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1、天津市红桥区2019-2020 学年高一下学期期中考试试题数学第卷（共 36 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，本卷共 12 题，每小题 3 分，共 36 分1.在复平面内表示复数(1)ii的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】把(1)ii展开即得.【详解】2(1)1iiiii，复数(1)ii对应的点的坐标为1,1，在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2.已知i是虚数单位，若复数12aii是纯虚数，则实数a等于（）A.2 B.12C.12D.2【答案】D【解析】【分析】把复数12aii
2、展开，由实部为0，虚部不为0，即求实数a.【详解】复数21222221aiiiaiaiaai为纯虚数，20,2210aaa.故选：D.【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的分类，属于基础题.3.已知向量2,4a，1,1b，则2ab（）A.5,7B.5,9C.3,7D.3,9【答案】A【解析】因为2(4,8)a，所以2(4,8)(1,1)ab=（5，7），故选 A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.4.已知向量1,2ambm，若/ab，则实数m（）A.2 B.2C.2 D.0【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，可求m.【详解】由/ab，可得2120,2mm.故选：B
3、.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.5.已知i是虚数单位，,a bR，31iabii，则ab等于（）A.1 B.1 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法化简31ii，再根据复数相等的充要条件求出,a b，即得答案.详解】2231334241211112iiiiiiabiiiiii，1,2,1abab.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.6.若i为虚数单位，则复数311ii的模是（）A.2 2B.5C.5 D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算把311ii化成,abi a bR的形式，则模为22ab.【详解】223
4、1131331241211112iiiiiiiiiiii，2231121251iii.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.7.复数z满足11zzi，则z的值是（）A.1iB.1iC.iD.i【答案】D【解析】【分析】由11zzi，求出复数z，把z写出,abi a bR的形式，即求z.【详解】222111211,1111iiiizziziiiii，zi故选：D.【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.8.已知向量(11)a，(12)b，则(2)aba（）A.1B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】由向量的坐标运算表示2ab，再由数量积的坐标运算即
5、可得解.【详解】解：因为1,1a，1,2b则21,01,11aba；故选C【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目9.已知点1 236AB，则线段AB的中点坐标为（）A.2,1B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【解析】【分析】根据线段的中点坐标公式即得.【详解】3,126AB，线段AB的中点坐标为13 26,22，即1,2.故选：B.【点睛】本题考查线段的中点坐标公式，属于基础题.10.设向量3,1,2,2ab，若abab，则实数（）A.1 B.0 C.2D.2【答案】C【解析】【分析】写出向量,abab的坐标，由abab，得0abab，即求.【详解】3,1,2,2,
6、23,2,32,2ababab.,0abababab，22332220,2,2.故选：C.【点睛】本题考查向量垂直的性质，属于基础题.11.已知1a，=(0,2)b，且1a b，则向量a与b夹角的大小为()A.6B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】0,2b可知，2b，由向量夹角的公式求解即可【详解】0,2b可知，2b，1cos,2a ba ba b，所以夹角为3，故选 C.【点睛】本题考查向量的模的定义和向量夹角的计算公式12.已知123cossin,2 cossin26633zizi，则12z z（）A.iB.2iC.2 2iD.3i【答案】D【解析】【分析】根据复数乘法运算的三角表
7、示，即得答案.【详解】1233cossin2 cossin2 cossin2663326363z ziii3 cossin322ii.故选：D.【点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题.第卷（共 64 分）二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分13.i是虚数单位，则21i_【答案】1i【解析】【分析】根据复数的除法运算即得答案.【详解】22 12 12 12111112iiiiiiii.故答案为：1i.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.14.i是虚数单位，则复数1ii的实部为 _【答案】1【解析】【分析】把1ii展开，21i代入即得.【详解】211iii
8、ii,复数1ii的实部为1.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.15.计算：QPNQMNMP_【答案】0【解析】【分析】根据向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则进行运算，即得答案.【详 解】由 向 量 加 法 的 交 换 律、向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 和 向 量 减 法 法 则 可 得0QPNQMNMPNQQPMNMPNPPN.故答案为：0.【点睛】本题考查向量加减法的运算法则和向量加法的交换律，属于基础题.16.已知3,4ab，且向量,a b的夹角为120，则a b_【答案】6【解析】【分析】根据数量积的定义即求.【详解】3,4ab,且向量
9、,a b的夹角为120，1cos1203462a ba b.故答案为：6.【点睛】本题考查向量数量积的定义，属于基础题.17.已知122 03ABC x，、，、，且ABC、三点共线，则x_【答案】52【解析】【分析】由,A B C三点共线，得/AB BC，根据向量共线的坐标表示求x.【详解】,A B C三点共线，/AB BC.,1,22,0,3,2,33,2ABABBCxC x，53 3220,2xx.故答案为：52.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.18.若向量|2,2,()babaa，则,a b的夹角的度数为_【答案】0【解析】【分析】设向量,a b的夹角为0180.由aab
10、，得0aab，再根据数量积的定义求夹角.【详解】设向量,a b的夹角为0180.22,00,()aababaaa ba ba，又|2,2,22cos4,cos1,0ba.故答案为：0.【点睛】本题考查向量垂直的性质和数量积的定义，属于基础题.19.已知,a bR，i是虚数单位若ai与2bi互为共轭复数，则2abi_【答案】34i【解析】【分析】根据共轭复数的定义，求出,a b，再把2abi展开即得.【详解】ai与2bi互为共轭复数，2,1ab,22224434abiiiii.故答案为：34i.【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法，属于基础题.20.在平行四边形ABCD中，若1,3,2,5ABA
11、C，则向量AD的坐标为 _【答案】1,2【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则可知ACABAD，可求AD的坐标.【详解】平行四边形ABCD中，ACABAD.1,3,2,5,2,51,31,2ABACADACAB.故答案为：1,2.【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题.三、解答题：本大题共 4 个小题，共 40 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤21.已知i是虚数单位，复数22563,zmmmm i mR（）当复数z为实数时，求m的值；（）当复数z为虚数时，求m的值；（）当复数z为纯虚数时，求m的值【答案】（）0 或 3；（）0m且3m；（）2.【解析】【分析】（）根据
12、虚部为0，求m；（）根据虚部不为0，求m；（）根据实部为0，虚部不为0，求m.【详解】复数22563,zmmmm i mR.（）当复数z为实数时，有230,0mmm或3m.（）当复数z为虚数时，有230,0mmm且3m.（）当复数z为纯虚数时，有2230560mmmm，解得2m.【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.22.在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c已知45,6,cos5acB（）求b和sinA的值；（）求cos4A的值【答案】（）13b，3 13sin13A；（）2626.【解析】【分析】（）由余弦定理求b.根据平方关系式求sin B，再根据正弦定理求sin A；
13、（）根据三角形中大边对大角，得A为锐角.由（）知sin A，根据平方关系式求cos A，再根据两角和的余弦公式求cos4A.【详解】（）ABC中，已知45,6,cos5acB由余弦定理得2222242cos562 56135bacacB，13b又2243sin1cos155BB由正弦定理sinsinabAB，可得35sin3 135sin1313aBAb.（）5,13,6,abcbacBACA为锐角.由（）知23 132 13sin,cos1sin1313AAA.2 1323 13226coscoscossinsin44413213226AAA.【点睛】本题考查正余弦定理、同角三角函数基本关系
14、式和两角和的余弦公式，属于基础题.23.设ABC的内角,A B C所对边的长分别是,a b c，且3,4,2bcCB（）求cosB的值；（）求sin 23B的值【答案】（）23；（）4 5318.【解析】【分析】（）由正弦定理和倍角公式可求cosB；（）由（）知2cos3B.根据平方关系式求出sin B，根据倍角公式求出sin2,cos 2BB，最后根据两角差的正弦公式求sin 23B.【详解】（）ABC中，3,4,2bcCB.由正弦定理sinsinbcBC,可得34442sinsinsin 22sincossincosBCBBBBB，2cos3B.（）由（）知22225cos,sin1cos
15、1333BBB，22524 521sin 22sincos2,cos 22cos12133939BBBBB.4 51134 53sin 2sin2 coscos2sin333929218BBB.【点睛】本题考查正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式和两角差的正弦公式，属于中档题.24.已知,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边，3 sincosabAaB（）求角B的值；（）若2,bABC的面积为3，求,a c【答案】（）3B；（）2ac.【解析】【分析】（）由正弦定理把3 sincosabAaB化为sin3sinsinsincosABAAB，约去sin A，利用辅助角公式，可求B；（）根据面积公式和余弦定理求,a c【详解】（）3 sincosabAaB，由正弦定理可得sin3sinsinsincosABAAB.又sin0,3 sincos1ABB，由辅助角公式得12sin1,sin662BB.5 0,666BB，,663BB.（）ABC的面积为3，1sin32acB，由（）知,43acB.又2b，由余弦定理得2222cosbacacB，即2222424cos,83acac，又4,2acac.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式和面积公式，属于中档题.