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1、2020 年四川省内江市中考数学试卷一、选择题（共12 小题）.1的倒数是（）A2BCD 22下列四个数中，最小的数是（）A0BC5D 13下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）ABCD4如图，已知直线ab，150，则 2 的度数为（）A140B130C50D405小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A80，90B90，90C90，85D90，956将直线y 2x1 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）Ay 2x5By 2x3Cy 2x+1Dy
2、 2x+37如图，在 ABC 中，D、E 分别是 AB 和 AC 的中点，S四边形BCED15，则 SABC（）A30B25C22.5D208如图，点A、B、C、D 在O 上，AOC 120，点 B 是的中点，则D 的度数是（）A30B40C50D609如图，点A 是反比例函数y图象上的一点，过点A 作 AC x 轴，垂足为点C，D 为AC 的中点，若AOD 的面积为1，则 k 的值为（）ABC3D410我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5 尺；如果将绳索对半
3、折后再去量竿，就比竿短5 尺设绳索长 x 尺则符合题意的方程是（）Ax（x5）5Bx（x+5）+5C2x（x 5）5D2x（x+5）+511如图，矩形ABCD 中，BD 为对角线，将矩形ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠，使点A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点 N 处，连结EF已知 AB 3，BC4，则 EF 的长为（）A3B5CD12在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y tx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 t 的取值范围是（）At2Bt1C1t2D t2 且 t1二、填空题（本大题共4
4、小题，每小题5 分，共 20 分）13在函数y中，自变量x 的取值范围是14 2020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7 亿台，其中7 亿用科学记数法表示为15已知关于x 的一元二次方程（m1）2x2+3mx+30 有一实数根为1，则该方程的另一个实数根为16如图，在矩形ABCD中，BC 10，ABD 30，若点M、N 分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN 的最小值为三、解答题（本大题共5 小题，共44 分，解答应写
5、出必要的文字说明或推演步骤）17计算：（）1|2|+4sin60+（3）018如图，点C、E、F、B 在同一直线上，点A、D 在 BC 异侧，ABCD，AEDF，A D（1）求证：ABCD；（2）若 ABCF，B 40，求 D 的度数19我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图请你根据统计图解答下列问题（1）成绩为“B 等级”的学生人数有名；（2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为，图中m 的值为；（3）学校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生只能怪，选出2 名去参加市中学生知识竞赛已知
6、“A 等级”中有1 名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率20为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60 海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东 60方向上，海监船继续向东航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东30方向上（1）求 B 处到灯塔P 的距离；（2）已知灯塔P 的周围 50 海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？21如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点E，连结 BE（1）求证：BE 是O 的切线；（2）
7、设 OE 交O 于点 F，若 DF 2，BC4，求线段EF 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积四、填空题（本大题共4 小题，每小题6 分，共 24 分）22分解因式：b4b2 1223若数a 使关于x 的分式方程+3 的解为非负数，且使关于y 的不等式组的解集为y 0，则符合条件的所有整数a 的积为24如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），直线l：yx+与 x 轴交于点B，以 AB 为边作等边ABA1，过点 A1作 A1B1x 轴，交直线l 于点 B1，以 A1B1为边作等边 A1B1A2，过点 A2作 A2B2 x 轴，交直线l 于点 B2，以 A2B2为边作等边A2B2A3
8、，以此类推，则点A2020的纵坐标是25已知抛物线y1 x2+4x（如图）和直线y22x+b我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y1和 y2若 y1y2，取 y1和 y2中较大者为M；若 y1y2，记 M y1y2 当 x2 时，M 的最大值为4；当 b 3 时，使 My2的 x 的取值范围是1x3；当 b 5 时，使 M 3 的 x 的值是 x11，x2 3；当 b1 时，M 随 x的增大而增大上述结论正确的是（填写所有正确结论的序号）五、解答题（本大题共3 小题，每小题12 分，共 36 分）26我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：xmn（m，n 是正整数，
9、且mn），在 x 的所有这种分解中，如果m，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称mn 是 x 的最佳分解并规定：f（x）例如：18 可以分解成1 18，2 9 或 3 6，因为 1819 263，所以 36 是 18的最佳分解，所以f（18）（1）填空：f（6）；f（9）；（2）一个两位正整数t（t10a+b，1a b9，a，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：f（223 57）；f（23 35 7）；f（24357）；f（25357）27如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动
10、点（不与A、C 重合），连结BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转90到 BQ，连结 QP 交 BC 于点 E，QP 延长线与边AD 交于点 F（1）连结 CQ，求证：APCQ；（2）若 APAC，求 CE：BC 的值；（3）求证：PFEQ28如图，抛物线yax2+bx+c 经过 A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当 BCD 的面积为3 时，求点D 的坐标；（3）过点 D 作 DE BC，垂足为点E，是否存在点D，使得 CDE 中的某个角等于ABC 的 2 倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说
11、明理由参考答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1的倒数是（）A2BCD 2【分析】根据乘积为1 的两个数是互为倒数，进行求解即可解：21，的倒数是2，故选：A2下列四个数中，最小的数是（）A0BC5D 1【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小得出答案解：|1|，1，51 1，因此最小的是1，故选：D3下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解解：A、是轴对称图形，不是中心对
12、称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意故选：C4如图，已知直线ab，150，则 2 的度数为（）A140B130C50D40【分析】由直线ab，利用“两直线平行，同位角相等”可求出3 的度数，再结合2和 3 互补，即可求出2 的度数解：直线a b，3 150又 2+3180，2130故选：B5小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A80，90B90，90C90，8
13、5D90，95【分析】先将数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解可得解：将数据重新排列为80，85，90，90，95，所以这组数据的中位数是90，众数为90，故选：B6将直线y 2x1 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）Ay 2x5By 2x3Cy 2x+1Dy 2x+3【分析】根据函数图象向上平移加，向下平移减，可得答案解：直线y 2x1 向上平移两个单位，所得的直线是y 2x+1，故选：C7如图，在 ABC 中，D、E 分别是 AB 和 AC 的中点，S四边形BCED15，则 SABC（）A30B25C22.5D20【分析】先根据三角形中位线的性质，证得：DEBC，
14、DE BC，进而得出 ADE ABC，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案解：D、E 分别是 AB、AC 边上的中点，DE BC，DE BC，ADE ABC，（）2，SADE：S四边形BCED1：3，即 SADE：15 1：3，SADE5，SABC5+1520故选：D8如图，点A、B、C、D 在O 上，AOC 120，点 B 是的中点，则D 的度数是（）A30B40C50D60【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到AOB COBAOC60，然后根据圆周角定理得到D 的度数解：连接OB，如图，点 B 是的中点，AOB COBAOC 120 60，DAOB 30故选：A
15、9如图，点A 是反比例函数y图象上的一点，过点A 作 AC x 轴，垂足为点C，D 为AC 的中点，若AOD 的面积为1，则 k 的值为（）ABC3D4【分析】根据题意可知AOC 的面积为2，然后根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得 k 的值解：ACx 轴，垂足为点C，D 为 AC 的中点，若AOD 的面积为1，AOC 的面积为2，SAOC|k|2，且反比例函数y图象在第一象限，k4，故选：D10我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5 尺；如果将绳索对半折后
16、再去量竿，就比竿短5 尺设绳索长 x 尺则符合题意的方程是（）Ax（x5）5Bx（x+5）+5C2x（x 5）5D2x（x+5）+5【分析】设绳索长x 尺，则竿长（x5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺”，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解解：设绳索长x 尺，则竿长（x5）尺，依题意，得：x（x5）5故选：A11如图，矩形ABCD 中，BD 为对角线，将矩形ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠，使点A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点 N 处，连结EF已知 AB 3，BC4，则 EF 的长为（）A3B5CD【分析】求出BD5，AEEM，A BME
17、 90，证明 EDM BDA，由相似三角形的性质得出，设 DEx，则 AEEM 4x，得出，解得 x，同理 DNF DCB，得出，设 DF y，则 CF NF 3y，则，解得y由勾股定理即可求出EF 的长解：四边形ABCD 是矩形，AB CD3，AD BC 4，A C EDF 90，BD 5，将矩形ABCD 沿 BE 所在直线折叠，使点A 落在 BD 上的点 M 处，AE EM，A BME 90，EMD 90，EDM ADB，EDM BDA，设 DE x，则 AEEM 4x，解得 x，DE，同理 DNF DCB，设 DF y，则 CF NF 3y，解得 yDF EF故选：C12在平面直角坐标系
18、中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y tx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 t 的取值范围是（）At2Bt1C1t2D t2 且 t1【分析】由y tx+2t+2t（x+2）+2（t 0），得出直线ytx+2t+2（t0）经过点（2，2），如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线ytx+2t+2（t 0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线ytx+2t+2（t 0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t 的值，结合图象即可得到结论解：y
19、tx+2t+2t（x+2）+2（t0），直线 ytx+2t+2（t 0）经过点（2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 32t+2，解得 t；当直线经过（0，6）时，直线ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 62t+2，解得 t2；当直线经过（0，4）时，直线ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则 42t+2，解得 t1；直线y tx+2t+2（t 0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则
20、t 的取值范围是t2 且 t 1，故选：D二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13在函数y中，自变量x 的取值范围是x2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0；解：根据题意得2x40，解得 x2；自变量x 的取值范围是x214 2020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7 亿台，其中7 亿用科学记数法表示为7108【分析】科学记数法的表示形式为a10n
21、的形式，其中1|a|10，n 为整数确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解：7 亿 700000000 7108，故答案为：710815已知关于x 的一元二次方程（m1）2x2+3mx+30 有一实数根为1，则该方程的另一个实数根为【分析】把x 1 代入原方程求出m 的值，进而确定关于x 的一元二次方程，解出方程的根即可解：把 x 1 代入原方程得，（m1）23m+30，即：m2 5m+40，解得，m4，m1（不合题意舍去），当 m4 时，原方程变为：9x2+12x+3 0，
22、即，3x2+4x+10，解得，x1 1，x2，故答案为：16如图，在矩形ABCD中，BC 10，ABD 30，若点M、N 分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN 的最小值为15【分析】作点A 关于 BD 的对称点A，连接 MA，BA，过点AHAB 于 H首先证明 ABA 是等边三角形，求出AH，根据垂线段最短解决问题即可解：作点A 关于 BD 的对称点A，连接MA，BA，过点AHAB 于 HBA BA，ABD DBA 30，ABA 60，ABA是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，AD BC10，在 Rt ABD 中，AB10，AHAB，AH HB 5，AHAH15，AM+MN AM+
23、MN AH，AM+MN 15，AM+MN 的最小值为15故答案为15三、解答题（本大题共5 小题，共44 分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17计算：（）1|2|+4sin60+（3）0【分析】先计算负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得解：原式22+42+1 22+22+1 318如图，点C、E、F、B 在同一直线上，点A、D 在 BC 异侧，ABCD，AEDF，A D（1）求证：ABCD；（2）若 ABCF，B 40，求 D 的度数【分析】（1）根据平行线的性质求出B C，根据 AAS 推出 ABE DCF，根据全等三角形
24、的性质得出即可；（2）根据全等得出ABCD，BECF，B C，求出 CF CD，推出 D CFD，即可求出答案【解答】（1）证明：AB CD，B C，在 ABE 和 DCF 中，ABE DCF（AAS），AB CD；（2）解：ABE DCF，AB CD，BECF，B C，B40，C40AB CF，CF CD，D CFD（180 40）7019我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图请你根据统计图解答下列问题（1）成绩为“B 等级”的学生人数有5名；（2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为
25、72，图中m 的值为40；（3）学校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生只能怪，选出2 名去参加市中学生知识竞赛已知“A 等级”中有1 名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率【分析】（1）A 等的有 3 人，占调查人数的15%，可求出调查人数，进而求出B 等的人数；（2）D 等级占调查人数的，因此相应的圆心角为360的即可，计算C 等级所占的百分比，即可求出m 的值；（3）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率解：（1）315%20（名），2038 45（名），故答案为：5；（2）360 72，82040%，即 m40，故答案为：72，40；（3）“A 等级”2 男
26、1 女，从中选取2 人，所有可能出现的结果如下：共有 6 种可能出现的结果，其中女生被选中的有4 种，P（女生被选中）20为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60 海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东 60方向上，海监船继续向东航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东30方向上（1）求 B 处到灯塔P 的距离；（2）已知灯塔P 的周围 50 海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）在 ABP 中，求出 PAB、PBA 的度数即可解决问题，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）作 PH
27、 AB 于 H求出 PH 的值即可判定解：（1）PAB 30，ABP 120，APB180 PAB ABP 30，PB AB60 海里；（2）作 PH AB 于 H BAP BPA30，BA BP60，在 Rt PBH 中，PHPB?sin60 6030，3050，海监船继续向正东方向航行是安全的21如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点E，连结 BE（1）求证：BE 是O 的切线；（2）设 OE 交O 于点 F，若 DF 2，BC4，求线段EF 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积【分析】（1）连接 OC，如图
28、，根据垂径定理由ODBC 得到 CD BD，则 OE 为 BC的垂直平分线，所以EBEC，证明 OCE OBE（SSS），得出 OBE OCE 90，根据切线的判定定理得BE 与O 相切；（2）设 O 的半径为x，则 ODx2，OBx，由勾股定理得出（x2）2+（2）2x2，解得 x4，求出 OE 的长，则可求出EF 的长；（3）由扇形的面积公式可得出答案【解答】（1）证明：连接OC，如图，CE 为切线，OCCE，OCE 90，ODBC，CDBD，即 OD 垂直平分BC，EC EB，在 OCE 和 OBE 中，OCE OBE（SSS），OBE OCE90，OBBE，BE 与O 相切；（2）解：
29、设 O 的半径为x，则 ODOF DF x2，OBx，在 Rt OBD 中，BDBC 2，OD2+BD2OB2，（x2）2+（2）2x2，解得 x4，OD2，OB4，OBD 30，BOD 60，OE2OB8，EF OEOF 84 4（3）BOE 60，OBE 90，在 Rt OBE 中，BEOB4，S阴影S四边形OBECS扇形OBC24 4，16四、填空题（本大题共4 小题，每小题6 分，共 24 分）22分解因式：b4b2 12（b+2）（b 2）（b2+3）【分析】先利用十字相乘法，再利用平方差公式进行因式分解即可解：b4b212（b24）（b2+3）（b+2）（b2）（b2+3），故答案
30、为：（b+2）（b 2）（b2+3）23若数a 使关于x 的分式方程+3 的解为非负数，且使关于y 的不等式组的解集为y 0，则符合条件的所有整数a 的积为40【分析】解分式方程的得出x，根据解为非负数得出0，且 1，据此求出 a5 且 a3；解不等式组两个不等式得出y0 且 ya，根据解集为y 0 得出 a0；综合以上两点得出整数a 的值，从而得出答案解：去分母，得：x+2a3（x1），解得：x，分式方程的解为非负数，0，且1，解得 a5 且 a3，解不等式，得：y0，解不等式2（ya）0，得：ya，不等式组的解集为y0，a0，0a5，则整数 a的值为 1、2、4、5，符合条件的所有整数a
31、的积为 12 4540，故答案为：4024如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），直线l：yx+与 x 轴交于点B，以 AB 为边作等边ABA1，过点 A1作 A1B1x 轴，交直线l 于点 B1，以 A1B1为边作等边 A1B1A2，过点 A2作 A2B2 x 轴，交直线l 于点 B2，以 A2B2为边作等边A2B2A3，以此类推，则点A2020的纵坐标是【分析】先根据解析式求得B 的坐标，即可求得AB1，根据等边三角形的性质以及含30角的直角三角形的性质，分别求得A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为，进而得到An的纵坐标为，据此可得点A2020的纵坐标解：直线l：yx+与 x
32、轴交于点B，B（1，0），OB1，A（2，0），OA2，AB 1，ABA1是等边三角形，A1（，），把 y代入 yx+，求得 x，B1（，），A1B12，A2（，+2），即 A2（，），把 y代入 yx+，求得 x，B2（，），A2B24，A3（3，+4），即 A3（3，），An的纵坐标为，点 A2020的纵坐标是，故答案为25已知抛物线y1 x2+4x（如图）和直线y22x+b我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y1和 y2若 y1y2，取 y1和 y2中较大者为M；若 y1y2，记 M y1y2 当 x2 时，M 的最大值为4；当 b 3 时，使 My2的 x 的取值范围
33、是1x3；当 b 5 时，使 M 3 的 x 的值是 x11，x2 3；当 b1 时，M 随 x的增大而增大上述结论正确的是（填写所有正确结论的序号）【分析】求出 y1，y2，求出 m 的值即可 求出直线与抛物线的交点坐标，利用图象法解决问题即可 画出图象，推出M3 时，y13，转化为方程求出x 的值即可 当 b1 时，由，消去 y 得到，x22x+10，因为 0，推出此时直线y2x+1 与抛物线只有一个交点，推出b1 时，直线 y2x+b 与抛物线没有交点，由此即可判断解：当 x 2 时，y14，y24+b，无法判断4 与 4+b 的大小，故 错误 如图 1 中，b 3 时，由，解得或，两个
34、函数图象的交点坐标为（1，5）和（3，3），观察图象可知，使My2的 x 的取值范围是1 x3，故 正确，如图 2 中，b 5 时，图象如图所示，M3 时，y13，x2+4x3，解得 x1 或 3，故 正确，当 b1 时，由，消去 y 得到，x22x+10，0，此时直线y 2x+1 与抛物线只有一个交点，b1时，直线y2x+b 与抛物线没有交点，M 随 x 的增大而增大，故 正确五、解答题（本大题共3 小题，每小题12 分，共 36 分）26我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：xmn（m，n 是正整数，且mn），在 x 的所有这种分解中，如果m，n 两因数之差的绝对值最小，我们就
35、称mn 是 x 的最佳分解并规定：f（x）例如：18 可以分解成1 18，2 9 或 3 6，因为 1819 263，所以 36 是 18的最佳分解，所以f（18）（1）填空：f（6）；f（9）1；（2）一个两位正整数t（t10a+b，1a b9，a，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：f（22357）；f（2335 7）；f（24357）；f（253 57）【分析】（1）仿照样例进行计算便可；（2）设交换t 的个位上数与十位上的数得到的新数为t，则 t 10b+a，根据“交换其个位上的数字与
36、十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”的确定出x 与 y 的关系式，进而求出所有的两位数，进而确定出F（t）的最大值即可；（3）根据样例计算便可解：（1）6 可分解成16，23，6132，23是 6 的最佳分解，f（6），9 可分解成19，33，9133，33是 9 的最佳分解，f（9）1，故答案为：；1；（2）设交换 t 的个位上数与十位上的数得到的新数为t，则 t 10b+a，根据题意得，t t（10b+a）（10a+b）9（ba）54，ba+6，1ab9，a，b为正整数，满足条件的t 为：17，28，39；F（17），F（28），F（39），F（t）的最大值为；（3）22357
37、的是最佳分解为2021，f（22 357），故答案为：；23357 的最佳分解为2435，f（23 357），故答案为；24357 的最佳分解是3548，f（24 357），故答案为：；25357 的最佳分解是4870，f（25 357），故答案为：27如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A、C 重合），连结BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转90到 BQ，连结 QP 交 BC 于点 E，QP 延长线与边AD 交于点 F（1）连结 CQ，求证：APCQ；（2）若 APAC，求 CE：BC 的值；（3）求证：PFEQ【分析】（1）证明 BAP BCQ（SAS）可得结论（
38、2）过点 C 作 CHPQ 于 H，过点 B 作 BTPQ 于 T由 APAC，可以假设APCQ a，则 PC3a，解直角三角形求出CH BT，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可（3）证明 PGB QEB，推出 EQ PG，再证明 PFG 是等腰直角三角形即可【解答】（1）证明：如图1，线段BP 绕点 B 顺时针旋转90得到线段BQ，BP BQ，PBQ 90四边形ABCD 是正方形，BA BC，ABC 90 ABC PBQ ABC PBC PBQ PBC，即 ABP CBQ在 BAP 和 BCQ 中，BAP BCQ（SAS）CQAP（2）解：过点C 作 CH PQ 于 H，过点 B 作 B
39、TPQ 于 TAPAC，可以假设APCQa，则 PC3a，四边形ABCD 是正方形，BAC ACB45，ABP CBQ，BCQ BAP45，PCQ 90，PQa，CH PQ，CH a，BP BQ，BTPQ，PTTQ，PBQ 90，BTPQa，CH BT，（3）解：结论：PFEQ，理由是：如图 2，当 F 在边 AD 上时，过P 作 PGFQ，交 AB 于 G，则 GPF 90，BPQ 45，GPB 45，GPB PQB45，PB BQ，ABP CBQ，PGB QEB，EQPG，BAD 90，F、A、G、P 四点共圆，连接 FG，FGP FAP 45，FPG 是等腰直角三角形，PF PG，PF
40、EQ28如图，抛物线yax2+bx+c 经过 A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当 BCD 的面积为3 时，求点D 的坐标；（3）过点 D 作 DE BC，垂足为点E，是否存在点D，使得 CDE 中的某个角等于ABC 的 2 倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据点A、B、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式可求与BC 平行的经过点D 的 y 轴上点 M 的坐标，再根据待定系数法可求DM 的解析式，再联立抛物线可求点D 的坐标；（3
41、）分 DCE2ABC 及 CDE2ABC 两种情况考虑：当 DCE 2ABC 时，取点 F（0，2），连接 BF，则 CDBF，由点 B，F 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BF，CD 的解析式，联立直线CD 及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点 D 的坐标；当 CDE2ABC 时，过点 C 作 CN BF 于点 N，交 OB 于 H作点 N 关于 BC 的对称点P，连接 NP 交 BC 于点 Q，由 OCH OBF 求出 H 点坐标，利用待定系数法求出直线CN 的解析式，联立直线BF 及直线 CN 成方程组，通过解方程组可求出点N 的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、
42、P 的坐标，利用待定系数法可求出直线CP 的解析式，将直线 CP 的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x 的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D 的横坐标依此即可得解解：（1）将 A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入 y ax2+bx+c 得：，解得：故抛物线的解析式为yx2+x+2（2）如图 2，设点 M 的坐标为（0，m），使得 BCM 的面积为3，3 241.5，则 m2+1.5，M（0，）点 B（4，0），C（0，2），直线 BC 的解析式为yx+2，DM 的解析式为yx+，联立抛物线解析式，解得，点 D 的坐标为（3，2）或（1，3）（3）分两种情况考虑：当 DCE 2AB
43、C 时，取点F（0，2），连接 BF，如图 3 所示OCOF，OBCF，ABC ABF，CBF 2ABC DCB 2ABC，DCB CBF，CDBF点 B（4，0），F（0，2），直线 BF 的解析式为yx2，直线 CD 的解析式为yx+2联立直线CD 及抛物线的解析式成方程组得：，解得：（舍去），点 D 的坐标为（2，3）；当 CDE 2ABC 时，过点 C 作 CNBF 于点 N，交 OB 于 H作点 N 关于 BC 的对称点 P，连接 NP 交 BC 于点 Q，如图 4 所示 OCH 90 OHC，OBF 90 BHN，OHC BHN，OCH OBF 在 OCH 与 OBF 中，OCH
44、OBF，即，OH1，H（1，0）设直线 CN 的解析式为ykx+n（k0），C（0，2），H（1，0），解得，直线 CN 的解析式为y 2x+2连接直线BF 及直线 CN 成方程组得：，解得：，点 N 的坐标为（，）点 B（4，0），C（0，2），直线 BC 的解析式为yx+2NP BC，且点 N（，），直线 NP 的解析式为y2x联立直线BC 及直线 NP 成方程组得：，解得：，点 Q 的坐标为（，）点 N（，），点 N，P 关于 BC 对称，点 P 的坐标为（，）点 C（0，2），P（，），直线 CP 的解析式为yx+2将 yx+2 代入 yx2+x+2 整理，得：11x229x0，解得：x10（舍去），x2，点 D 的横坐标为综上所述：存在点 D，使得 CDE 的某个角恰好等于ABC 的 2 倍，点 D 的横坐标为2或