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1、第 1 页 共 21 页2020 届辽宁省协作校高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题一、单选题1已知(1)0Ax xx，|1Bx x，则AB()A(0,1)BRC(,1)D(,1)(1,)【答案】C【解析】先求出集合A，再求并集即可.【详解】(1)001Ax xxxx，故(,1)AB.故选：C.【点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.2已知5,2a，4,3b，若230abc，则c()A13 8,3 3B138,33C13 4,33D134,33【答案】D【解析】先由230abc，可得123cab，进而代入点的坐标进行计算即可.【详解】解：230abc，123cab.25,28,613,4ab
2、.11342,333cab.故选：D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算能力，属于基础题.第 2 页 共 21 页3如图，复平面上的点1234,ZZZZ到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为1Z，则复数?z i（i是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A1ZB2ZC3ZD4Z【答案】B【解析】试题分析：z i为将复数z所对应的点逆时针旋转90得2Z，选 B.【考点】复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,.)abicdiacbdadbc ia b c dR.其次要熟悉
3、复数相关基本概念，如复数(,)abi a bR的实部为a、虚部为b、模为22ab、共轭为.abi4某校高三（1）班共有48 人，学号依次为1，2，3，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6 的样本.已知学号为3，11，19，35，43 的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A27 B 26 C25 D24【答案】A【解析】试题分析：根据系统抽样的规则“等距离”抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为8，所以在19与 35 之间还有27，故选 A.【考点】随机抽样.5已知 ab，则条件“0c”是条件“acbc”的()条件.A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条
4、件D既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】先判断充分性：若0c，又 ab，当0c时，acbc不成立，故充分性不成立；第 3 页 共 21 页再判断必要性：若acbc，又 ab，所以0c，可得0c，故必要性成立，所以条件“0c”是条件“acbc”的必要不充分条件条件.故选：B.【点睛】本题主要充分条件和必要条件的判定，同时考查不等式的性质，属于基础题.6设l是直线，是两个不同的平面()A若/l，l/，则/B若/l，l，则C若，l，则lD若，/l，则l【答案】B【解析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.【详解】由l是直线
5、，是两个不同的平面，可知：A 选项中，若/l，l/，则，可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若/l，l，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知，正确；C 选项中，若，l，由面面垂直、线面垂直的性质可知l/或l，错误；D 选项中，若，/l，则l，可能平行也可能相交，错误.故选：B.【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题.7某个家庭有三个孩子，则该家庭至少有两个孩子是女孩的概率是()A34B38C47D12【答案】D【解析】利用独立重复实验分有2女孩和3女孩可求出结果.【详解】解：因为每次生女孩的概率是12，所以家庭有三个孩子相当于3次独立重复事件
6、，第 4 页 共 21 页故该家庭至少有两个孩子是女孩的概率232333111112222PCC.故选：D.【点睛】本题考查独立重复事件概率的求法，属于基础题.8已知函数sinfxAx（0A，0，）的部分图象如图所示，则函数cosg xAx图象的一个对称轴可能为()A2xB8xC6xD2x【答案】D【解析】由函数图象的顶点坐标求出A，由周期求出，再结合图象求出的值，可得g x的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论.【详解】解：由函数sinfxAx（0A，0，）的部分图象，可得2 3A，11 26222T，8.再结合图象可得208，求得4.2 3sin84fxx.则函数cos2 3 c
7、os84g xAxx.令84xk，求得82xk，kZ，当0k时，2x.故函数g x的一条对称轴为2x.故选：D.第 5 页 共 21 页【点睛】本题考查函数sinyA x的部分图象求解析式，考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题.9我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数21cos21xxf xx的图象大致是()ABCD【答案】B【解析】先根据函数的奇偶性的判断得fxfx，函数fx是奇函数，故排第 6 页 共 21 页除 A 选项和 C 选项
8、，再由当0 x时，0 x，21cos21xxfxx，可排除 D选项，可得选项.【详解】因为21cos21xxf xx，所以2121coscos2121xxxxfxxxf x，所以函数fx是奇函数，故排除A 选项和 C 选项，在0 x时，当0 x，121,210,21xxx，所以21212121xxxy，而当0 x时，cos1x，所以在0 x时，当0 x，21cos21xxfxx，所以排除D 选项，所以只有B 选项符合条件.故选：B.【点睛】本题考查由解析式判断函数图象,根据图象需分析函数的定义域和奇偶性,特殊值的正负,以及是否过定点等函数的性质,从而排除选项,属于基础题.10已知数列na满足1
9、2,nnaan nN.则211niiaa()A111nnB1nnC(1)n nD12n【答案】B【解析】首先利用累加法求出11naann，再利用裂项相消法求和即可；【详解】解：因为12,nnaan nN，所以212 1aa，3222aa，432 3aa，121nnaan所以213212 122211nnaaaaaannn所以11naann所以21111111 22 3341niiaann第 7 页 共 21 页11111111223341nn11n1nn故选：B【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.11在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221(0)xyaba
10、b的左焦点，,A B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为()A22B12C13D14【答案】C【解析】由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率【详解】如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得PBF=QBF，EAB=EBA，所以 EAB=QBF，所以 ME/BQ.因为 PME PQB，所以PEPMEBMQ，因为 PBF EBO，所以OFEPOBEB，从而有PMOFMQOB，又因为 M 是线段 PF 的中点，所以13OFPMceaOBMQ.本题选择C 选项.【点睛】椭圆的离心率是椭圆
11、最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见第 8 页 共 21 页有两种方法：求出 a，c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合 b2a2c2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或 a2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e的取值范围)12已知函数2xexfxa，定义域为1,2，且对1x，21,2x，当12xx时都有121212fxfxxxxx恒成立，则实数a的取值范围为()A21,4eB2,4eC4,2eD41,2e【答案】A【解析】不妨设12xx，题目可转化为221122fxxfxx，令2xF
12、xfxxe22xax，则12F xF x，可得F x在1,2上为减函数，对1x，21,2x，都有0Fx恒成立，对1x，21,2x，都有21xeax恒成立，只需max21xeax即可得出结果.【详解】解：不妨设12xx，对1x，21,2x，当12xx时都有121212fxfxxxxx恒成立，等价于221212fxfxxx，即221122fxxfxx.令222xeFxxxxfxa，则12F xF x，可得F x在1,2上为减函数.所以对1x，21,2x，都有0Fx恒成立，即对1x，21,2x，都有21xeax恒成立，第 9 页 共 21 页令xeh xx，1,2x，210 xexhxx.所以函数h
13、 x在1,2上单调递增，所以222eh xh.所以212xea.即214ea.故选：A.【点睛】本题考查不等式恒成立，导数的综合应用，属于中档题.二、填空题13已知函数()4log(23)af xx（0a且1a）的图象恒过定点P，且点P在函数()g xx的图象上，则_.【答案】2【解析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，即为定点P的坐标，再代入函数()g x的解析式即可求出的值【详解】解：令231x得：2x，此时24f，函数()4log(23)(0af xxa且1)a的图象恒过定点(2,4)，即(2,4)P，又点P在函数()g xx的图象上，24，2，故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数
14、的图象经过定点问题，属于基础题14 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为第 10 页 共 21 页_.【答案】429【解析】设第n天织布的尺数为na，可知数列na为等差数列，根据题意得出关于公差的方程，解出这个量的值，即可得出结果.【详解】设第n天织布的尺数为na，可知数列na为等差数列，设等差数列na的公差为d，前n项和为nS，则15a，1na，90nS，则13902nnn aaSn，解得30n，301295
15、291aadd，解得429d，因此，每天比前一天少织布的尺数为429.故答案为：429.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15已知双曲线:C22221xyab（0ab）的两条渐近线与圆:O225xy交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为_.【答案】12yx【解析】设点M的坐标为,x y，联立圆与渐近线的方程求解x，y，再根据双曲线的对称性及四边形MNPQ的面积求出12ba，即可得出结论.【详解】解：设M,x y，在第一象限，联立225xybyxa，解得55axcbyc.（其中222cab），可知四边形
16、MNPQ为矩形，且根据双曲线的对称性，可知551824abcc.即222252cabab，第 11 页 共 21 页解得12ba或2ba（舍去）.故双曲线的渐近线方程为12yx.故答案为：12yx.【点睛】本题考查双曲线的性质及渐近线方程，属于中档题.16已知三棱锥PABC的四个顶点在球O 的球面上，PAPBPC，ABC是边长为 2 的正三角形，E 为PA中点，52BEPB，则球 O 的表面积为 _.【答案】6【解析】由题意画出图形，证明三棱锥PABC为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O的表面积【详解】解：如图，由PAPBPC，ABC是边长为2 的正三角形，可知三棱锥PA
17、BC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，取AB的中点F，连接BO并延长，交AC于G，连接PG，则ACBG，又POAC，POBGO，BG平面PBG，PO平面PBG，可得AC平面PBG，则PBAC，E，F分别是PA，AB的中点，/EFPB，又52BEPB，所以222PBPEBE，即PBPA，ACPAA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以PB平面PAC，正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径，22226RPAPBPC，所以62R，则球O的表面积为2264462SR故答案为：6第 12 页 共 21 页【点睛】本题考查
18、多面体外接球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题三、解答题17 已知ABC的内角、ABC所对的边分别为abc、，且coscos12BCA.（1）求角A的值.（2）若ABC面积为3 3，且7()bcbc，求a及sin B的值.【答案】（1）3；（2）13a，2 3913.【解析】（1）利用三角恒等变换与三角形的内角和公式，即可求得A的值；（2）由三角形的面积公式和余弦、正弦定理，即可求得a与sin B的值【详解】解：（1）ABC中，coscos12BCA，所以 cos()1cos22AA，所以2sin2sin22AA因为sin02A，所以1sin22A因为0,22
19、A，所以3A（2）由ABC面积为113sin3 3222SbcAbc，解得12bc；又7()bcbc，所以4b，3c；第 13 页 共 21 页由余弦定理得，22212cos169243132abcbcA，所以13a；由正弦定理得，sinsinabAB，解得34sin2 392sin1313bABa【点睛】本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，属于中档题18 数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动.某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名球员近期5 场比
20、赛的传球成功次数，如下表：场次第一场第二场第三场第四场第五场甲2833363845乙3931433933（1）根据这两名球员近期5 场比赛的传球成功次数，完成茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图；（2）求出甲、乙两名球员近期5 场比赛的传球成功次数的平均值和方差；（3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位第 14 页 共 21 页球员?并说明理由.【答案】（1 见解析；（2）36,37xx甲乙，231.6s甲，219.2s乙；（3）
21、见解析.【解析】（1）根据两名球员近期5 场比赛的传球成功次数，将样本数据有条理地列出来即可完成茎叶图，进而画出散点图（2）利用平均数公式，方差公式即可求解（3）由（2）可知，xx甲乙，且22xx乙甲，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，可知选择乙比较好【详解】解：（1）茎叶图如图散点图如图：（2）2833363845365x甲，3931433933375x乙，222222(2836)(3336)(3636)(3836)(4536)649048115831.6555s甲222222(3937)(3137)(4337)(3937)(3337)436364169619.2555s乙
22、（3）选乙比较好，理由如下：由（2）可知，xx甲乙，且22ss甲乙，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，所以选择乙比较好.【点睛】第 15 页 共 21 页本题考查了茎叶图，平均数，方差，考查了学生的计算能力和数形结合思想，属于基础题19已知矩形ABCD，22ABBC，E、F 分别为DC、AB中点，点M、N 分别为DB的三等分点，将BCD沿BD折起，连接AC、AE、AM、ME、CF、CN、FN.（1）求证：平面/AEM平面CNF；（2）当AEBC时，求三棱锥CABD的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）36.【解析】（1）由已知证明/EMCN，/AMFN，再由平面与平面平行的
23、判定可得平面/AEM平面CNF；（2）由题意可知，BCCD，AEBC，证明BC 平面ADC，得到BCAC，BCAD，再证明AD平面ABC，然后由CABDDABCVV可求三棱锥CABD的体积【详解】解：（1）证明：因为点M、N 分别为DB的三等分点，所以DMMNNB，又因为 E 为DC中点，所以DEEC，所以在DNC中，/EMCN，同理可证/AMFN，又因为AMEMM，AM，EM平面AEM，FNCNN，FN，CN平面FNC，所以平面/AEM平面CNF；（2）由题意可知，BCCD，AEBC，AECDE，AE平面ADC，DC平面ADC，所以 BC 平面ADC，又AC、AD平面ADC，所以BCAC，B
24、CAD，因为ADAB，AB平面ABC，BC平面ABC，ABBCB，第 16 页 共 21 页所以AD平面ABC，所以13CABDDABCABCVVSAD，在ABC中，BCAC，222211132112222ABCSAC BCABBCBC，所以113313326CABDABCVSAD.【点睛】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题20已知函数lnxfxexa.（1）求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（2）若3a，证明函数fx有且仅有两个零点.【答案】（1）11yexa；（2）证明见解析.【解析】（1）先对函数求导，结合导数的几何
25、意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系先分析函数的单调性，再结合函数的性质及零点判定定理即可证明【详解】解：（1）因为lnxfxexa，所以函数的定义域为0,且1xfxex，1fea，所以11kfe切点为1,ea切线方程为11ye aex第 17 页 共 21 页即11yexa（2）当3a时，ln3xfxex1xfxex，令1xg xex，则210 xgxex，fx在定义域上单调递增121202fe，110fe，01,12x使00010 xfxex00,xx时，0fx，fx单调递减，0,xx时，0fx，fx单调递增所以0000min01ln33xf
26、xfxexxx又0fx在1,12递减，012302fx33113311ln30eefeeee在00,x上有且只有一个零点又2ln34240eef eeee所以在0,x上有且只有一个零点综上，函数fx有且仅有两个零点【点睛】本题综合考查了利用导数及函数的性质求解曲线的切线方程及函数零点的判定，属于中档题21已知点M是抛物线1C：220ypx p的准线与x轴的交点，点P是抛物线1C上的动点，点A、B在y轴上，APB的内切圆为圆2C：2211xy，且23MCOM，其中O为坐标原点.（1）求抛物线1C的标准方程；第 18 页 共 21 页（2）求APB面积的最小值.【答案】（1）22yx；（2）8.【
27、解析】（1）由22,0,1,0,32pMCMCOM，求出1p，可得抛物线1C的标准方程；（2）设00,0,0,P xyAbBc，写出直线,PA PB的方程，根据圆2C与直线,PA PB相切，得到,b c的关系，写出APB的面积，结合基本不等式，即可得到最小值.【详解】（1）点M是抛物线1C：220ypx p的准线与x轴的交点，,02pM，又221,0,3CMCOM，13122ppp，.抛物线1C的标准方程为22yx.（2）设00,0,0,P xyAbBc，则0bc，直线PA的方程为0000yb xx ybx，直线PB的方程为0000yc xx ycx.APB的内切圆为圆2C：2211xy，00
28、0022220000111,1ybbxyccxybxycx，整理得22000000220,220 xby bxxcy cx.,b c是方程2000220 xxy xx的两根，00002,22yxbcbcxx.000,0,2bcxx，22222000002000244844222yxxyxbcbcbcxxx.第 19 页 共 21 页2220002042,2xyxbcx,00002222xxbcxx.所以APB的面积2000122xSbc xx.令002,2,0txxtt，22444248tSttttt，当且仅当4,2ttt时，等号成立，此时04x.所以APB面积的最小值为8.【点睛】本题考查抛
29、物线的标准方程和与抛物线有关的最值问题，考查基本不等式和学生的运算化简的能力，属于较难的题目.22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2431xtayt（t为参数），圆C的参数方程为21cos2sinxaya（为参数）.（1）求l和C的普通方程；（2）将l向左平移(0)m m后，得到直线l，若圆C上只有一个点到l的距离为1，求m.【答案】（1）3470 xy，22(1)(2)1xy；（2）2m.【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用点到直线的距离公式的应用和关系式的平移变换的性质的应用求出结果【详解】（1）由题意可得|1a，故l的参数方程为
30、4131xtyt（t为参数），圆C的参数方程为1cos2sinxy（为参数），第 20 页 共 21 页消去参数t，得l的普通方程为3470 xy，消去参数，得C的普通方程为22(1)(2)1xy.（2）l的方程为37()44yxm，即34370 xym，因为圆C上只有一个点到l的距离为1，圆C的半径为1，所以(1,2)C到l的距离为2，即|3837|25m，解得2m（1403m舍去）.【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，函数的关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23设函数40fxxaxa（1）当1a
31、时，求不等式fxx的解集；（2）若41fxa恒成立，求a的取值范围【答案】（1）3,5；（2）,01,【解析】（1）把1a代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；（2）利用绝对值的三角不等式求出()f x 的最小值，然后求解关于a的不等式即可.【详解】（1）当1a时，52,1143,1425,4x xfxxxxxx，当1x时，fxx，无解；当14x时，fxx可得34x；当4x时，fxx可得45x；故不等式fxx的解集为3,5（2）444fxxaxxaxa，4441aaaa当0a或4a时，不等式显然成立；当04a时，11a，则14a故a的取值范围为,01,【点睛】第 21 页 共 21 页本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.