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1、湖南省永州市2020 届高三上学期第二次模拟考试试题数学（理）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数 z 满足21zi，则 z 的共轭复数为A.1 i B.1i C.1i D.1i 2.已知集合Ax|x0，则A.A Bx|1x3 B.AB?C.ABx|x1 3.执行右图所示程序框图，若输入p14，则输出结果为A.2 B.3 C.4 D.5 4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20 名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图(1)所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示。对比健身前后，
2、关于这20 名肥胖者，下面结论不正确的是A.他们健身后，体重在区间90kg，100kg)内的人数不变B.他们健身后，体重在区间100kg，110kg)内的人数减少了4 人C.他们健身后，这20 位健身者体重的中位数位于90kg，100kg)D.他们健身后，原来体重在110kg，120kg 内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 5.已知数列321121,nnaaaaaaa是首项为8，公比为12的等比数列，则a4等于A.8 B.32 C.64 D.128 6.某校高三年级有男生220 人，编号为1，2，220；姓 380 人，编号为221，222，600。为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方
3、法从这600 名学生中抽取10 人进行问卷调查，第一组抽到的号码为 10。现从这10 名学生中随机抽取2 人进行座谈，则这2 人中既有男生又有女生的概率是A.15 B.715 C.815 D.457.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足 f(x 1)f(3 x)0，若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(2019)A.2 B.0 C.2 D.2020 8.已知函数f(x)2sin(x)(0，|)的部分图像如右图所示，且A(2，l)，B(，1)，则 的值为A.56 B.56 C.6 D.69.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便。每年
4、冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位。某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外包裹水管的保温带都是四层)：如图 1 所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一。设水管的直径与保温带的宽度都为4cm。在图 2 水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是(保温带厚度忽略不计)A.14 B.14 C.221414 D.2211611610.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为A.8B.6C.4 D.8 2311.已知双曲线22221(,0)xya bab的左、右焦点分别为
5、F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若 AF1F2的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为A.2 33 B.54 C.53 D.3 2212.数列 an满足 an1an11 n(1)n，且 0a61。记数列 an 的前 n 项和为 Sn，则当 Sn取最大值时n为A.11 B.12 C.11或 13 D.12或 13 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13.曲线 y lnx 过点(0，1)的切线方程为。14.已知 AB为圆 O的弦，若|AB|2，则OA AB。15.已知以 F 为焦点的抛物线C：y24.x 上的两点A、B满足3AFFB，则|AB|。1
6、6.已知函数22,1()11,xxxtfxxtxa。(1)若 t 1，且 f(x)值域为 1，3)，则实数a 的取值范围为。(2)若存在实数a，使 f(x)值域为 1，1，则实数t 的取值范围为。三、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17 题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必做题：60 分。17.(本题满分12 分)在 ABC中，ABC 3，点 D在边 AB上，BD 2。(1)若 BCD的面积为23，求 CD；(2)若 cos BCA 55，cosDCA 3 1010，求 CD。18.(本题满分1
7、2 分)在如图三棱锥ABCD中，BD CD，E，F 分别为棱BC，CD上的点，且BD/平面 AEF，AE 平面 BCD。(1)求证：平面AEF 平面 ACD；(2)若 BD CD AD2，E为 BC的中点，求直线AF与平面 ABD所成角的正弦值。19.(本题满分12 分)已知椭圆：22221(0)xyabab的左、右顶点分别为C、D，且过点(2，1)，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为12。(1)求椭圆的方程；(2)O 为坐标原点，设直线CP交定直线xm于点 M，当 m为何值时，OP OM为定值。20.(本题满分12 分)某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师
8、要在产品出厂前对产品进行检验.现有 n(n N*且 n2)份产品，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n 次；(2)混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验。若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这 n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为n1 次。假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为p(0p1)。(1)如果 n 4，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；(2)现对 n 份产品进行检验，运用统计概率
9、相关知识回答：当n 和 p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数?(3)当 n2k(k N*且 k2)时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望；当 nmk(k，m N*，且 k2，m 2)时，将这n 份产品均分为m组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数5 的数学期望(不需证明)。21.(本题满分12 分)已知函数f(x)e1x(x2x1)1x，g(x)(2 x)ex1(3 x)ln(3x)。证明：(1)存在唯一x0(0，1)，使 f(x0)0；(2)存在唯一x1(1，2)，使 g(x1)0，且对(1)中的 x0，有 x0 x
10、10)与 C1，C2分别交于点M、N，求ONOM的最大值。23.选修 45：不等式选讲(本题满分10 分)已知函数f(x)|x 2|。(1)求不等式f(x)2x5 的解集；(2)记函数 g(x)f(x 1)f(x5)，且 g(x)的最大值为M，若 a0，求证：213Maa。一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B A B D C C B D B A C C 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上1310 xy1
11、421516316(1)1,3（2 分）;(2)(1,21（3 分）三、解答题：本大题共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12 分）解：（1）1sin2BCDSBD BCB4BC3分在BCD中，由余弦定理可得2222cosCDBCBDBC BDB2 3CD6分（2）BCDBCADCAsinsincoscossinBCDBCADCABCADCA8分5cos5BCA，3 10cos10DCA，2 5sin5BCA，10sin10DCA，2sin2BCD10分在BCD中，由正弦定理可得sinsinCDBDBBCD，sin6sinBDBCDBCD12分18（本小题满分12
12、 分）解：（1）证明：因为/BDAEF面，BCDAEFEF面面，BDBCD面所以/BDEF，因为BDCD，所以CDEF又因为AE面BCD，CDBCD面，所以CDAE，而EFAEE，所以CDAEF面，又CDACD面，所以AEFACD面面6 分（2）解：设直线AF与平面ABD所成交的余弦值为连接DE，在BCD中，=2BD CD，BEEC，BDCD，所以DEBC，且2 2BC，2DE，又因为AEBCD面，DEBCD面，BCBCD面，所以AEDE，AEBC在Rt ADE中，2DE，2AD，所以2AE如图，以点E为坐标原点，分别以,EC ED EA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，各点坐标为(0,02)
13、A，(2,0,0)B，(0,2,0)D，(2,0,0)C，因为/BDEF，E为BC的中点，所以F为CD的中点，即22(,0)22F，设平面ABD的法向量(,)mx y z，(2,0,2)BA，(2,2,0)BD，由mBAmBD，即(,)(2,0,2)0(,)(2,2,0)0m BAx y zmBDx y z，整理得00 xzxy，令1z，得1x，1y，则(1,1,1)m 10 分因为22(,2)22AF，所以2sin3|m AFmAF，故直线AF与平面ABD所成交的正弦值为23 12 分19（本小题满分12 分）解：（1）椭圆过点(2,1)，22211ab，2 分又因为直线,PC PD的斜率之
14、积为12，可求得2212ba，联立得2,2ab所求的椭圆方程为22142xy6 分（2）方法 1：由（1）知，(2,0)为C 由题意可设:(2)CMyk x，令x=m,得(,(2)M m k m又设11(,)P x y由22142(2)xyyk x整理得：2222(12)8840kxk xk6 分21284212kxk，212241 2kxk，1124(2)12kyk xk，所以222244(,)1212kkPkk，8 分22222224(2)244282(2)12121212mkkkmkOP OMmk mkkkk，10 分要使OP OM与k无关，只须12m，此时OP OM恒等于 4.2m12
15、 分方法 2：:设00(,)P xy，则00:(2)2yCMyxx，令x=m,得00(2)(,)2ymM mx，20000000(2)(2)(,)(,)22y mymOP OMxymmxxx由2200142xy有220000(2)(2)2(1)42xxxy，所以000(2)(2)(2)2422mxmxmOP OMmx，要使OP OM与0 x无关，只须12m，此时4OP OM.2m12 分20（本小题满分12 分）解：（1）如 果4n，采 用 逐 份 检 验 方 式，设 检 测 结 果 恰 有 两 份 次 品 的 概 率 为222224(1)6(1)C pppp检测结果恰有两份次品的概率226(
16、1)pp3分（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2，由已知得1En，2的所有可能取值为1,1n211kPp,2111nPnp21(1)11nnEpnp=11nnnp5分要减少检验次数，则1E2E，则1(1)nnnnp(1)1nnp，1(1)npn，即111()npn，7分（3）两组采用混合检验的检验次数分别为1，2，则由（2）知11,1k，21,1k，12()()11kEEkkp，121212()()()()2221kEEEEkkp10 分设这m组采用混合检验的检验次数分别为1，2，,m，11,1k，21,1k，,1,1mk，且检验总次数
17、12m，11,1,2,kiPpim，111,1,2,kiPkpim()11,1,2,kiEkkpim121()()()()(1)1kkkEEEEm kmkp，所以检验总次数的数学期望(1)1km kmkp12 分21（本小题满分12 分）证明：(1)当x（0,1）时，f(x)12()(2)1xf xexx0，函数f(x)在（0,1）上为增函数又f(0)-e+10，所以存在唯一x0（0,1），使f(x0)04 分(2)当x（1，2）时，1()(2)(3)ln(3)xg xx exx,令t=2-x,x=2-t，x（1，2），t（0，1），1(2)(1)ln(1)tgttett,t（0，1）6 分记
18、函数1(2)()ln(1)11tgtteh tttt，t（0，1）则h(t)1222(1)1()(1)(1)tetttf ttt8 分由(1)得，当t(0，x0)时，f(t)0，h(t)0，所以h(t)在(0，x0 上无零点在(x0，1)上h(t)为减函数，由h(x0)0，h(1)12ln 20，故(2)()1gth tt与g(2 t)有相同的零点，所以存在唯一的x1（1，2），使g(x1)0因为x12t1，t1x0，所以x0 x1212 分22（本小题满分10 分）解：（1）直线1C的直角坐标方程为20 xy，将cosx，siny代入方程得sincos2，即sin()24，5 分（2）设直线l的极坐标方程为=0)2(，设12(,),(,)MN，则212sinsin()214=sin(2)2422ONOM，由02，有32444，当sin(2)=14时，ONOM的最大值为2+12 10分23（本小题满分10 分）解：（1）由52)(xxf得52252052xxxx，解得1x不等式52)(xxf的解集为,15 分（2）23131)5()1()(xxxxxfxfxg当且仅当3x时等号成立，2M，7 分322221111233Maaaaa aaaaa当且仅当21aa，即1a时等号成立10 分