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1、湖南省常德市2020 届高考模拟考试试题（一）数学（理）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合P=65|xx，Q=065|2xxx，则 PQ=_（桃源县第四中学）A、61|xx B、61|xxC、61|xx D、61|xx答案：由已知得Q=-1，6 P=（-5，6）故 PQ=-1，6 故选 C 2.设复数z满足3(1)ziz，则下列说法正确的是()(桃源一中)A.z的虚部为2i B.z为纯虚数C.5z D.在复平面内，z对应的点位于第二象限答案：C 由3(1)ziz得3(3)(1)1212iiizii，22(1
2、)25z3.设等差数列na的前n项的和为nS，若5347Sa，11a，则6a()(桃源一中)A.37B.16 C.13D.-9 答案：B 设等差数列na的公差为d，由5347Sa得：115(51)54(2)72adad，将11a代入上式解得3d，故61511516aad（法二：5347Sa，又535Sa，所以37a，由11a得3d，故61511516aad4.如图是某市连续16 日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染则下列说法不正确的是()(桃源一中)A这 16 日空气重度污染的频率为0.5 B该市出现过连续4
3、 天空气重度污染C这 16 日的空气质量指数的中位数为203 D 这 16 日的空气质量指数的平均值大于200 答案：D 这 16 日空气重度污染的频率为80.516故 A正确；12 日，13 日，14 日，15 日连续 4 天空气重度污染，故 B正确；中位数为1(192214)2032，故 C正确；1200(147543(43)6x(120)(48)60(117)(40)(21)(62)14216323(8)200，（也可根据图形判断，8 个数据大于200，8 个数据小于200，小于 200 的 8 个数据整体与200 相差较大），故D不正确.5.已知P为抛物线C：24yx上一点，F为C的焦
4、点，若4PF，则 OPF的面积为 ()(桃源一中)A.3 B.3 C.2 3 D.4答案：A 设00()P xy，抛物线的焦点(1 0)F，准线为1x，由抛物线的定义可知：0(1)4PFx03x代入C的方程得02 3y，011|1 2 3322OPFSOFy6.函数()sin()f xAx的图象如图所示，将函数()f x的图象向右平移12个单位长度，得到)(xgy的图像，则下列说法不正确的是()(桃源一中)A函数()g x的最大值为3 B函数()g x关于点(0)12，对称 C 函数()g x在(0)2，上单调递增 D函数()g x的最小正周期为答案：B 由图可知3A，353()41234T，
5、2T，将点5(3)12，代入3sin(2)yx，得2()3kkZ，故()3sin(2)3fxx，右平移12个单位长度得：()3sin2()3sin(2)3cos21232yg xxxx，故 A，C，D正确，选 B 7.已知向量a与a+b的夹角为60，|a|=1，|b|=3，则ab=()(桃源一中)A.0 B.32C.32 D.0或32答案：A如图，ABa BCb ACab，由余弦定理：2222sinBCABACAB ACA，已知6013AABBC，代入上式得2AC，222ABBCAC，故90B，即ab，0a b法二：设a与b的夹角为，由题设()1|cos60aabab，即21|2aa bab，
6、所以113cos|2ab，224(13cos)()42 3cos(1)ab即22coscos0，所以cos0或32，经检验，32不符合(1)式，舍去，故0a b8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为100 秒，且一次亮红灯的时间不超过70 秒，一次亮绿灯的时间不超过60 秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为()(桃源一中)A.67 B.35 C.13 D.110答案：C 设亮绿灯的时间随机设置为t 秒，则60t，亮红灯的时间10070t，所以3060t，亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为50t，由几何概型的概率公式知：60
7、50160303P9.362(1)()xxx的展开式中的常数项为()(桃源一中)A.240 B.180 C.60 D.80答案：B62()xx的通项为63262rrrCx，所以362(1)()xxx的展开式中的常数项为6 12344262x Cx和662226(1)2Cx，又4422662224060180CC，所以362(1)()xxx的展开式中的常数项为18010.设函数121()(1)xf xex，则不等式()(21)f xfx的解集为 ()(桃源一中)A.(10)，B.(1)，-C.1(1)3，D.1(1 0)(0)3，答案：D ()f x的定义域为|1 x x，考虑函数21()xg
8、xex为偶函数，在(0,)上单调递增，在(,0)上单调递减，g(x)的图像向右平移1 个单位得到()f x的图像，所以函数()f x关于x=1 对称，在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.由()(21)f xfx，可得1211|1|(21)1|xxxx，解得：113x且0 x11.几何体甲与乙的三视图如右图，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲的外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为()(桃源一中)A.32 B.94 C.49 D.132答案：B 由三视图可知甲为圆锥，乙为球，设球的半径为
9、R，设圆锥底面半径为r，则圆锥高2hR，因为甲与乙的体积相等，所以324133 R r h，即222Rr，2rR；设圆锥的外接球半径为1R，则22211()RrhR即222112(2)RRRR，132RR，故几何体甲的外接球与几何体乙的表面积之比为2124944RR.12.已知函数2106()0 xxxfxlnxxx，()()g xf xax（其中a为常数），则下列说法中正确的个数为()(桃源一中)函数()f x恰有 4 个零点；对任意实数a，函数()g x至多有 3 个零点；若a0，则函数()g x有且仅有3 个零点；若函数()g x有且仅有3 个零点，则a的取值范围为11(0)62e，(桃
10、源一中)A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 当0 x时，()f x的图像为抛物线216yxx的一部分当0 x时，当0 x时，21ln()xfxx，所以(0,)xe时，()0fx，()f x单调递增，(,)xe时，()0fx，()f x单调递减，画出()f x的图像如图所示，由图可知()f x恰有 3 个零点，故不正确；设()f x的过原点的切线的斜率为1k，切点为000ln(,)xP xx，2ln1ln()xxxx，由022000201lnlnxkxxxkx，解得011,2xe ke()f x在0 x处的切线2l的斜率为22001111()|(2)|6662xxkxxxe，因为()()g
11、 xf xax零点个数，即函数()yf x与yax的交点个数，由图可知：12ae时，有 1 个交点；12ae时，有 2 个交点；11)62ae，时，有 3 个交点；1(0)6a，时，有 4 个交点；(,0a时，有 3 个交点.所以不正确；正确.（说明：显然0 x是()g x的零点，x0 时，也可转化为()f xax零点的个数问题，也可以画图得出答案）二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13.已知函数()ln(1)xfxxex，则曲线()yf x在0 x处的切线方程为_2yx_.(桃源一中)14 已知实数,x y满足约束条件10330,10
12、 xyxyxy则=32zxy的最小值为 -2 15.已知数列na的各项为正，记nS为na的前n项和，若2113()2nnnnaanNaa，11a，则5S_121_.(桃源一中)16.已知双曲线C:22221(0,0)xyabab，O是坐标原点，F是C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为,A B且OAB为直角，记OAF和OAB的面积分别为OAFS和OABS，若13OAFOABSS，则双曲线C的离心率为答案：.2 63或2 33三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题12 分）已知向量m(sin3)x，n=(1cos)x，且函数()f xmn.()若5(0)6x
13、，且2()3f x，求sinx的值；()在锐角 ABC中，角ABC，的对边分别为abc，若a，4 ABC的面积为4 3，且1()sin32f AcB，求 ABC的周长.(桃源一中)解：()()f xmn(sin3)x，(1cos)x，sin3 cosxx2sin()3x(2 分）2()3f x，1sin()33x又5(0)6x，()332x，2 2cos()33x(4 分）所以1 12 2312 6sinsin()333 2326xx(6 分）()因为1()sin32f AcB，所以12sinsin2AcB，即4sinsinAcB由正弦定理可知4abc，又a4所以bc16(8 分）由已知 AB
14、C的面积1sin4 32bcA，可得3sin2A，又(0)2A，3A(10 分）由余弦定理得222cos1bcbcA，故2232bc，从而2()64bc所以 ABC的周长为12(12 分）18（本小题12 分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABAD，22ADBCAB，O是AD的中点()在线段PA上找一点E，使得BE平面PCD，并证明；()在(1)的条件下，若2PAPDAD，求平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值(桃源一中)解：()E是线段 PA的中点，(1 分）证明：连接BE，OE，OB，O是 AD的中点，OEPD，又OE平面PC
15、D，PD平面PCD，OE平面PCD，(3 分）又底面ABCD是直角梯形，22ADBCAB，OBCD，又OB平面PCD，CD平面PCD，OB平面PCD，(4 分）OE平面OBE，OB平面OBE，OEOBO，平面OBE平面PCD，又BE平面OBE，BE平面PCD(6 分）（也可通过线线平行来证明线面平行）()平面PAD平面ABCD，2PAPDAD，POAD，PO平面ABCD，且1OC，3PO，以O为原点，如图建立空间直角坐标系Oxyz，(8 分）得0,0,0O，1,1,0B，0,0,3P，1,0,0C，130,22E，得130,22OE，1,1,0OB，设,mx y z是平面OBE的一个法向量，则
16、mOEmOB，得300yzxy，取3x，得3,3,1m，(10 分）又易知0,1,0n是平面POC的一个法向量，设平面OBE与平面POC所成的锐二面角为，则321coscos,77 1m nm nmn，即平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值为217(12 分）19（本小题12 分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018 年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8 元；超过 1kg 的包裹，在8 元的基础上，每超过1kg(不足 1kg，按 1kg 计算)需再收 4 元该公司将最近承揽(接收
17、并发送)的 100 件包裹的质量及件数统计如下(表 1)：表 1：公司对近50 天每天承揽包裹的件数(在表 2 中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表 2)：包裹质量（kg)（0，1（1，2（2，3（3，4（4，5 包裹件数43 30 15 8 4 件数范围(0，100(100，200(200，300(300，400(400，500 表 2：()将频率视为概率，计算该公司未来3 天内恰有1 天揽件数在(100，300 内的概率；()根据表1 中最近 100 件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前
18、台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用目前，前台有工作人员5 人，每人每天揽件数不超过100 件，日工资80 元公司正在考虑是否将前台人员裁减1 人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1 人?(桃源一中)解：()将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300 内的天数为102535，频率为3575010f，故该公司1 天揽件数在(100，300 内的概率为710(2 分）未来 3 天包裹件数在(100，300 内的天数X服从二项分布，即7(3)10XB，所以未来3天内恰有1 天揽件数在 100，299 内的
19、概率为：12373189()()10 101000PC(5 分）()由题可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元）、包裹件数如下表所示：所以每件包裹收取快递费的平均值为1438301215 1682042412100(7 分）根据题意及，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元）若不裁员，则每天可揽件的上限为500 件，公司每日揽件数情况如下：天数5 10 25 5 5 每天承揽包裹的件数50 150 250 350 450 包裹质量（kg)（0，1（1，2（2，3（3，4（4，5 快递费（元）8 12 16 20 24 包裹件数43 30 15 8 4 每天承揽包裹的件数Y的期望 E(Y)=
20、500.1+1500.2+2500.5+3500.1+4500.1=240公司每日利润的期望值为1240125 805603元(9 分）若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为400 件，公司每日揽件数情况如下：每天承揽包裹的件数Y的期望 E(Y)=500.1+1500.2+2500.5+3500.1+4000.1=2 35 公司每日利润的期望值为1235 124 806203元(11 分）因为 560620，所以公司应将前台工作人员裁员1 人(12 分）20.有一种曲线画图工具如图1 所示是滑槽的中点，短杆ON可绕 O转动，长杆MN通过 N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且21
21、ONDN，1DM当栓子 D在滑槽 AB内作往复运动时，带动 N绕转动，M处的笔尖画出的曲线记为C以为原点，所在的直线为轴建立如图2 所示的平面直角坐标系件数范围(0，100(100,200(200,300(300，400(400，500 天数5 10 25 5 5 每天承揽包裹的件数 Y 50 150 250 350 450 概率 P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1 件数范围(0，100(100，200(200，300(300，400(400，500 天数5 10 25 5 5 每天承揽包裹的件数 Y 50 150 250 350 400 概率 P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.
22、1（）求曲线C的轨迹方程；（2)设2F为曲线 C的右焦点，P为曲线 C上一动点，直线2PF斜率为)0(kk，且2PF与曲线 C的另一个交点为Q，是否存在点),0(tT，使得TQPTPQ,若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由.（芷兰实验学校谌兴明供题）解（1）设),(yxM则）（0,2xD，则1)2(22yxx及1422yx5（2）设直线PQ的方程为(3)yk x，将(3)yk x代入2214xy，得2222148 31240kxk xk；设1122,P x yQ xy，线段PQ的中点为00,N x y，21212000224 33,3214214xxyykkxyk xkk，即2224
23、33,1414kkNkk8因为TQPTPQ所以直线TN为线段PQ的垂直平分线，所以TNPQ，则1TNPQkk，即，所以23 33 31414ktkkk，01当0k时，因为144kk，所以3 30,4t，当k0时，因为144kk，所以3 3,04t.综上，存在点T，使得|TPTQ，且t的取值范围为3 33 3,00,442121（本小题12 分）已知函数()(ln)xf xxea xx，其中2.71828e为自然对数的底数.（1）若()1f x，求实数 a 的值；（2）证明：2(2ln)2(1sin)xx exxx.（常德市一中）解：（1）法一：22234114341ktkkkk当0a时，111
24、()(ln)ln12222222eeeehaa与()1f x恒成立矛盾，不合题意；当0a时，(1)()()xxxeafxx，令()xxahex，则()(1)0 xh xxe，所以()h x在(0,)上递增，又(0)0ha，()(1)0aah aaeaa e故存在0(0,)x，使0()0h x，且00 xx ea，00lnnlxxa当0(0,)xx时，()0h x，()0fx，()f x递减，当0(,)xx时，()0h x，()0fx，()f x递增所以0min0000()()nnl(lxeaaaf xf xxaxx故()1f x，即ln10aaa，令()ln1aaaa，则()lnaa，知()a
25、在(0,1)上递增，在(1,)上递减，所以max()(1)0a，要使()ln10aaaa，当且仅当1a综上，实数a 的值为 1 法二：ln()(ln)(ln)xxxf xxea xxea xx，令ln,txx tR则()1f x等价于10teat，对任意tR恒成立，令()1th teat，当0a时，10()220ah tee与()0h t恒成立矛盾，不合题意；当0a时，()1th te，11(1)110hee与()0h t恒成立矛盾，不合题意；当0a时，()tah te，()h t在(,ln)a上递减，在(ln,)a上递增，所以()h t的最小值为(ln)ln1haaaa令()ln1aaaa，
26、则()lnaa，知()a在(0,1)上递增，在(1,)上递减，所以max()(1)0a，要使()ln10aaaa，当且仅当1a（2）由（1）知，当1a时，ln1xxexx，即ln1xxexx，所以22lnxx exxxx，下面证明2ln(2ln)2(1sin)xxxxxxx，即证：222sin0 xxx令2()22sing xxxx，()212cosg xxx当01x时，显然()g x单调递增，()(1)12cos112cos03g xg，所以()g x在(0,1上单调递减，()(1)22sin10g xg，当1x时，显然2,22sin0 xxx，即()0g x故对一切(0,)x，都有()0g
27、 x，即2ln(2ln)2(1sin)xxxxxxx故原不等式2(2ln)2(1sin)xx exxx成立22(本小题满分10 分)在平面直角坐标系xOy中，直线1C：10 xy，曲线2C：sin1cosayax(为参数,0a)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.()说明2C是哪一种曲线，并将2C的方程化为极坐标方程.()曲线3C的极坐标方程为0(0)，其中0tan2，0(0)2，且曲线3C分别交1C，2C于点A，B两点，若3+5OBOA，求a的值.(桃源一中)解：()由sin1cosayax消去参数得：2C的普通方程为222)1(ayx，（2 分）则2C是以)10(，为圆
28、心，a为半径的圆.（3 分）sin,cosyx，2C的极坐标方程为222)1sin()cos(a，即2C的极坐标方程为01sin222a，（5 分）()曲线3C极坐标方程为0(0)，0tan2，且02sin5所以曲线3C的直角坐标方程为2yx)0(x由102xyyx解得：1323xy，12()33A，（7 分）53OA，2 5OB（8 分）故点 B的极坐标为0(25)，代入01sin222a得13a（10 分）23(本小题满分10 分)选修 4-5：不等式选讲 设函数()|1|f xxax.(I)若1a，求不等式()3f x的解集;(II)已知关于x的不等式()|2|6f xxx在1,1x上恒成立，求实数a的取值范围.解：(I)1a时，21()|1|1|21121xxf xxxxxx，由()3f x得不等式的解集为3322xx.(5 分)(II)由题知|1|2|6xaxxx在1,1x上恒成立，且当1,1x时，|1|1,|2|2xxxx，|3xax，33xaxx，332ax，(7 分)又函数32yx在1,1x上的最小值为1，31a，即a的取值范围是3,1.(10 分)