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1、2020 届高考数学例解绝对值不等式例 1 解不等式2321xx分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念)0()0(aaaaa，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式组，再去求解去绝对值符号的关键是找零点使绝对值等于零的那个数所对应的点，将数轴分成假设干段，然后从左向右逐段讨论解：令01x，1x，令032x，23x，如下图1当1x时原不等式化为2)32()1(xx2x与条件矛盾，无解2当231x时，原不等式化为2)32(1xx0 x，故230 x3当23x时，原不等式化为2321xx6x，故623x综上，原不等式的解为60 xx讲明：要注意找零点去绝对值符号最好画
2、数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，如此做条理分明、不重不漏典型例题二例 2 求使不等式axx34有解的a的取值范畴分析：此题假设用讨论法，能够求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便解法一：将数轴分为),4(,4,3,3,三个区间当3x时，原不等式变为27,)3()4(axaxx有解的条件为327a，即1a；当43x时，得axx)3()4(，即1a；当4x时，得axx)3()4(，即27ax，有解的条件为427a1a以上三种情形中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1a解法二：设数x，3，4 在数轴上对应的点分不为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式aPBPA
3、的意义是P 到 A、B 的距离之和小于a因为1AB，故数轴上任一点到A、B 距离之和大于等于1，即134xx，故当1a时，axx34有解典型例题三例 3),0(,20,2MyabyMax，求证abxy分析：依照条件凑byax,证明：abyayaxyabxyaaMMbyaaxybyaaxy22)()(讲明：这是为学习极限证明作的预备，要适应用凑的方法典型例题四例 4 求证baaba22分析：使用分析法证明0a，只需证明baaba222，两边同除2b，即只需证明bababba22222，即bababa22)(1)(当1ba时，babababa222)(1)(1)(；当1ba时，0ba，原不等式明显
4、成立原不等式成立讲明：在绝对值不等式的证明，常用分析法本例也能够一开始就用定理：babaabaaba22221假如1ba，那么0ba，原不等式明显成立2假如1ab，那么bab，利用不等式的传递性知aba，bab，原不等式也成立典型例题五例 5 求证bbaababa111分析：此题的证法专门多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明证明：设xxxxxxf1111111)(定义域为Rxx，且1x，)(xf分不在区间)1,(，区间),1(上是增函数又baba0，)()(bafbaf即babababa11bbaababbaa1111原
5、不等式成立讲明：在利用放缩法经常常会产生如下错误：baba，01ba，babbaababababa1111bbaa11错误在不能保证aba11，bba11绝对值不等式baba在运用放缩法证明不等式时有专门重要的作用，其形式转化比较灵活放缩要适度，要依照题目的要求，及时调整放缩的形式结构典型例题六例 6 关于实数x的不等式2)1(2)1(22aax与0)13(2)1(32axax)(Ra的解集依次为A与B，求使BA的a的取值范畴分析：分不求出集合A、B，然后再分类讨论解：解不等式2)1(2)1(22aax，2)1(2)1(2)1(222aaxa，RaaxaxA,122解不等式0)13(2)1(3
6、2axax，0)2)(13(xax当31a时即213a时，得31,132aaxxB当31a时即213a时，得31,213axaxB当31a时，要满足BA，必须,131,222aaa故31a；当31a时，要满足BA，必须;12,1322aaa,11,1aa1a因此a的取值范畴是311aaRa或讲明：在求满足条件BA的a时，要注意关于a的不等式组中有没有等号，否那么会导致误解典型例题七例 6 数列通项公式nnnaaaaa2sin23sin22sin2sin32关于正整数m、n，当nm时，求证：nnmaa21分析：数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差依旧某个数列的和，再利用不等式nnaaa
7、aaa2121，咨询题便可解决证明：nmmnnnmmaananaa2sin2)2sin(2)1sin(21mnnmaanan2sin2)2sin(2)1sin(21211)211(21212121121nmnmnn)12110(21)211(21nmnnmn讲明：mnn21212121是以121n为首项，以21为公比，共有nm项的等比数列的和，误认为共有1nm项是常见错误正余弦函数的值域，即1sin，1cos，是解此题的关键此题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式咨询题连在一起，是一个较为典型的综合题目假如将此题中的正弦改为余弦，不等式同样成立典型例题八例 813)(2xxxf，1
8、ax，求证：)1(2)()(aafxf分析：此题中给定函数)(xf和条件1ax，注意到要证的式子右边不含x，因此对条件1ax的使用可有几种选择：(1)直截了当用；(2)打开绝对值用11axa，替出x；(3)用绝对值的性质11axaxax进行替换证明：13)(2xxxf，13)(2aaaf，1ax，1axax1ax，xaaxafxf22)()()()(axaxax)1)(axax1axax)1(21111aaaaxax，即)1(2)()(aafxf讲明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用分析中对条件1ax使用时显现的三种可能是经常碰到的，要结合求
9、证，灵活选用典型例题九例 9 不等式组xxxxx22330的解集是 A20 xxB5.20 xxC60 xxD30 xx分析：此题是考查含有绝对值不等式的解法，由xxxx2233，知033xx，33x，又0 x，30 x，解原不等式组实为解不等式xxxx223330 x 解法一：不等式两边平方得：2222)2()3()2()3(xxxx2222)6()6(xxxx，即0)66)(66(2222xxxxxxxx，0)6(2xx，又30 x30062xx60 x选 C解法二：0 x，可分成两种情形讨论：(1)当20 x时，不等式组化为xxxx223320 x 解得20 x(2)当2x时，不等式组可
10、化为xxxx22332x，解得62x综合(1)、(2)得，原不等式组的解为60 x，选 C讲明：此题是在0 x的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是此题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方另一种方法那么是分区间讨论，从而去掉绝对值符号因此此题还可用专门值排除法求解典型例题十例 10 设二次函数cbxaxxf2)(0a，且0b)，ab，1)0(f，1)1(f，1)1(f，当1x时，证明45)(xf分析：从0a知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从1x且1)1(f，1)1(f知，要求证的是45)(xf，因此抛物线的顶点一定在x轴下方，取绝对值后
11、，图像翻到x轴上方因此抛物线的顶点的取值专门重要，也是解这道题的关键所在证明：)()(2cbacbabcbacba11)1()1(ff2，1b又ab，1ab1212ab又1)0(fc，abcabacabf444)2(22，abcabcabf44)2(22451141141babc而)(xf的图像为开口向上的抛物线，且1x，11x，)(xf的最大值应在1x，1x或abx2处取得1)1(f，1)1(f，45)2(abf，45)(xf讲明：此题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a，b，c的分析，确定抛物线顶点的取值范畴，然后通过比较求出函数在1x范畴内的最大值