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1、-1-高二阶段性第四次测试数学试题一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分共 60 分）1.命题“0 xRQe，30 xQ”的否定是（）A.0 xRQe，30 xQB.0 xRQe，30 xQC.xRQe，3xQD.xRQe，3xQ【答案】D【解析】【分析】把结论否定，存在改为任意【详解】命题“0 xRQe，30 xQ”的否定是“xRQe，3xQ”故选：D【点睛】本题考查命题的否定，掌握命题的否定的定义是解题关键命题否定中注意不仅结论要否定，存在量词与全称量词还要互换2.在等比数列na中，1232aaa，4564aaa，则101112aaa等于（）A.32B.16C.12D.8【答案】B【解
2、析】【分析】利用等比数列的性质求解【详解】na是等比数列，1232aaa，123aaa，456aaa，789aaa，101112aaa仍成等比数列，由已知4561232aaaaaa，31011122216aaa故选：B【点睛】本题考查等比数列的性质掌握等比数列片断和的性质是解题关键3.已知a是 1，2 的等差中项，b是1，16的等比中项，则ab等于（）A.6B.6C.6D.12-2-【答案】C【解析】【分析】根据等差中项和等比中项定义求出,a b后可得结论【详解】由题意12322a，2(1)(16)16b，4b，6ab故选：C【点睛】本题考查等差中项和等比中项的定义，解题时要注意等比中项有两个
3、4.若实数x、y满足221xy，则xy的取值范围是（）A.,2B.0,2C2,D.2,0【答案】A【解析】【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于xy的不等关系式，进而可求出xy的取值范围.【详解】1212222 2xyxy即11212xy可得124xy2xy，(当且仅当xy时取等号)故xy的取值范围是：(,2.故选：A【点睛】本题主要考查了根据均值不等式应用，解题关键是灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5.已知不等式2230 xx的解集为A,260 xx的解集为 B，不等式2+0 xaxb的解集为AB，则ab（）A.-3B.1C.-1D.3-3-【
4、答案】A【解析】【分析】根据题意先求出集合,A B，然后求出=1,2AB()，再根据三个二次之间的关系求出,a b，可得答案.【详解】由不等式2230 xx有13x-f的解集是（）A.(3,1)(3,)B.(3,1)(2,)C.(1,1)(3,)D.(,3)(1,3)【答案】A-5-【解析】试题分析：由函数f（x）246,06,0 xxxxx得(1)3()3ff x不等式化为即20463xxx或063xx所以301-303-31xxxxx或或或考点：分段函数和解不等式10.一次函数1myxnn的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A.1,1mn且B.0mnC.0,0mn且D.0
5、,0mn且【答案】B【解析】【详解】解：因为1myxnn的图像经过第一、三、四象限的充要条件为00,010mnmnn则必要但不充分条件表示的范围比充要条件表示的范围大因此选择B11.若正数a，b，c组成等比数列，则2log a，2log b，2log c一定是（）A.等差数列B.既是等差数列又是等比数列C.等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】A【解析】【分析】由等比数列性质得一等式，然后两边取对数可得【详解】由题意2bac，0,0,0abc，222loglog()bac，即2222logloglogbac，2log a，2log b，2log c成等差数列-6-故选：A【点睛】本题
6、考查等比数列的性质，考查等差数列的资判定，由等差中项的定义判定等差数列是证明等差数列的一种方法12.若a，b都是正数，则411baab的最小值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】【分析】将原式展开后利用基本不等式求解即可.【详解】a，b都是正数444115529bababaababab当且仅当4baab，即2ba时取等号本题正确选项：C【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，属于基础题.二、填空题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13.已知:pxR，261xm x的否定 _【答案】0 xR，20061xm x【解析】【分析】把结论否定，任意改为存在【详解】命题p
7、的否定是：0 xR，20061xm x故答案为：0 xR，20061xm x【点睛】本题考查命题的否定，掌握命题的否定的定义是解题关键命题否定中注意不仅结论要否定，14.在等比数列na中，344aa，22a，则公比q_-7-【答案】1 或2【解析】【分析】根据等比数列的通项公式求解【详解】由题意2224qq，解得1q或2q故答案为：1 或2【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的基本量计算，掌握等比数列的通项公式是解题基础15.已知:pxR，221xm x，0:qxR，200210 xxm，且p，q均为真，实数m的取值范围为 _【答案】2,1)【解析】【分析】根据不等式恒成立和一元二
8、次方程有实数解分别求出m的范围，再求交集【详 解】:pxR，221xm x，221xmx，0 x时，2201xx，0 x时，22211xxxx，0 x时，12xx（1x时取等号），2011xx，0 x时，12xx（1x时，取等号），2101xx，22111xx，1m，0:qxR，200210 xxm，则44(1)0m，2m，p，q均为真，则21m故答案 为：2,1)【点睛】本题考查由命题的真假求参数取值范围解题时要注意全称命题和特称命题的区别16.已知等比数列an为递增数列，且251021,2()5nnnaaaaa，则数列 an的通项公式 an=_-8-【答案】2n【解析】设数列na的首项为1
9、a，公比为q，则28911a qa q，所以1aq，由212()5nnnaaa得22520qq解得122qq或，因为数列na为递增数列，所以2q=，12a，所以2nna考点定位：本题考查等比数列，意在考查考生对等比数列的通项公式的应用能力三、解答题（共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明和演算步骤）17.一元二次方程20axbxc的根为 2，1，则当0a时，求不等式20axbxc的解集【答案】|12xx【解析】【分析】由韦达定理得出,a b c的关系（用a表示,b c），代入不等式后可求解【详解】由题意121 2baca，2baca，题中不等式为220axaxa，0a，220 xx，解
10、得12x故答案为：|12xx【点睛】本题考查韦达定理，考查解一元二次不等式，解一元二次不等式时，要注意二次项系数的正负，一般情况下，二次项系数为负时，在不等式两边同乘以1 化为正数，再求解18.正数a，b满足191ab，若不等式2418abxxm对任意正数,a b和任意实数x恒成立，求实数m的取值范围【答案】6,)【解析】-9-【分析】由 基 本 不 等 式 求 出a b的 最 小 值 为 16，不 等 式 变 形 为242xxm，只 要 求 得222xx的最小值，即可得m的不等关系，从而得m的取值范围【详解】解：0a，0b，191ab，199()10102 916baabababab，由题意
11、，得241186xxm，即242xxm对任意实数x恒成立，而2242(2)xxx6，所以242xx的最小值为6，6m，即6mm的取值范围是6,)【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查二次不等式恒成立问题，解题关键是把问题转化为求函数最值19.设na是各项均为正数的等比数列，2lognnba，若1233bbb，1 2 33bb b，求数列na的通项公式【答案】232nna或522nna【解析】【分析】设 等 比 数 列na的 公 比 为(0)q q，由 等 比 数 列na证 得nb是 等 差 数 列，且 公 差2logdq，由等差数列的通项公式或性质根据已知条件求出1,b d，从而得1,a q，
12、然后得通项公式na【详解】解：设等比数列na的公比为(0)q q，则2lognnba1221221loglogloglognnnnnnabbaaqa为常数nb为等差数列，且公差2logdq，而1232111231113331232bbbbbdbb bbbbdbdd或132bd-10-23nbn或52nbn232nna或522nna【点睛】本题考查等差数列的判定，考查等差数列的基本量法，考查等比数列的通项公式掌握等差数列和等比数列的通项公式是解题关键20.已知na是递增的等差数列，2a，4a是方程的根.（1）求na的通项公式；（2）求数列2nna的前n项和.【答案】（1）112nan;（2）14
13、22nnnS.【解析】【分析】（1）方程的两根为2,3，由题意得233,2aa，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可求出【详解】方程x25x60 的两根为2，3.由题意得a2 2，a43.设数列 an的公差为d，则 a4a22d，故 d12，从而得a132.所以 an 的通项公式为an12n1.（2）设2nna的前 n 项和为 Sn，由（1）知2nna122nn，则 Sn23234212nn122nn，12Sn332442112nn222nn，两式相减得12Sn34311122n222nn34111142n222nn，-11-所以 Sn2142
14、nn.考点：等差数列的性质；数列的求和【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为2,3，由题意得233,2aa，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题21.北京、张家口 2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25 元，年销售8 万件（1）据市场调查，若价格每提高1 元，销售量将相应减少2000 件，要使销售的总收入不低于原收入
15、，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元 公司拟投入216006x万作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入5x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价【答案】（1）40 元；（2）销售至少达10.2 万件，每件定价30 元.【解析】【分析】（1）设每件定价为x 元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依
16、题意，x25 时，不等式ax258+5016（x2600）15x 有解，等价于x25 时，a15016xx15有解，利用基本不等式，我们可以求得结论【详解】（1）设每件定价为t 元，依题意得（8250.21x）x258，整理得 t265t+1 0000，解得 25t40-12-所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元（2）依题意知当x25 时，不等式ax258+5016（x2600）15x 有解，等价于 x25 时，a15016xx15有解由于15016xx21506xx10，当且仅当1506xx，即 x30 时等号成立，所以 a10.2当该商品改革后的销售量a 至少达到 10
17、.2 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30 元【点睛】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义.22.设na是正数组成的数列，其前n项和为nS，并且对于所有的*nN，都有28(2)nnSa（1）写出数列na的前3项（2）求数列na的通项公式（写出推证过程）（3）设14nnnbaa，nT是数列nb的前n项和，求使得20nmT对所有*nN都成立的最小正整数m的值【答案】（1）12a，26a，310a（2）42nan（3）m的最小值是10【解析】分析：（1）在282nnSa中，令1n，求1a；令2n，求2a；令
18、3n，可求3a；（2）根据nS与na的固定关系11,1,2nnS nSSn，得221140nnnaaa，化简整理可得na是首项为2，公差为4的等差数列，从而可得结果；（3）把（2）题中na的递推关系式代入nb，根据裂项相消法求得nT，可得1412422nTn，解不等式1202m即可得到对所有nN都成立的最小整数m.详解：（1）1n时21182aa，12a；2n时212282aaa，26a；-13-3n时2123382aaaa，310a（2）282nnSa，21182(1)nnSan，两式相减得：221822nnnaaa即2211440nnnnaaaa，也即1140nnnnaaaa，0na，14
19、nnaa，即na是首项为2，公差为4的等差数列，21 442nann，（3）14411114242212122121nnnbaannnnnn，12111111123352121nnTbbbnn111221n1412422n20nmT对所有*nN都成立，1202m即10m故m的最小值是10点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)1111n nkknnk；（2）1nkn1nknk；（3）1111212122121nnnn；（4）-14-11122n nn11112n nnn；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.