2020年青海省西宁市高考数学第一次模拟试卷(解析版).pdf

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1、2020 年青海省西宁市高考数学模拟试卷(一)一、选择题(共14 小题).1已知集合Ax N|0 x6,B2,4,6,则 A B()A0,1,3,5B0,2,4,6C1,3,5D2,42已知 a+bi(a,b R)是1-?1+?的共轭复数,则a+b()A 1B-12C12D13已知向量?=(2,1),?=(1,3),则()A?B?C?(?-?)D?(?-?)4下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为()Aycos2x,x RBylog2|x|,x R 且 x 0Cy=?-?-?2,?Dyx3+1,x R5设函数f(x)cosx+bsinx(b 为常数),则“b1”是“f(x)为

2、偶函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6 周髀算经 是中国最古老的天文学和数学著作,是算经十书之一 书中记载了借助“外圆内方”的钱币(如图1)做统计概率得到圆周率的近似值的方法现将其抽象成如图 2 所示的图形,其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是p,则圆周率的近似值为()A14(1-?)B11-?C11-4?D41-?7函数?(?)=?-?2+1在,的图象大致为()ABCD8如图,在平面直角坐标系xOy 中,角 ,的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A

3、,B 两点,若点A,B 的坐标为(35,45)和(-45,35),则 cos(+)的值为()A-2425B-725C0D24259函数 f(x)Asin(x+)(?,?,|?|?2)的部分图象如图所示,若?,?(-?6,?3),且 f(x1)f(x2)(x1x2),则 f(x1+x2)()A1B12C 22D 3210某同学在参加通用技术实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4?的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为4,则该球的半径是()A2B4C2?D4?11关于 x 的方程 cos2xsinx+a0,若?2时

4、方程有解,则a的取值范围()A1,1B(1,1C1,0D(,-54)12已知点 A 为曲线 yx+4?(x0)上的动点,B 为圆(x2)2+y21 上的动点,则|AB|的最小值是()A3B4C3?D4?13已知 P 是抛物线y24x 上的一个动点,Q 是圆(x3)2+(y1)21 上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为()A3B4C5D?+114设 f(x),g(x)是定义在R 上的两个周期函数,f(x)周期为 4,g(x)的周期为2,且 f(x)是奇函数 当 x(0,2时,f(x)=?-(?-?)?,g(x)=?(?+?),?-12,?,其中 k0若在区间(0,

5、9上,关于x 的方程 f(x)g(x)有 8 个不同的实数根,则 k 的取值范围是()A(?,24)B(13,24)C13,24)D13,24二、填空题本题共5 小题,每小题5 分,共 20 分15在 ABC 中,如果sinA:sinB:sinC2:3:4,那么 cosC16某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名,x 和 y 须满足约束条件?-?-?.则该校招聘的教师人数最多是名17如图,圆柱OO1中,两半径OA,O1B 等于 1,且 OAO1B,异面直线AB 与 OO1所成角的正切值为24,则该圆柱OO1的体积为18(文科)已知双曲线C:?2?2-?2?2=1(a0,b0)的右焦点为F,

6、以 F 为圆心,以|OF|为半径的圆交双曲线C 的右支于 P,Q 两点(O 为坐标原点),OPQ 的一个内角为60,则双曲线C 的离心率的平方为19是 P 为双曲线?:?2?2-?2?2=?(?,?)上的点,F1,F2分别为C 的左、右焦点,且PF2F1F2,PF1与 y 轴交于 Q 点,O 为坐标原点,若四边形OF2PQ 有内切圆,则C 的离心率为三、解答题:共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分20已知数列 an满足:a11,an+12an+n1(1)设 bnan+

7、n,证明:数列 bn是等比数列;(2)设数列 an的前 n 项和为 Sn,求 Sn21哈师大附中高三学年统计学生的最近20 次数学周测成绩(满分150 分),现有甲乙两位同学的20 次成绩如茎叶图所示;()根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数,并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整;()根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);()现从甲乙两位同学的不低于140 分的成绩中任意选出2 个成绩,记事件A 为“其中 2 个成绩分别属于不同的同学”,求事件A 发生的概率22某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下:消费额每满100 元可转动如

8、图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置若指针停在 A 区域返券 60 元;停在B 区域返券30 元;停在 C 区域不返券例如:消费218元,可转动转盘2 次,所获得的返券金额是两次金额之和()若某位顾客消费128 元,求返券金额不低于30 元的概率;()若某位顾客恰好消费280 元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为X(元)求随机变量X 的分布列和数学期望23如图,直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形,AA14,AB2,BAD 60,E,M,N 分别是 BC,BB1,A1D 的中点()证明:MN 平面 C1DE;()(文科)求点C 到平面 C1DE

9、 的距离(理科)求二面角AMA1N 的正弦值24(文科)已知椭圆C:?2?2+?2?2=1(a b0)的左、右焦点为F1,F2,点 P 在椭圆 C上,且 PF1F2面积的最大值为?,周长为6()求椭圆C 的方程,并求椭圆C 的离心率;()已知直线l:ykx+1(k 0)与椭圆C 交于不同的两点A,B,若在x 轴上存在点 M(m,0),使得M 与 AB 中点的连线与直线l 垂直,求实数m 的取值范围25(理科)已知椭圆M:?2?2+?2?2=1 的两个焦点为F1(c,0),F2(c,0)(abc 0),椭圆上一动点P 到 F1,F2距离之和为4,当 P 到 x 轴上的射影恰为F1时,|OP|=1

10、32,左、右顶点分别为A,B,O 为坐标原点,经过点F1的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D两点()求椭圆M 的方程;()记 ABD 与 ABC 的面积分别为S1,S2,求|S1S2|的最大值26设函数f(x)lnx2mx2n(m,n R)(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有最大值ln2,求 m+n 的最小值27已知函数f(x)lnx mx(m R)(I)讨论 f(x)的单调性;()若方程f(x)0 存在两个不同的实数根x1,x2,证明:m(x1+x2)2二、选考题:共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分 选修 4-4:坐标系与参数方程28

11、在直角坐标系xOy 中,曲线 C 的参数方程为?=?=?+?(?为参数),以坐标原点为极点,xOy 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程;(2)设 A,B 为曲线C 上不同两点(均不与O 重合),且满足?=?4,求 OAB的最大面积选修 4-5:不等式选讲29已知函数f(x)|x|2x2|(1)求不等式f(x)3 的解集;(2)若 a R,且 a 0,证明:|4a1|+|1?+?|4f(x)参考答案一、选择题:本题共14 小题,每小题5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax N|0 x6,B2,4,6,则 A B()A0,1,3

12、,5B0,2,4,6C1,3,5D2,4【分析】可以求出集合A,然后进行交集的运算即可解:A1,2,3,4,5,B 2,4,6,AB2,4故选:D2已知 a+bi(a,b R)是1-?1+?的共轭复数,则a+b()A 1B-12C12D1【分析】先利用复数的除法运算法则求出1-?1+?的值,再利用共轭复数的定义求出a+bi,从而确定a,b 的值,求出a+b解:1-?1+?=(1-?)2(1+?)(1-?)=-2?2=-i,a+bi(i)i,a0,b1,a+b1,故选:D3已知向量?=(2,1),?=(1,3),则()A?B?C?(?-?)D?(?-?)【分析】根据题意,由向量的坐标计算公式依次

13、分析选项,验证选项中结论是否成立,即可得答案解:根据题意,依次分析选项:对于 A、向量?=(-?,?),?=(-?,?),有(2)31(1),则?不成立,A 错误;对于 B、向量?=(-?,?),?=(-?,?),?=(2)(1)+130,则?不成立,B 错误;对于 C、向量?=(-?,?),?=(-?,?),?-?=(1,2),有(2)(2)1(1),则?(?-?)不成立,C 错误;对于 D、向量?=(-?,?),?=(-?,?),?-?=(1,2),?(?-?)(2)(1)+1(2)0,则?(?-?)成立,D 正确;故选:D4下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为()Ay

14、cos2x,x RBylog2|x|,x R 且 x 0Cy=?-?-?2,?Dyx3+1,x R【分析】利用函数奇偶性的定义可排除C,D,再由在区间(1,2)内有增区间,有减区间,可排除A,从而可得答案解:对于A,令 yf(x)cos2x,则 f(x)cos(2x)cos2xf(x),为偶函数,而 f(x)cos2x 在0,?2上单调递减,在?2,上单调递增,故 f(x)cos2x 在(1,?2上单调递减,在?2,2)上单调递增,故排除A;对于 B,令 yf(x)log2|x|,x R 且 x0,同理可证f(x)为偶函数,当x(1,2)时,yf(x)log2|x|log2x,为增函数,故B

15、满足题意;对于 C,令 yf(x)=?-?-?2,?,f(x)f(x),为奇函数,故可排除C;而 D,为非奇非偶函数,可排除D;故选:B5设函数f(x)cosx+bsinx(b 为常数),则“b1”是“f(x)为偶函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由b1 不能得到f(x)为偶函数,反之,由f(x)为偶函数不能得到b1可知“b1”是“f(x)为偶函数”的既不充分也不必要条件解:若 b1,则函数f(x)cosx+sinx=?(?+?4),f(0)=?4=?,f(0)?,函数图象不关于y 轴对称,函数表示偶函数;若 f(x)cosx+bsinx

16、是偶函数,则f(x)f(x)0 恒成立,即 cosx bsinxcosxbsinx0 恒成立,则2bsinx0 对任意实数x 恒成立则 b0“b1”是“f(x)为偶函数”的既不充分也不必要条件故选:D6 周髀算经 是中国最古老的天文学和数学著作,是算经十书之一 书中记载了借助“外圆内方”的钱币(如图1)做统计概率得到圆周率的近似值的方法现将其抽象成如图 2 所示的图形,其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是p,则圆周率的近似值为()A14(1-?)B11-?C11-4?D41-?【分析】计算圆的面积和正方形的面积,求出对应面积比得P,则

17、可求解:圆的半径为2cm,面积为S圆?22 4;正方形边长为1cm,面积为S正方形121在圆形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率是P=?圆-?正方形?圆=1-14?,则 =14(1-?)故选:A7函数?(?)=?-?2+1在,的图象大致为()ABCD【分析】先利用函数的奇偶性的定义得知f(x)f(x),所以函数f(x)为奇函数,可排除选项A 和 B,对比选项C 和 D,发现当x(?,?2时,f(x)0,可得所求图象解:f(x)=?(-?)-(-?)(-?)2+1=-?-?2+1=-f(x),函数f(x)为奇函数,排除选项 A 和 B,而当 x(?,?2时,sinxx,可得 f(x)0,故选:

18、D8如图,在平面直角坐标系xOy 中,角 ,的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,若点A,B 的坐标为(35,45)和(-45,35),则 cos(+)的值为()A-2425B-725C0D2425【分析】根据A 与 B 的坐标,利用任意角的三角函数定义求出sin,cos,sin,cos的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值解:点A,B 的坐标为(35,45)和(-45,35),sin=45,cos=35,sin=35,cos=-45,则 cos(+)cos cos sin sin=35(-45)-4535

19、=-2425故选:A9函数 f(x)Asin(x+)(?,?,|?|?2)的部分图象如图所示,若?,?(-?6,?3),且 f(x1)f(x2)(x1x2),则 f(x1+x2)()A1B12C 22D32【分析】由图象可得A1,由周期公式可得2,代入点(?3,0)可得 值,进而可得 f(x)sin(2x+?3),再由题意可得x1+x2=?6,代入计算可得解:由图象可得A1,2?2?=?3-(-?6),解得 2,f(x)sin(2x+),代入点(?3,0)可得 sin(2?3+)02?3+k,k-2?3,k Z又|?2,=?3,f(x)sin(2x+?3),sin(2?12+?3)1,即图中点

20、的坐标为(?12,1),又?,?(-?6,?3),且 f(x1)f(x2)(x1x2),x1+x2=?122=?6,f(x1+x2)sin(2?6+?3)=32,故选:D10某同学在参加通用技术实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4?的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为4,则该球的半径是()A2B4C2?D4?【分析】由题意画出图形,由圆的周长公式求得圆的半径,再由勾股定理求球的半径解:作出截面图如图,则 OA=?,由截面圆的周长为4,得 2?AB4,则 AB 2球的半径是?+?=(?)?+?=?故选:B11

21、关于 x 的方程 cos2xsinx+a0,若?2时方程有解,则a的取值范围()A1,1B(1,1C1,0D(,-54)【分析】cos2xsinx+a0?a sinxcos2x=(?+12)?-54;当 0 x?2时,利用正弦函数的单调性可求得1(?+12)?-541,从而可得a 的取值范围解:cos2xsinx+a0,asinxcos2xsinx(1 sin2x)=(?+12)?-54;0 x?2,0sinx1,12sinx+1232,14(?+12)?94,1(?+12)?-541,即 1a1a 的取值范围为(1,1故选:B12已知点 A 为曲线 yx+4?(x0)上的动点,B 为圆(x2

22、)2+y21 上的动点,则|AB|的最小值是()A3B4C3?D4?【分析】作出对勾函数的图象,利用圆的性质,判断当 A,B,C 三点共线时,|AB|最小,然后进行求解即可解:作出对勾函数y x+4?(x0)的图象如图:由图象知函数的最低点坐标为A(2,4),圆心坐标C(2,0),半径R1,则由图象知当A,B,C 三点共线时,|AB|最小,此时最小值为413,即|AB|的最小值是3,故选:A13已知 P 是抛物线y24x 上的一个动点,Q 是圆(x3)2+(y1)21 上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为()A3B4C5D?+1【分析】由题意画出图形,根据N 为

23、抛物线的焦点,可过圆(x3)2+(y1)2 1 的圆心 M 作抛物线的准线的垂线MH,交圆于 Q 交抛物线于P,则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|1解:如图,由抛物线方程y24x,可得抛物线的焦点F(1,0),又 N(1,0),N 与 F 重合过圆(x3)2+(y1)2 1的圆心 M 作抛物线的准线的垂线MH,交圆于 Q 交抛物线于 P,则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|13故选:A14设 f(x),g(x)是定义在R 上的两个周期函数,f(x)周期为 4,g(x)的周期为2,且 f(x)是奇函数 当 x(0,2时,f(x)=?-(?-?)?,g(x)=?(?+?),?-12,?,

24、其中 k0若在区间(0,9上,关于x 的方程 f(x)g(x)有 8 个不同的实数根,则 k 的取值范围是()A(?,24)B(13,24)C13,24)D13,24【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象,数形结合得答案解:作出函数f(x)与 g(x)的图象如图,由图可知,函数f(x)与 g(x)=-12(1 x 2,3 x 4,5 x 6,7 x 8)仅 有2个 实 数 根;要使关于x 的方程 f(x)g(x)有 8 个不同的实数根,则 f(x)=?-(?-?)?,x(0,2与 g(x)k(x+2),x(0,1的图象有 2 个不同交点,由(1,0)到直线kx y+2k0 的距离为1,得|

25、3?|?2+1=1,解得 k=24(k 0),两点(2,0),(1,1)连线的斜率k=13,13k24即 k 的取值范围为13,24)故选:C二、填空题本题共5 小题,每小题5 分,共 20 分15在 ABC 中,如果sinA:sinB:sinC2:3:4,那么 cosC-14【分析】已知等式利用正弦定理化简得到三边之比,表示出三边长,利用余弦定理表示出 cosC,将三边长代入即可求出cosC 的值解:在 ABC 中,sinA:sinB:sinC2:3:4,利用正弦定理化简得:a:b:c 2:3:4,设 a2k,b3k,c4k,cosC=?2+?2-?22?=4?2+9?2-16?212?2=

26、14故答案为:-1416某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名,x 和 y 须满足约束条件?-?-?.则该校招聘的教师人数最多是7名【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名,且 x 和 y 须满足约束条件?-?-?.,又不等式组画出可行域,又要求该校招聘的教师人数最多令zx+y,则题意求解在可行域内使得z 取得最大解:由于某所学校计划招聘男教师x名,女教师 y 名,且 x和 y须满足约束条件?-?-?.,画出可行域为:对于需要求该校招聘的教师人数最多,令 zx+y?y x+z 则题意转化为,在可行域内任意去x,y 且为整数使得目标函数代表的斜率为定值1,截距最大时的直线

27、为过?=?-?-?=?(4,3)时使得目标函数取得最大值为:z7故答案为:717如图,圆柱OO1中,两半径OA,O1B 等于 1,且 OAO1B,异面直线AB 与 OO1所成角的正切值为 24,则该圆柱OO1的体积为4【分析】过B 作 BC底面 O,交底面圆O 于点 C,连结 OC,则 OA OC,AC=?,OO1=BC,由 ABC 是异面直线AB 与 OO1所成角,得到 tanABC=?=2?=24,从而 OO1BC4,由此能求出该圆柱OO1的体积解:过 B 作 BC底面 O,交底面圆O 于点 C,连结 OC,圆柱 OO1中,两半径OA,O1B 等于 1,且 OAO1B,异面直线AB 与 O

28、O1所成角的正切值为 24,OAOC,AC=?+?=?,OO1=BC,ABC 是异面直线AB 与 OO1所成角,tan ABC=?=2?=24,OO1 BC4,该圆柱OO1的体积:V r2?OO1 4 故答案为:4 18(文科)已知双曲线C:?2?2-?2?2=1(a0,b0)的右焦点为F,以 F 为圆心,以|OF|为半径的圆交双曲线C 的右支于 P,Q 两点(O 为坐标原点),OPQ 的一个内角为60,则双曲线C 的离心率的平方为8+279【分析】由双曲线的对称性及OPQ 的一个内角为60,可得 OPQ 为等边三角形,进而求点P 的坐标,再由 P 在双曲线上,代入双曲线方程,结合隐含条件即可

29、求得答案解:如图所示OPOQ,且 OPQ 的一个内角为60,则 OPQ 为等边三角形,OP PQ,设圆与 x 轴交于 G,连接 PF,PG,则 OPG90,由 POG 30,可得 OGP60,可得 PGPFFGc,由 OG2c,可得 OP=?c,PQ=?c,则 PH=32c,可得 OH=32c,故 P(32c,32c),又 P 为双曲线上一点,9?24?2-3?24?2=?,由 b2c2a2,e=?,且 e1,可得 9e416e2+40,解得 e2=8+279故答案为:8+2 7919是 P 为双曲线?:?2?2-?2?2=?(?,?)上的点,F1,F2分别为C 的左、右焦点,且PF2F1F2

30、,PF1与 y 轴交于 Q 点,O 为坐标原点,若四边形OF2PQ 有内切圆,则C 的离心率为2【分析】求出圆的圆心、半径和直线PF1的方程,根据切线的性质列方程求出a,b,c的关系,得出离心率解:F1(c,0),F2(c,0),P(c,?2?),直线 PF1的方程为y=?22?x+?22?,即 b2x2acy+b2c0,四边形 OF2PQ 的内切圆的圆心为M(?2,?2),半径为?2,M 到直线 PF1的距离 d=|3?2?2-?2|4?2?2+?4=?2,化简得:9b212abcb40,令 b1 可得 ac=23,又 c2a21,a=33,c=23e=?=2故答案为:2三、解答题:共70

31、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分20已知数列 an满足:a11,an+12an+n1(1)设 bnan+n,证明:数列 bn是等比数列;(2)设数列 an的前 n 项和为 Sn,求 Sn【分析】(1)由 bnan+n,那么 bn+1an+1+n+1,利用定义证明即可;(2)根据(1)求解数列 an的通项,即可求解Sn解:(1)数列 an满足:a11,an+12an+n1由 bnan+n,那么 bn+1an+1+n+1,?+1?=?+1+?+1?+?=2?+?-1+?+1?

32、+?=2;即公比 q2,b1a1+12,数列 bn是首项为2,公比为2 的等比数列;(2)由(1)可得 bn2n,an+n2n那么数列 an的通项公式为:an 2n n数列 an的前 n 项和为 Sn21+22 2+233+2nn(21+22+2n)(1+2+3+n)2n+1 2-?22-?221哈师大附中高三学年统计学生的最近20 次数学周测成绩(满分150 分),现有甲乙两位同学的20 次成绩如茎叶图所示;()根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数,并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整;()根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);()现从

33、甲乙两位同学的不低于140 分的成绩中任意选出2 个成绩,记事件A 为“其中 2 个成绩分别属于不同的同学”,求事件A 发生的概率【分析】(I)甲的成绩的中位数是119,乙的成绩的中位数是128(II)从茎叶图可以看出,乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高,乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中(III)甲同学的不低于140 分的成绩有2 个设为 a,b,乙同学的不低于140 分的成绩有3 个,设为 c,d,e,现从甲乙两位同学的不低于14(0 分)的成绩中任意选出2 个成绩,利用列举法能求出事件A 发生的概率解:(I)甲的成绩的中位数是119,乙的成绩的中位数是128(II)从茎叶图可以看出,

34、乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高,乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中(III)甲同学的不低于140 分的成绩有2 个设为 a,b,乙同学的不低于140 分的成绩有3 个,设为c,d,e现从甲乙两位同学的不低于14(0 分)的成绩中任意选出2 个成绩有:(a,b),(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)(c,d)(c,e)(d,e)共 10 种,其中 2 个成绩分属不同同学的情况有:(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)共 6 种因此事件A 发生的概率P(A)=610=3522某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下:消费额每满100 元

35、可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置若指针停在 A 区域返券 60 元;停在B 区域返券30 元;停在 C 区域不返券例如:消费218元,可转动转盘2 次,所获得的返券金额是两次金额之和()若某位顾客消费128 元,求返券金额不低于30 元的概率;()若某位顾客恰好消费280 元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为X(元)求随机变量X 的分布列和数学期望【分析】()返券金额不低于30 元包括指针停在A 区域和停在B 区域,而指针停在哪个区域的事件是互斥的,先根据几何概型做出停在各个区域的概率,再用互斥事件的概率公式得到结果()若某位顾客恰好消费28

36、0 元,该顾客可转动转盘2 次随机变量X 的可能值为0,30,60,90,120做出各种情况的概率,写出分布列,算出期望解:设指针落在A,B,C 区域分别记为事件A,B,C则?(?)=16,?(?)=13,?(?)=12()若返券金额不低于30 元,则指针落在A 或 B 区域?=?(?)+?(?)=16+13=12即消费 128 元的顾客,返券金额不低于30 元的概率是12()由题意得,该顾客可转动转盘2 次随机变量X 的可能值为0,30,60,90,120?(?=?)=1212=14;?(?=?)=1213?=13;?(?=?)=1216?+1313=518;?(?=?)=1316?=19;

37、?(?=?)=1616=136所以,随机变量X 的分布列为:X0306090120P141351819136其数学期望?=?14+?13+?518+?19+?136=?23如图,直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形,AA14,AB2,BAD 60,E,M,N 分别是 BC,BB1,A1D 的中点()证明:MN 平面 C1DE;()(文科)求点C 到平面 C1DE 的距离(理科)求二面角AMA1N 的正弦值【分析】()连结B1C,ME,推导出四边形MNDE 为平行四边形,MN ED,由此能证明 MN平面 C1DE()(文科)过 C 作 C1E 的垂线,垂足为 H,推导出 DE平面 C1

38、CE,从而 DE CH,CH平面 C1DE,CH 的长为 C 到平面 C1DE 的距离,由此能求出点C 到平面 C1DE 的距离()(理科)以D 为原点,DA 为 x 轴,DE 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角AMA1N 的正弦值解:()证明:连结B1C,ME,M,E 分别是 BB1,BC 的中点,MEB1C,且 ME=12B1C,N 为 A1D 的中点,ND=12?,由题设知A1B1=DC,B1C=A1D,ME=ND,四边形MNDE 为平行四边形,MN ED,MN?平面 C1DE,MN 平面 C1DE()(文科)解:过C 作 C1E 的垂线,垂足为H,

39、由已知可得DE BC,DE C1C,DE 平面 C1CE,DE CH,CH平面 C1DE,CH 的长为 C 到平面 C1DE 的距离,由已知得CE1,C1C4,?=?,CH=41717,点 C 到平面 C1DE 的距离为4 1717()(理科)解:以D 为原点,DA 为 x 轴,DE 为 y 轴,DD1为 z轴,建立空间直角坐标系,A(2,0,0),M(1,?,2),A1(2,0,4),N(1,0,2),?=(1,-?,2),?=(1,-?,2),?=(0,-?,0),设二面角AMA1的法向量?=(x,y,z),则?=?-?-?=?=?-?+?=?,取 x=?,得?=(?,1,0),设平面 M

40、A1N 的法向量?=(a,b,c),则?=?-?+?=?=-?=?,取 a2,得?=(2,0,1),cos?,?=?|?|?|?|=2325=155,二面角A MA1N 的正弦值为?-(155)?=10524(文科)已知椭圆C:?2?2+?2?2=1(a b0)的左、右焦点为F1,F2,点 P 在椭圆 C上,且 PF1F2面积的最大值为?,周长为6()求椭圆C 的方程,并求椭圆C 的离心率;()已知直线l:ykx+1(k 0)与椭圆C 交于不同的两点A,B,若在x 轴上存在点 M(m,0),使得M 与 AB 中点的连线与直线l 垂直,求实数m 的取值范围【分析】()由 PF1F2面积的最大值为

41、?,周长为 6 及 a,b,c 之间的关系求出a,b 的值,进而求出椭圆的方程,及离心率的值;()设AB 的坐标,将直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和,可得AB 的中点坐标,进而求出线段AB 的中垂线的方程,令y 0,求出 x 轴的点 M 的横坐标的表达式,由均值不等式可得m 的取值范围解:()由PF1F2面积的最大值为?,周长为6可得 12?=?+?=?=?-?,解得:a24,b23所以椭圆的方程为:?24+?23=1;离心率 e=?=12;()设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线l 与椭圆的方程:?=?+?24+?23=?,整理可得(3+4k2)x2+8kx8 0,x1+x2=

42、-8?3+4?2,y1+y2k(x1+x2)+2=63+4?2,所以 AB 的中点坐标为:(-4?3+4?2,33+4?2),所以线段AB 的中垂线的方程为:x k(y-33+4?2)-4?3+4?2,令 y0,可得 x=-?3+4?2,所以由题意可得m=-?3+4?2,因为 k0,所以 m=-13?+4?,因为 k0,所以3?+4k?=4?,所以 0m-312,所以实数m 的取值范围-312,0)25(理科)已知椭圆M:?2?2+?2?2=1 的两个焦点为F1(c,0),F2(c,0)(abc 0),椭圆上一动点P 到 F1,F2距离之和为4,当 P 到 x 轴上的射影恰为F1时,|OP|=

43、132,左、右顶点分别为A,B,O 为坐标原点,经过点F1的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D两点()求椭圆M 的方程;()记 ABD 与 ABC 的面积分别为S1,S2,求|S1S2|的最大值【分析】()由P 到 F1,F2距离之和为4,可得 2a 的值,再由P 到 x 轴上的射影恰为 F1时,|OP|=132,所以|OP|2|PF1|2+|OF1|2,即134=?4?2+c2,再由a,b,c 之间的关系求出b 的值,进而求出椭圆的方程;()设过F1的直线,与椭圆联立求出两根之和及两根之积,求出面积之差的表达式,由均值不等式求出面积之差的最大值解:()由椭圆的定义可得:2a4,即 a2,由题

44、意可得|PF1|=?2?,所以|OP|2|PF1|2+|OF1|2,由题意可得134=?4?2+c2,a2,c2a2 b24b2,解得:b21 或 3,由 a bc,可得 b2 3,所以椭圆的M 的方程为:?24+?23=1;()由()可得A(2,0),B(2,0),左焦点F1(1,0),由题意可得直线CD 的斜率不为0,设直线CD 的方程为:xmy1,设 C(x1,y1),D(x2,y2),直线与椭圆联立?=?-?24+?23=?,整理可得:(4+3m2)y26my9 0,y1+y2=6?4+3?2,y1y2=-94+3?2,|S1S2|=12|AB|?|y1|y2|=124?|y1+y2|

45、2?|6?|4+3?2,当 m0 时|S1S2|0,当 m0,所以|S1S2|=124|?|+3|?|1224|?|?3|?|=?,当且仅当4|?|=3|m|时取等号,即m=233取等号;所以|S1 S2|的最大值为?26设函数f(x)lnx2mx2n(m,n 一、选择题)(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有最大值ln2,求 m+n 的最小值【分析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),?(?)=1?-?=1-4?2?,对 m分类讨论即可得出(2)由(1)利用单调性即可得出解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+),?(?)=1?-?=1-4?2?,当 m0 时,f(x)0,

46、f(x)在(0,+)上单调递增;当 m0 时,解 f(x)0 得?12?,f(x)在(?,?2?)上单调递增,在(?2?,+)上单调递减(2)由(1)知,当m0 时,f(x)在(?,?2?)上单调递增,在(?2?,+)上单调递减?(?)?=?(?2?)=?2?-?14?-?=-?-12?-12-?=-?,?=-12?-12,?+?=?-12?-12,令?(?)=?-12?-12,则?(?)=?-12?=2?-12?,h(m)在(?,12)上单调递减,在(12,+)上单调递增,?(?)?=?(12)=12?,m+n 的最小值为12?27已知函数f(x)lnx mx(m R)(I)讨论 f(x)的

47、单调性;()若方程f(x)0 存在两个不同的实数根x1,x2,证明:m(x1+x2)2【分析】()求出函数f(x)的导数,讨论m 的取值,利用导数判断函数f(x)的单调性与单调区间;()问题转化为证x1+x22?,当 x22?时,显然成立,当 x22?时,此时0 x11?x22?,设 F(x)f(x)f(2?-x),x(0,2?),根据函数的单调性证明即可解:()f(x)=1?-m=1-?,x0当 m0 时,由 1mx 0,解得 x1?,即当 0 x1?时,f(x)0,f(x)单调递增,由 1mx 0,解得 x1?,即当 x1?时,f(x)0,f(x)单调递减;当 m0 时,f(x)=1?0,

48、即 f(x)在区间(0,+)内单调递增;当 m0 时,1mx0,故 f(x)0,即 f(x)在区间(0,+)内单调递增综上,当m0 时,f(x)的单调递增区间为(0,1?),单调递减区间为(1?,+);当 m0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+)()方程f(x)0 存在两个不同的实数根x1,x2和()知m0,且 f(x)在(0,1?)递增,在(1?,+)递减,不妨设0 x11?x2,要证 m(x1+x2)2,即证 x1+x22?,当 x22?时,显然成立,当 x22?时,此时0 x11?x22?,设 F(x)f(x)f(2?-x),x(0,2?),则 F(x)f(x)f(2?-x)=1?-

49、m+12?-?-m=2?(?-1?)2?(2?-?)0,F(x)在(0,2?)上递增,且F(1?)0,F(x1)F(1?)0,即 f(x1)f(2?-x1),又 f(x1)f(x2),f(x2)f(2?-x1),x11?,2?-x11?,又 f(x)在(1?,+)递减,x22?-x1,即 x1+x22?即 m(x1+x2)2二、选考题:共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分 选修 4-4:坐标系与参数方程28在直角坐标系xOy 中,曲线 C 的参数方程为?=?=?+?(?为参数),以坐标原点为极点,xOy 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的

50、极坐标方程;(2)设 A,B 为曲线C 上不同两点(均不与O 重合),且满足?=?4,求 OAB的最大面积【分析】(1)把曲线C 中的参数消去,可得曲线的直角坐标方程,结合直角坐标与极坐标的互化公式可得曲线C 的极坐标方程;(2)由点 A,B 在曲线 C 上,分别求得A,B 的极径,代入三角形面积公式,然后利用三角函数求最值解:(1)由?=?=?+?(?为参数),消去参数,得曲线 C 的普通方程为x2+(y2)24,即 x2+y24y 0,设曲线 C 上任意点的极坐标为(,),则 24 sin,故曲线 C 的极坐标方程为 4sin(2)设 A(1,),则?(?,?+?4),故?(?,3?4),

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