所以 C+，所以
9、C故选：B8已知，则（）ABCD【分析】由已知利用两角和的正切求得tanA，然后利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解解：由，得，解得：tanA2故选：C9已知平面向量，且满足|2，若为平面单位向量，则|+|的最大值（）A3BC4D【分析】先根据向量额数量积公式求出的的夹角为60，不妨设（2，0），（1，），再设（cos，sin），根据向量的坐标运算和数量积，以及三角函数的性质即可求出解：|2，设的的夹角为，?|?|?cos 22 cos 2，cos，60，不妨设（2，0），（1，），再设（cos，sin）|+|（+）?|（3，）?（cos，sin）|3cos+sin|2|sin（+30）|2
10、，故选：B10设 a 为正实数，数列an满足 a1 a，an+1an+2（n N*），则（）A任意 a0，存在 n2，使得 an 2B存在 a0，存在 n2，使得 anan+1C任意 a0，存在 m N*，使得 amanD存在 a0，存在 m N*，使得 anan+m【分析】对于A，由 a0，得 a22，从而推导出不存在n2，使得 an2；对于 B，推导出1+，设t，（0t），则4（t）2+1，从而不存在n 2，使得 anan+1；对于 C，由 a0，得 a2 a+，令，解得 an 2；对于 D，由 a0，得 a2a+，令，得 an 2解：对于A，a0，a2a+222，由题意得an0，n 2
11、时，2，不存在n2，使得 an2，故 A 错误；对于 B，由已知得 2，1+，设 t，（0 t），4t24t+1 4（t）2+1，an+1an，不存在n2，使得 anan+1，故 B 错误；对于 C，a0，a2a+，令，解得 a2，an2，任意 a0，存在 m N*，使得 am an错误，故C 错误；对于 D，a0，a2a+，令，解得 a2，an2，存在 a0，存在 m N*，使得 anan+m，故 D 正确故选：D二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分11已知角的终边经过点（4，3），则 sin；cos（+）【分析】由已知结合三角函数的定义及诱导公式即
12、可求解解：由三角函数的定义可知，sin，cos，故 cos（+）cos 故答案为：，12 设实数 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最大值为2，最小值为7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案解：由实数x，y 满足约束条件，作可行域如图，解得 A（2，0），解得 B（4，3）由 zx+y，得 y x+z要使 z 最大，则直线y x+z 的截距最大，由图看出，当直线y x+z 过可行域内的点A（2，0）时直线在y 轴上的截距最大，此时 z 取得最大值，最大值为：2当直线 y x+z过可行域内的点B 时直线在
13、y 轴上的截距最小，此时 z 取得最小值，最小值为：7故答案为：2；713已知 ，都是锐角，sin，cos（+），则 sin【分析】由，都是锐角，得出+的范围，由sin和 cos（+）的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cos和 sin（+）的值，然后把所求式子的角变为（+），利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值解：，都是锐角，+（0，），又 sin，cos（+），cos，sin（+），则 sin sin（+）sin（+）cos cos（+）sin故答案为：14在 ABC 中，ACB 90，BC2，AC，点 M 在 BC 边上，且，则 sinBMA；AM【分析】由
14、已知利用勾股定理可求AB 的值，进而可求sinB，利用同角三角函数基本关系式可求cos B，cosBAM，进而根据两角和的正弦函数公式可求sinBMA 的值，在 ABM 中由正弦定理可求AM 的值解：在 ABC 中，ACB 90，BC 2，AC，点 M 在 BC 边上，且，AB，sinB，cos B，cosBAM，sin BMA sin （B+BAM）sin（B+BAM）sin Bcos BAM+cosBsinBAM+在 ABM 中，AM 故答案为：，15设数列 an的前 n 项和为 Sn，满足（n N*），则 a1；S3【分析】直接利用数列的递推关系式的应用和赋值法的应用求出结果解：数列 a
15、n的前 n 项和为 Sn，满足（n N*），当 n 1 时，解得当 n 2 时，解得当 n 3 时，整理得当 n 4 时，整理得，所以，解得，所以故答案为：16已知正实数x，y 满足 x2+4y2+6xy2，则 x+2y 的最小值是【分析】令x+2yt 则 xt 2y，代入已知结合二次函数的性质即可求解解：令 x+2yt 则 xt2y，x2+4y2+6xy 2，（t 2y）2+4y2+6（t2y）y2，整理可得4y22ty+2t20，4t216（2t2）0，解可得，t或 t（舍），故 x+2y 的最小值故答案为：17已知，是不共线的两个平面向量，与所成角为60，4，若对任意的m，n R，|+m
16、|的最小值为，则|（1 n）+|的最小值是【分析】根据平面向量数量积的定义可知，设，则，利用|+m|，可将模长问题转化为关于m 的二次函数最值问题，推出 t216 对|（1n）+|进行平方得，代入相关数据，可将其转化为关于n 的二次函数最值问题，借助配方法即可得解解：与所成角为60，4，即，设，则，|+m|，对任意的m R，|+m|的最小值为，当时，有，解得 t216，（1n）24+4n（1n）+4n2 4（n2 n+1），当且仅当n时，有最小值3，即|（1n）+|有最小值故答案为：三、解答题：本大题共5 题，共 74 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程18已知函数，x R（）求f（x）
17、的单调递增区间；（）若，求 f（x）的值域【分析】（）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，再由复合函数的单调性求函数的单调递增区间；（）由x 的范围求得相位的范围，进一步可得函数的值域解：（）f（x）2sin2x+cos（2x）1cos 2x+sin 2x cos 2xsin 2xcos 2x令 2k 2x2k+（k Z）得 k xk+（k Z），即 f（x）的单调递增区间为k，k+（k Z）；（）由，得，故 f（x）的值域为19已知，是同一平面内的三个向量，其中（1，2）（）若|3，且，求的坐标；（）若|2，且（+）（2），求与的夹角 的余弦值【分析】（）由题意利用两个向量平行的性质，两个
18、向量的数量积公式，求出的坐标（）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出与的夹角的余弦值解：（）（1，2），若|3，且，设的坐标为（x，2x），则 x2+（2x）2，求得 x 3，故设的坐标为（3，6），或（3，6）（）若|2，且（+）（2），则（+）?（2）2?524?0，?3，即?2?cos 3，故 cos 20在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若（b a）sinB+asinAcsinC，且 c2（）求角C 的度数；（）求 ABC 面积的最大值【分 析】（）由 已 知 利 用 正 弦 定 理 可 得a2+b2 c2 ab，由 余 弦 定 理 得，结合
19、范围C（0，），可求C 的值（）由已知利用基本不等式可求ab4，利用三角形的面积公式可求ABC 面积的最大值为解：（）由正弦定理得（ba）b+a2c2，即 a2+b2c2ab由余弦定理得，C（0，），（）由面积公式，由 a2+b2c2ab，得到 ab+4a2+b2，由不等式a2+b22ab，得到 ab+42ab，ab4，从而，当且仅当ab2 时取等号所以 ABC 面积的最大值为，21已知数列 an满足：a11 且 an+12an+1（）证明数列an+1为等比数列；（）记数列的前 n 项和 Tn，证明 Tn2【分析】（）将原等式两边加1，运用等比数列的定义，即可得证；（）运用等比数列的通项公式可
20、得an，再分别运用构造等比数列、整体构造和裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证【解答】证明：（）由an+12an+1，得 an+1+12（an+1），可知 an+1为等比数列，首项为a1+12，公比为2；（）由（）可得an+12n，得到，即证明，法 1：（构造等比数列）因为，所以当 n 1 时，有，则法 2：（整体构造法），从而得到法3：（裂项法），即22已知函数f（x）x2+bx+5（）若对于任意的x（1，2），f（x）0 恒成立，求实数b 的取值范围；（）记f（x）在 1，2内的最大值为M，最小值为m，若 nMm 有解，求n 的取值范围【分析】（）f（x）0在区间（1，2）上恒成立，化为 b 大于最大值，设，利用函数的单调性求解即可（）推出n（Mm）min，通过 当，当，当，求出不等式的最小值即可【解答】解（）f（x）0 在区间（1，2）上恒成立，bx 5x2在 x（1，2）上恒成立，b，恒成立，即b 大于的最大值，设，由函数性质易得：g（x）在 x 1，2上是单调递增函数，b，即 b，+）（）nMm 有解，n（Mm）min，当，即 b 4 时，Mmf（1）f（2）3b 1；当，即 b 2 时，Mmf（2）f（1）b+31，当，即 4b 2 时，Mmy与 y对应图象如图：当 b 3 时，Mm 最小值为，